三、翻折问题

例4 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AE⊥ BC$，垂足为 $E$，将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 所在直线翻折得 $△ AEF$，若 $AB = \sqrt{2}$，$∠ B = 45^{\circ}$，求 $△ AEF$ 与菱形 $ABCD$ 重叠部分（阴影部分）的面积。
【探究点拨】$∠ B = 45^{\circ}$，$AE$ 为 $BC$ 边上的高，可求得 $AE$ 的长。
【规范解答】在边长为 $\sqrt{2}$ 的菱形 $ABCD$ 中，$∠ B = 45^{\circ}$，$AE$ 为 $BC$ 边上的高，得 $AE = 1$。
由折叠的性质可知，$△ ABF$ 为等腰直角三角形，$S_{△ ABF} = \frac{1}{2}AB· AF = 1$，$S_{△ ABE} = \frac{1}{2}$，$BF = 2$，
$\therefore CF = BF - BC = 2 - \sqrt{2}$。
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ GCF = ∠ B = 45^{\circ}$。
由折叠的性质知，$∠ F = ∠ B = 45^{\circ}$，
$\therefore CG = GF = \sqrt{2} - 1$。
$\therefore S_{△ CGF} = \frac{1}{2}GC· GF = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2}$，
$\therefore S_{阴影} = S_{△ ABF} - S_{△ ABE} - S_{△ CGF}$
$= 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{2}(3 - 2\sqrt{2}) = \sqrt{2} - 1$。

$\sqrt{2}-1$

在菱形$ABCD$中，$AB=\sqrt{2}$，$∠ B=45^{\circ}$，$AE⊥ BC$于$E$。
1. 求$AE$、$BE$的长：
在$Rt△ ABE$中，$∠ AEB=90^{\circ}$，$∠ B=45^{\circ}$，$\therefore AE=BE$。
由勾股定理：$AB^2=AE^2+BE^2$，即$(\sqrt{2})^2=2AE^2$，解得$AE=BE=1$。
2. 折叠性质及$BF$的长：
折叠$△ ABE$得$△ AEF$，$\therefore △ ABE≌△ AEF$，则$AF=AB=\sqrt{2}$，$EF=BE=1$，$∠ F=∠ B=45^{\circ}$，$∠ BAF=90^{\circ}$。
$△ ABF$为等腰直角三角形，$BF=BE+EF=1+1=2$。
3. 求$CF$的长：
菱形边长$BC=AB=\sqrt{2}$，$\therefore CF=BF-BC=2-\sqrt{2}$。
4. 求$△ CGF$的面积：
$\because AB// CD$，$\therefore ∠ GCF=∠ B=45^{\circ}$，又$∠ F=45^{\circ}$，$\therefore △ CGF$为等腰直角三角形，$CG=GF$。
设$CG=GF=x$，由勾股定理：$x^2+x^2=(2-\sqrt{2})^2$，解得$x=\sqrt{2}-1$。
$\therefore S_{△ CGF}=\frac{1}{2}x^2=\frac{1}{2}(\sqrt{2}-1)^2=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}$。
5. 求阴影部分面积：
$S_{△ ABF}=\frac{1}{2}AB· AF=\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{2}=1$，$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}BE· AE=\frac{1}{2}×1×1=\frac{1}{2}$。
阴影面积$=S_{△ ABF}-S_{△ ABE}-S_{△ CGF}=1-\frac{1}{2}-\frac{3-2\sqrt{2}}{2}=\sqrt{2}-1$。

1. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ BAC = 90^{\circ}$，$D$，$E$ 分别是 $AB$，$AC$ 的中点，$∠ ABC$ 的平分线交 $DE$ 于点 $F$，$∠ ACB$ 的平分线交 $DE$ 于点 $G$。若 $AB = 8$，$AC = 6$，则线段 $GF$ 的长度为()

