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例1 如图，点A在数轴上，它的读数为2，过点A作该数轴的垂线AB，已知AB=1，连接OB，则OB的长为；以O为圆心，OB长为半径作弧交数轴于点P(点P在点A的右侧)，则点P所表示的实数为。
【思路导析】在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，利用勾股定理可求OB的长。OP与OB的长相等。
【请你解答】，。
【思路导析】在Rt△OAB中，OA=2，AB=1，利用勾股定理可求OB的长。OP与OB的长相等。
【请你解答】，。
答案
$\sqrt{5}$，
$\sqrt{5}$
$\sqrt{5}$
解析
在 $Rt △ OAB$ 中，应用勾股定理：
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，
以 $O$ 为圆心，$OB$ 长为半径作弧交数轴于点 $P$，因此 $OP = OB = \sqrt{5}$。
点 $P$ 在数轴上的位置为 $\sqrt{5}$。
$OB = \sqrt{OA^2 + AB^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{5}$，
以 $O$ 为圆心，$OB$ 长为半径作弧交数轴于点 $P$，因此 $OP = OB = \sqrt{5}$。
点 $P$ 在数轴上的位置为 $\sqrt{5}$。
例2 (1)已知正方形的边长为2，则它的对角线的长为；
(2)已知等边三角形的边长为2，则它的一条边上的高为。
【思路导析】利用勾股定理求解。
【请你解答】(1)；(2)。
(2)已知等边三角形的边长为2，则它的一条边上的高为。
【思路导析】利用勾股定理求解。
【请你解答】(1)；(2)。
答案
(1)$2\sqrt{2}$；(2)$\sqrt{3}$。
解析
(1)正方形的对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条直角边长度均为正方形的边长$2$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），设对角线长为$x$，则$x=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
(2)设等边三角形为$△ ABC$，$AB = AC = BC = 2$，过$A$作$AD⊥ BC$于$D$，则$D$为$BC$中点，$BD=\frac{1}{2}BC = 1$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
根据勾股定理$a^2 + b^2 = c^2$（其中$a$、$b$为直角边，$c$为斜边），设对角线长为$x$，则$x=\sqrt{2^{2}+2^{2}}=\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$。
(2)设等边三角形为$△ ABC$，$AB = AC = BC = 2$，过$A$作$AD⊥ BC$于$D$，则$D$为$BC$中点，$BD=\frac{1}{2}BC = 1$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$。
例3 如图所示，折叠长方形ABCD的一边，使得点D刚好落在BC边上的点F处，若AB=8，BC=10，求EC的长。
【探究点拨】△ADE≌△AFE。△ABF，△CEF，△ADE，△AFE都是直角三角形。
【规范解答】设CE=x，则DE=8−x。
∵△ADE折叠后的图形为△AFE，
∴△ADE≌△AFE。
即AF=AD=BC=10，（全等的性质）
EF=ED=8−x。
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}$=6。（勾股定理）
∴FC=10−6=4。
在Rt△EFC中，
EF²=EC²+FC²，（勾股定理）
即(8−x)²=x²+4²。（等量代换）
解得x=3，即EC的长为3。
【探究点拨】△ADE≌△AFE。△ABF，△CEF，△ADE，△AFE都是直角三角形。
【规范解答】设CE=x，则DE=8−x。
∵△ADE折叠后的图形为△AFE，
∴△ADE≌△AFE。
即AF=AD=BC=10，（全等的性质）
EF=ED=8−x。
在Rt△ABF中，BF=$\sqrt{AF^{2}-AB^{2}}$=6。（勾股定理）
∴FC=10−6=4。
在Rt△EFC中，
EF²=EC²+FC²，（勾股定理）
即(8−x)²=x²+4²。（等量代换）
解得x=3，即EC的长为3。
答案
设 $CE = x$，则 $DE = 8 - x$，
$\because △ ADE$ 折叠后的图形为 $△ AFE$。
$\therefore △ ADE ≌ △ AFE$。
即 $AF = AD = BC = 10$，（全等性质）
$EF = ED = 8 - x$。
在 $\mathrm{Rt} △ ABF$ 中，
