一、中点模型
例1 如图，已知四边形 $ABCD$ 满足 $AB = CD = 1$，$AB⊥ CD$，$E$，$F$ 分别为 $AD$ 和 $BC$ 的中点，求 $EF$ 的长。
【探究点拨】连接 $BD$，取 $BD$ 的中点 $G$，连接 $GE$，$GF$，根据三角形中位线定理求出 $EG$，$FG$，根据平行线的性质证明 $∠ EGF = 90^{\circ}$。
【规范解答】连接 $BD$，取 $BD$ 的中点 $G$，连接 $GE$，$GF$。
$\because DE = EA$，$DG = GB$，
$\therefore EG// AB$，$EG = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ EGD = ∠ ABD$。
同理可得 $FG// CD$，
$FG = \frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}$，
$\therefore ∠ DGF + ∠ BDC = 180^{\circ}$，
$\therefore ∠ DGF = ∠ DBC + ∠ DCB$。
$\because AB⊥ CD$，$\therefore ∠ ABC + ∠ DCB = 90^{\circ}$，
$\therefore ∠ EGD + ∠ DGF = 90^{\circ}$，即 $∠ EGF = 90^{\circ}$，
$\therefore EF = \sqrt{2}EG = \frac{\sqrt{2}}{2}$。

√2/2

连接BD，取BD中点G，连接GE、GF。
∵E为AD中点，G为BD中点，∴GE是△ABD中位线，∴GE//AB，GE=1/2AB=1/2。
∵F为BC中点，G为BD中点，∴GF是△BCD中位线，∴GF//CD，GF=1/2CD=1/2。
∵AB⊥CD，GE//AB，GF//CD，∴GE⊥GF，即∠EGF=90°。
在Rt△EGF中，EF=√(GE²+GF²)=√[(1/2)²+(1/2)²]=√2/2。

例2 如图，在 $△ ABC$ 中，$BD⊥ AC$，垂足为 $D$，$CE⊥ AB$，垂足为 $E$，$M$，$N$ 分别是 $BC$，$DE$ 的中点。

(1) 求证：$MN⊥ DE$；
(2) 若 $BC = 10$，$DE = 6$，求 $MN$ 的长。
【探究点拨】(1) 连接 $EM$，$DM$，利用直角三角形斜边上的中线性质、等量代换可得 $EM = DM$；(2) 由 (1) 可得 $EM = DM = 5$，再利用等腰三角形的三线合一性质、勾股定理进行计算。
【规范解答】(1) 证明：连接 $EM$，$DM$。
$\because BD⊥ AC$，$CE⊥ AB$，

$\therefore ∠ CEB = ∠ BDC = 90^{\circ}$。
$\because M$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore EM = \frac{1}{2}CB$，$DM = \frac{1}{2}BC$，$\therefore EM = DM$。
$\because N$ 是 $DE$ 的中点，$\therefore MN⊥ DE$。
(2) $\because BC = 10$，$\therefore EM = DM = \frac{1}{2}BC = 5$。
$\because EM = DM$，$MN⊥ DE$，
$\therefore EN = \frac{1}{2}DE = 3$。
在 $Rt△ EMN$ 中，$MN = \sqrt{EM^{2} - EN^{2}} = \sqrt{5^{2} - 3^{2}} = 4$。

(1) 证明：
连接 $EM$，$DM$。
$\because BD ⊥ AC$，$CE ⊥ AB$，
$\therefore ∠ CEB = ∠ BDC = 90°$，
$\because M$ 是 $BC$ 的中点，
$\therefore EM = \frac{1}{2}CB$，$DM = \frac{1}{2}BC$，
$\therefore EM = DM$，
$\because N$ 是 $DE$ 的中点，
$\therefore MN ⊥ DE$。
(2) $\because BC = 10$，
$\therefore EM = DM = \frac{1}{2}BC = 5$，
$\because EM = DM$，$MN ⊥ DE$，
$\therefore EN = \frac{1}{2}DE = 3$，
在 $Rt △ EMN$ 中，
$MN = \sqrt{EM^2 - EN^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = 4$。
最终答案 $MN$ 的长为 $4$。

二、最值问题
例3 如图，菱形 $ABCD$ 的边长为 $2\ cm$，$∠ ABC = 60^{\circ}$，且 $M$ 是 $BC$ 边的中点，$P$ 是对角线 $BD$ 上一动点求 $PM + PC$ 的最小值。
【探究点拨】根据菱形的性质可知点 $A$，$C$ 关于 $BD$ 对称，将 $PM + PC$ 转化为 $AP + PM$，再根据两点之间线段最短求解即可。
【规范解答】$\because$ 四边形 $ABCD$ 为菱形，
$\therefore$ 点 $A$，$C$ 关于 $BD$ 对称。

连接 $AM$ 交 $BD$ 于点 $P$，
则 $PM + PC = PM + AP = AM$，
$\therefore AM$ 的长即为 $PM + PC$ 的最小值。
$\because ∠ ABC = 60^{\circ}$，$\therefore ∠ ABM = ∠ BAC = 60^{\circ}$，
$\therefore △ ABC$ 为等边三角形。
又 $\because BM = CM$，
$\therefore AM⊥ BC$，$\therefore AM = \sqrt{AB^{2} - BM^{2}} = \sqrt{3}$。

∵四边形ABCD为菱形，
∴点A，C关于BD对称。
连接AM交BD于点P，则PM+PC=PM+AP=AM，即AM的长为PM+PC的最小值。
∵∠ABC=60°，AB=BC=2cm，
∴△ABC为等边三角形。
∵M是BC中点，
∴BM=1cm，AM⊥BC。
在Rt△ABM中，AM=√(AB²-BM²)=√(2²-1²)=√3 cm。
故PM+PC的最小值为√3 cm。