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1. 如图，以点O为圆心，OB为半径画弧，交数轴于点A，若点A表示的数为x，则x的值为()
A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.−2
A.$\sqrt{2}$
B.$-\sqrt{2}$
C.2
D.−2
答案
B
解析
由图可知，点B在数轴上的坐标为(1,1)，则OB的长度为$\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$。因为OA=OB，所以OA=$\sqrt{2}$。又因为点A在原点O的左侧，所以点A表示的数x为$-\sqrt{2}$。
2. 一个直角三角形的一条直角边长为7cm，另一条直角边与斜边的和为49cm，则斜边的长为()
A.18cm
B.20cm
C.24cm
D.25cm
A.18cm
B.20cm
C.24cm
D.25cm
答案
D
解析
设另一条直角边为$x$ cm，斜边为$y$ cm，根据题意得：
$\begin{cases}x + y = 49, \\7^{2} + x^{2} = y^{2}.\end{cases}$
由第二个方程得：$y^{2} - x^{2} = 49$，
因式分解得：$(y - x)(y + x) = 49$，
将第一个方程代入得：$(y - x) × 49 = 49$，
化简得：$y - x = 1$，
再次与$x + y = 49$联立，解得：
$\begin{cases}x = 24, \\y = 25.\end{cases}$
所以斜边的长为25cm。
$\begin{cases}x + y = 49, \\7^{2} + x^{2} = y^{2}.\end{cases}$
由第二个方程得：$y^{2} - x^{2} = 49$，
因式分解得：$(y - x)(y + x) = 49$，
将第一个方程代入得：$(y - x) × 49 = 49$，
化简得：$y - x = 1$，
再次与$x + y = 49$联立，解得：
$\begin{cases}x = 24, \\y = 25.\end{cases}$
所以斜边的长为25cm。
3. 在△ABC中，AB=10，AC=2$\sqrt{10}$，BC边上的高AD=6，则另一边BC等于()
A.10
B.8
C.6或10
D.8或10
A.10
B.8
C.6或10
D.8或10
答案
C
解析
在Rt△ABD中，BD²=AB²-AD²=10²-6²=64，∴BD=8；在Rt△ACD中，DC²=AC²-AD²=(2√10)²-6²=4，∴DC=2。当D在BC上时，BC=BD+DC=8+2=10；当D在BC延长线上时，BC=BD-DC=8-2=6。故BC=6或10。
4. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，E为射线AB上一点，若△ACE是等腰三角形，则△ACE的面积不可能是()
A.40
B.48
C.$\frac{100}{3}$
D.$\frac{50}{3}$
A.40
B.48
C.$\frac{100}{3}$
D.$\frac{50}{3}$
答案
D
解析
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8，由勾股定理得AC=√(AB²+BC²)=10。E在射线AB上，△ACE为等腰三角形分三种情况：
1. AC=AE：AE=10，E在AB延长线上，AE=10，S△ACE=1/2×AE×BC=1/2×10×8=40；
2. AC=CE：CE=10，设E(e,0)，C(6,8)，由√[(e-6)²+8²]=10得e=12，AE=12，S△ACE=1/2×12×8=48；
3. AE=CE：设E(e,0)，AE=e，CE=√[(e-6)²+8²]，由e=√[(e-6)²+8²]得e=25/3，S△ACE=1/2×(25/3)×8=100/3。
综上，面积可能为40、48、100/3，不可能是50/3。
1. AC=AE：AE=10，E在AB延长线上，AE=10，S△ACE=1/2×AE×BC=1/2×10×8=40；
2. AC=CE：CE=10，设E(e,0)，C(6,8)，由√[(e-6)²+8²]=10得e=12，AE=12，S△ACE=1/2×12×8=48；
3. AE=CE：设E(e,0)，AE=e，CE=√[(e-6)²+8²]，由e=√[(e-6)²+8²]得e=25/3，S△ACE=1/2×(25/3)×8=100/3。
综上，面积可能为40、48、100/3，不可能是50/3。
5. 如图，长为8cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3cm到点D，则橡皮筋被拉长了cm。
答案
2
解析
根据题意，A和B分别为橡皮筋的两端，A(0,0)，B(8,0)，中点C(4,0)。将中点C向上拉升3cm至D(4,3)。
此时AD = BD，因为D在AB的中垂线上。
利用直角三角形OAD计算AD的长度：
$OA = 4$（水平距离），$OD = 3$，
所以$AD = \sqrt{OA^2 + OD^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5$。
橡皮筋原长为AB = 8cm，拉长后为AD + BD = 5 + 5 = 10cm。
拉长长度为10 - 8 = 2cm。
6. 如图①是第七届国际数学教育大会会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图②所示的四边形OABC。若AB=BC=1，∠AOB=30°，则OC的长为。
答案
√5
解析
设Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠AOB=30°，AB=1。在Rt△OAB中，30°角所对直角边AB=1，故斜边OB=2AB=2。由勾股定理得OA=√(OB²-AB²)=√(2²-1²)=√3。另一直角三角形Rt△OBC中，∠OBC=90°，BC=1，OB=2。由勾股定理得OC²=OB²+BC²=2²+1²=5，故OC=√5。
7. 如图，将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形茶杯中，设筷子露在杯子外面的长为a cm(茶杯装满水)，则a的取值范围是。
答案
$11cm ≤ a ≤ 12cm$
解析
由题意知，当筷子垂直于底面放置时，即与圆柱的高平行时，此时筷子露在杯子外面的长度最长，最长的长度$=$筷子的长度$-$圆柱形茶杯的高度，即$24 - 12 = 12$（$cm$），
当筷子斜着放置时，即沿着圆柱的母线放置时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在筷子的斜放中，底面合直径，圆柱的高，筷子三者形成直角三角形，
所以，可借助勾股定理运算，
所以，筷子在杯子中的长度$= \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$（$cm$），
此时，露在杯子外面的长度$= 24 - 13 = 11$（$cm$），
所以，$a$的取值范围是$11cm ≤ a ≤ 12cm$，
当筷子斜着放置时，即沿着圆柱的母线放置时，筷子露在杯子外面的长度最短，
在筷子的斜放中，底面合直径，圆柱的高，筷子三者形成直角三角形，
所以，可借助勾股定理运算，
所以，筷子在杯子中的长度$= \sqrt{12^{2} + 5^{2}} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$（$cm$），
此时，露在杯子外面的长度$= 24 - 13 = 11$（$cm$），
所以，$a$的取值范围是$11cm ≤ a ≤ 12cm$，
