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例 1 下列方程组是三元一次方程组的是(
A.$\begin{cases}3x + 5y + z = -8,\\x + y + m = 3,\\x - 2y + z = 21\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 5,\\y = 2,\\z = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 3,\\y + z = -1,\\z + w = 8\end{cases}$
D.$\begin{cases}a + b = 9,\\2d - ab = 2,\\a - b + d = 0\end{cases}$
【思路导析】运用三元一次方程组的定义来识别.
【请你解答】.
B
)A.$\begin{cases}3x + 5y + z = -8,\\x + y + m = 3,\\x - 2y + z = 21\end{cases}$
B.$\begin{cases}x = 5,\\y = 2,\\z = 3\end{cases}$
C.$\begin{cases}x + y = 3,\\y + z = -1,\\z + w = 8\end{cases}$
D.$\begin{cases}a + b = 9,\\2d - ab = 2,\\a - b + d = 0\end{cases}$
【思路导析】运用三元一次方程组的定义来识别.
【请你解答】.
答案
【例1】B
例 2 解方程组$\begin{cases}y = 2x - 7, & ①\\5x + 3y + 2z = 2, & ②\\3x - 4z = 4. & ③\end{cases}$
【思路导析】
把①代入②得$5x + 3$() + 2z = 2,④
消去$y$得到二元一次方程组,再消去$z$,得到关于$x$的一元一次方程.
【请你解答】
【思路导析】
把①代入②得$5x + 3$() + 2z = 2,④
消去$y$得到二元一次方程组,再消去$z$,得到关于$x$的一元一次方程.
【请你解答】
答案
【例2】$2x-7$,$\begin{cases} 11x+2z=23,\\ 3x-4z=4,\\ \end{cases}$ $25x=50$,
$\begin{cases} x=2,\\ y=-3,\\ z=\dfrac{1}{2}.\\ \end{cases}$
$\begin{cases} x=2,\\ y=-3,\\ z=\dfrac{1}{2}.\\ \end{cases}$
例 3 在等式$y = ax^2 + bx + c$中,当$x = -1$时,$y = 2$;当$x = 2$时,$y = 8$;当$x = 5$时,$y = 158$,求$a$,$b$,$c$的值.
【规范解答】根据题意,得
$\begin{cases}a - b + c = 2, & ①\\4a + 2b + c = 8, & ②\\25a + 5b + c = 158. & ③\end{cases}$
② - ①,得$3a + 3b = 6$,即$a + b = 2$. ④
③ - ①,得$24a + 6b = 156$,即$4a + b = 26$. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组$\begin{cases}a + b = 2,\\4a + b = 26,\end{cases}$
解这个方程组,得$\begin{cases}a = 8,\\b = -6.\end{cases}$
把$a = 8$,$b = -6$代入①,
得$8 - (-6) + c = 2$,所以$c = -12$.
因此$\begin{cases}a = 8,\\b = -6,\\c = -12,\end{cases}$
即$a$,$b$,$c$的值分别为$8$,$-6$,$-12$.
【规范解答】根据题意,得
$\begin{cases}a - b + c = 2, & ①\\4a + 2b + c = 8, & ②\\25a + 5b + c = 158. & ③\end{cases}$
② - ①,得$3a + 3b = 6$,即$a + b = 2$. ④
③ - ①,得$24a + 6b = 156$,即$4a + b = 26$. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组$\begin{cases}a + b = 2,\\4a + b = 26,\end{cases}$
解这个方程组,得$\begin{cases}a = 8,\\b = -6.\end{cases}$
把$a = 8$,$b = -6$代入①,
得$8 - (-6) + c = 2$,所以$c = -12$.
因此$\begin{cases}a = 8,\\b = -6,\\c = -12,\end{cases}$
即$a$,$b$,$c$的值分别为$8$,$-6$,$-12$.
答案
解：根据题意，得
$\begin{cases}a - b + c = 2, & ①\\4a + 2b + c = 8, & ②\\25a + 5b + c = 158. & ③\end{cases}$
② - ①，得$3a + 3b = 6$，即$a + b = 2$. ④
③ - ①，得$24a + 6b = 156$，即$4a + b = 26$. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组$\begin{cases}a + b = 2,\\4a + b = 26,\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a = 8,\\b = -6.\end{cases}$
把$a = 8$，$b = -6$代入①，
得$8 - (-6) + c = 2$，解得$c = -12$.
因此$\begin{cases}a = 8,\\b = -6,\\c = -12,\end{cases}$
即$a$，$b$，$c$的值分别为$8$，$-6$，$-12$。
$\begin{cases}a - b + c = 2, & ①\\4a + 2b + c = 8, & ②\\25a + 5b + c = 158. & ③\end{cases}$
② - ①，得$3a + 3b = 6$，即$a + b = 2$. ④
③ - ①，得$24a + 6b = 156$，即$4a + b = 26$. ⑤
④与⑤组成二元一次方程组$\begin{cases}a + b = 2,\\4a + b = 26,\end{cases}$
解这个方程组，得$\begin{cases}a = 8,\\b = -6.\end{cases}$
把$a = 8$，$b = -6$代入①，
得$8 - (-6) + c = 2$，解得$c = -12$.
因此$\begin{cases}a = 8,\\b = -6,\\c = -12,\end{cases}$
即$a$，$b$，$c$的值分别为$8$，$-6$，$-12$。
例 4 某单位职工在植树节时去植树,甲、乙、丙三个小组共植树$50$棵,乙组植树的棵数是甲、丙两组的和的$\frac{1}{4}$,甲组植树的棵数恰是乙组与丙组的和,每组各植树多少棵?
【规范解答】设甲组植树$x$棵,乙组植树$y$棵,丙组植树$z$棵.
由题意,得$\begin{cases}x + y + z = 50,\\y = (x + z)×\frac{1}{4},\\x = y + z,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 25,\\y = 10,\\z = 15.\end{cases}$
答:甲组植树$25$棵,乙组植树$10$棵,丙组植树$15$棵.
解方程组$\begin{cases}x + y + z = 12,\\x + 2y + 5z = 22,\\x = 4y.\end{cases}$
学后反思
解三元一次方程组的思想是消元.把三元变为二元,把二元变成一元,最后解一元一次方程.
【规范解答】设甲组植树$x$棵,乙组植树$y$棵,丙组植树$z$棵.
由题意,得$\begin{cases}x + y + z = 50,\\y = (x + z)×\frac{1}{4},\\x = y + z,\end{cases}$
解得$\begin{cases}x = 25,\\y = 10,\\z = 15.\end{cases}$
答:甲组植树$25$棵,乙组植树$10$棵,丙组植树$15$棵.
解方程组$\begin{cases}x + y + z = 12,\\x + 2y + 5z = 22,\\x = 4y.\end{cases}$
学后反思
解三元一次方程组的思想是消元.把三元变为二元,把二元变成一元,最后解一元一次方程.
答案
【变式探究】
$\begin{cases} x=8,\\ y=2,\\ z=2.\\ \end{cases}$
$\begin{cases} x=8,\\ y=2,\\ z=2.\\ \end{cases}$