$BF = \sqrt{AF^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$，（勾股定理）
$\therefore FC = BC - BF = 10 - 6 = 4$。
在 $\mathrm{Rt} △ EFC$ 中，
$EF^2 = EC^2 + FC^2$，（勾股定理）
即 $(8 - x)^2 = x^2 + 4^2$，（等量代换）
$64 - 16x + x^2 = x^2 + 16$，
$64 - 16x = 16$，
$16x = 48$，
$x = 3$。
即 $EC$ 的长度为 $3$。
$\because △ ADE$ 折叠后的图形为 $△ AFE$。
$\therefore △ ADE ≌ △ AFE$。
即 $AF = AD = BC = 10$，（全等性质）
$EF = ED = 8 - x$。
在 $\mathrm{Rt} △ ABF$ 中，
$BF = \sqrt{AF^2 - AB^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{36} = 6$，（勾股定理）
$\therefore FC = BC - BF = 10 - 6 = 4$。
在 $\mathrm{Rt} △ EFC$ 中，
$EF^2 = EC^2 + FC^2$，（勾股定理）
即 $(8 - x)^2 = x^2 + 4^2$，（等量代换）
$64 - 16x + x^2 = x^2 + 16$，
$64 - 16x = 16$，
$16x = 48$，
$x = 3$。
即 $EC$ 的长度为 $3$。
1. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避免拐角C走“捷径”(从A走到B)，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了步路(假设2步为1m)，却踩伤了花草。
答案
4
解析
根据勾股定理，三角形ABC是一个直角三角形，其中AC = 3米，CB = 4米。
$AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \mathrm{(米)}$
A到B的总路径（沿着AC和CB）是 $AC + CB = 3 + 4 = 7$ 米。
走“捷径”少走的距离是 $7 - 5 = 2$ 米。
由于1米等于2步，因此少走了 $2 × 2 = 4$ 步。
$AB = \sqrt{AC^2 + CB^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \mathrm{(米)}$
A到B的总路径（沿着AC和CB）是 $AC + CB = 3 + 4 = 7$ 米。
走“捷径”少走的距离是 $7 - 5 = 2$ 米。
由于1米等于2步，因此少走了 $2 × 2 = 4$ 步。
2. 如图，沿AC方向开山修路。为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，在AC上取一点B，使∠ABD=120°，BD=520m，∠D=30°，那么另一边开挖点E离点D多远正好使A，C，E三点在一条直线上？（$\sqrt{3}$取1.732，结果取整数）
答案
在△BDE中，
∵A、C、E三点共线，B在AC上，
∴∠ABD + ∠EBD = 180°，
∵∠ABD=120°，
∴∠EBD=180° - 120°=60°。
在△BDE中，∠EBD=60°，∠BDE=30°，
∴∠BED=180° - 60° - 30°=90°，即△BDE为直角三角形。
∵BD=520m，∠BDE=30°，
∴BE=BD/2=520/2=260m（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）。
由勾股定理得：DE² + BE²=BD²，
∴DE=√(BD² - BE²)=√(520² - 260²)=√(270400 - 67600)=√202800=260√3。
∵√3≈1.732，
∴DE≈260×1.732≈449m。
答：另一边开挖点E离点D约449m。
∵A、C、E三点共线，B在AC上，
∴∠ABD + ∠EBD = 180°，
∵∠ABD=120°，
∴∠EBD=180° - 120°=60°。
在△BDE中，∠EBD=60°，∠BDE=30°，
∴∠BED=180° - 60° - 30°=90°，即△BDE为直角三角形。
∵BD=520m，∠BDE=30°，
∴BE=BD/2=520/2=260m（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半）。
由勾股定理得：DE² + BE²=BD²，
∴DE=√(BD² - BE²)=√(520² - 260²)=√(270400 - 67600)=√202800=260√3。
∵√3≈1.732，
∴DE≈260×1.732≈449m。
答：另一边开挖点E离点D约449m。