A.$1$
B.$\frac{3}{2}$
C.$2$
D.$\frac{5}{2}$

C

在$Rt△ABC$中，$∠BAC=90^{\circ}$，$AB=8$，$AC=6$，由勾股定理得$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$。
$D$，$E$分别为$AB$，$AC$中点，故$DE$是$△ABC$中位线，$DE// BC$且$DE=\frac{1}{2}BC=5$。
建立坐标系：以$A$为原点，$AB$为$x$轴，$AC$为$y$轴，则$A(0,0)$，$B(8,0)$，$C(0,6)$，$D(4,0)$，$E(0,3)$。$DE$方程为$y=-\frac{3}{4}x+3$。
求点$F$：$BF$平分$∠ABC$，直线$BC$方程为$y=-\frac{3}{4}x+6$。$∠ABC$平分线斜率为$-\frac{1}{3}$（由角平分线向量法得），$BF$方程为$y=-\frac{1}{3}(x-8)$。联立$DE$与$BF$方程：
$\begin{cases}y=-\frac{3}{4}x+3\\y=-\frac{1}{3}x+\frac{8}{3}\end{cases}$，解得$F(\frac{4}{5},\frac{12}{5})$。
求点$G$：$CG$平分$∠ACB$，斜率为$-2$（由角平分线向量法得），$CG$方程为$y=-2x+6$。联立$DE$与$CG$方程：
$\begin{cases}y=-\frac{3}{4}x+3\\y=-2x+6\end{cases}$，解得$G(\frac{12}{5},\frac{6}{5})$。
求$GF$：由两点距离公式，$GF=\sqrt{(\frac{12}{5}-\frac{4}{5})^2+(\frac{6}{5}-\frac{12}{5})^2}=\sqrt{(\frac{8}{5})^2+(-\frac{6}{5})^2}=2$。

2. 如图，四边形 $ABCD$ 中，$E$，$F$，$G$，$H$ 分别是线段 $AB$，$CD$，$AC$，$BD$ 的中点，则四边形 $EGFH$ 的周长()

A.只与 $AB$，$CD$ 的长有关
B.只与 $AD$，$BC$ 的长有关
C.只与 $AC$，$BD$ 的长有关
D.与四边形 $ABCD$ 各边的长都有关

B

∵E，G分别是AB，AC中点，∴EG是△ABC中位线，EG=1/2BC。
∵F，H分别是CD，BD中点，∴FH是△BCD中位线，FH=1/2BC。
∵G，F分别是AC，CD中点，∴GF是△ACD中位线，GF=1/2AD。
∵E，H分别是AB，BD中点，∴EH是△ABD中位线，EH=1/2AD。
∴四边形EGFH周长=EG+GF+FH+HE=1/2BC+1/2AD+1/2BC+1/2AD=AD+BC。
故周长只与AD，BC的长有关。

3. 如图，在菱形 $ABCD$ 中，$AC = 8$，$BD = 6$，$E$，$F$ 分别是边 $AB$，$BC$ 的中点，$P$ 是 $AC$ 上的动点，那么 $PE + PF$ 的最小值是。

5

在菱形$ABCD$中，对角线$AC⊥ BD$，且互相平分。$AC=8$，则$AO=OC=4$；$BD=6$，则$BO=OD=3$。由勾股定理得菱形边长$AB=\sqrt{AO^2+BO^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$。
作点$F$关于$AC$的对称点$F'$（因$AC$为菱形对称轴，$F$为$BC$中点，故$F'$为$DC$中点）。连接$EF'$，与$AC$交点即为$P$，此时$PE+PF=PE+PF'=EF'$最小。
建立坐标系：以$AC$为$x$轴，$BD$为$y$轴，原点为$O$。则$A(-4,0)$，$B(0,3)$，$C(4,0)$，$D(0,-3)$。$E$为$AB$中点，坐标$(-2,1.5)$；$F$为$BC$中点，坐标$(2,1.5)$，其对称点$F'(2,-1.5)$。
计算$EF'$：$E(-2,1.5)$，$F'(2,-1.5)$，由距离公式得$EF'=\sqrt{(2-(-2))^2+(-1.5-1.5)^2}=\sqrt{4^2+(-3)^2}=5$。

4. 如图，矩形 $ABCD$ 中，$E$ 是边 $BC$ 上一点，将 $△ ABE$ 沿 $AE$ 翻折，得到 $△ AFE$，延长 $EF$ 交线段 $AD$ 的延长线于点 $G$，交线段 $AC$ 于点 $O$，若 $AB = 2$，$BC = 3$，$OC = OE$，则线段 $DG$ 的长为。

√13 - 3

以A为原点，AB为y轴，AD为x轴建立坐标系，A(0,0)，B(0,2)，C(3,2)，D(3,0)，设E(e,2)。翻折后F为B关于AE的对称点，求得F(8e/(e²+4),2(4-e²)/(e²+4))。EG交AD延长线于G(g,0)，由E、F、G共线得g=(e²+4)/(2e)，故DG=g-3=(e²-6e+4)/(2e)。AC方程y=(2/3)x，EG与AC交于O，由OC=OE得O点横坐标x_O=(e+3)/2。联立AC与EG方程解得x_O=3(e²+4)/(-e²+6e+4)，令其等于(e+3)/2，化简得e³+3e²-22e+12=0，解得e=√13-3。代入DG表达式得DG=√13-3。