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8. 有一棵9m高的大树，树下有一个1m高的小孩，如果大树在距地面4m处折断(未完全折断)，则小孩至少离开大树m之外才是安全的。
答案
3
解析
大树折断后，折断部分长度为9m - 4m = 5m，树干剩余部分为4m。折断部分、树干剩余部分与地面形成直角三角形，其中树干剩余部分为一直角边（4m），折断部分为斜边（5m）。根据勾股定理，另一直角边（小孩安全距离）为√(5² - 4²) = √9 = 3m。
9. 在△ABC中，AB=$\sqrt{34}$，AC=5。若BC边上的高等于3，则BC边的长为。
答案
9或1
解析
在$△ ABC$中，$AB=\sqrt{34}$，$AC = 5$，$BC$边上的高$AD = 3$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{34})^{2}-3^{2}}=\sqrt{34 - 9}=\sqrt{25}=5$。
在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
当高$AD$在$△ ABC$内部时，$BC=BD + CD=5 + 4=9$；当高$AD$在$△ ABC$外部时，$BC=BD-CD=5 - 4 = 1$。
在$Rt△ ABD$中，根据勾股定理$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{(\sqrt{34})^{2}-3^{2}}=\sqrt{34 - 9}=\sqrt{25}=5$。
在$Rt△ ACD$中，根据勾股定理$CD=\sqrt{AC^{2}-AD^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$。
当高$AD$在$△ ABC$内部时，$BC=BD + CD=5 + 4=9$；当高$AD$在$△ ABC$外部时，$BC=BD-CD=5 - 4 = 1$。
10. 如图是一个滑梯示意图。若将滑梯AC水平放置，则刚好与AB一样长。已知滑梯的高度CE=3m，BE=1m，CE⊥AB，求滑道AC的长。
答案
设滑道AC的长为$ x $米。
因为AC水平放置与AB一样长，所以$ AB = AC = x $米。
已知$ BE = 1 $米，所以$ AE = AB - BE = x - 1 $米。
因为$ CE ⊥ AB $，所以$△ ACE$是直角三角形，其中$ CE = 3 $米，$ AE = x - 1 $米，$ AC = x $米。
由勾股定理得：$ AE^2 + CE^2 = AC^2 $，即$ (x - 1)^2 + 3^2 = x^2 $。
展开得：$ x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 $，化简得：$ -2x + 10 = 0 $，解得$ x = 5 $。
答：滑道AC的长为5米。
因为AC水平放置与AB一样长，所以$ AB = AC = x $米。
已知$ BE = 1 $米，所以$ AE = AB - BE = x - 1 $米。
因为$ CE ⊥ AB $，所以$△ ACE$是直角三角形，其中$ CE = 3 $米，$ AE = x - 1 $米，$ AC = x $米。
由勾股定理得：$ AE^2 + CE^2 = AC^2 $，即$ (x - 1)^2 + 3^2 = x^2 $。
展开得：$ x^2 - 2x + 1 + 9 = x^2 $，化简得：$ -2x + 10 = 0 $，解得$ x = 5 $。
答：滑道AC的长为5米。
11. 如图所示为一个圆柱形无盖油罐，它的底面圆周长为24m，高为6m。一只老鼠从距底面1m的点A处沿油罐侧面爬行到对面的点B处偷油吃，则它爬行的最短路程为多少？
答案
1. 将圆柱侧面展开为长方形，长方形的长为底面周长24m，宽为圆柱高6m。
2. 点A距底面1m，在展开图中垂直坐标为1m；点B在对面，水平距离为底面周长的一半，即24÷2=12m，垂直坐标为6m（顶部），故两点垂直距离为6-1=5m。
3. 最短路径为直角三角形斜边，两直角边分别为12m和5m，由勾股定理得：√(12²+5²)=13m。
13m
2. 点A距底面1m，在展开图中垂直坐标为1m；点B在对面，水平距离为底面周长的一半，即24÷2=12m，垂直坐标为6m（顶部），故两点垂直距离为6-1=5m。
3. 最短路径为直角三角形斜边，两直角边分别为12m和5m，由勾股定理得：√(12²+5²)=13m。
13m
12. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为E，连接CE，求：
（1）BE的长；
（2）CE的长。
（1）BE的长；
（2）CE的长。
答案
（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，由勾股定理得AB=√(AC²+BC²)=√(3²+3²)=3√2。
∵AD=2CD，AC=3，∴CD=1，AD=2。
∵∠A=45°，DE⊥AB，∴△ADE为等腰直角三角形，AE=DE。
由勾股定理得AE²+DE²=AD²，即2AE²=2²，解得AE=√2。
∴BE=AB-AE=3√2-√2=2√2。
（2）过E作EF⊥BC于F，∵∠B=45°，BE=2√2，∴△BEF为等腰直角三角形，EF=BF。
由勾股定理得EF²+BF²=BE²，即2EF²=(2√2)²，解得EF=BF=2。
∵BC=3，∴CF=BC-BF=3-2=1。
在Rt△CEF中，CE=√(CF²+EF²)=√(1²+2²)=√5。
（1）2√2；（2）√5。
∵AD=2CD，AC=3，∴CD=1，AD=2。
∵∠A=45°，DE⊥AB，∴△ADE为等腰直角三角形，AE=DE。
由勾股定理得AE²+DE²=AD²，即2AE²=2²，解得AE=√2。
∴BE=AB-AE=3√2-√2=2√2。
（2）过E作EF⊥BC于F，∵∠B=45°，BE=2√2，∴△BEF为等腰直角三角形，EF=BF。
由勾股定理得EF²+BF²=BE²，即2EF²=(2√2)²，解得EF=BF=2。
∵BC=3，∴CF=BC-BF=3-2=1。
在Rt△CEF中，CE=√(CF²+EF²)=√(1²+2²)=√5。
（1）2√2；（2）√5。
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，动点P从B出发沿射线BC以2cm/s的速度运动，设运动时间为t s。
(1)当t=s时，AP平分△ABC的面积；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)若E，F分别为BC，AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值。
(1)当t=s时，AP平分△ABC的面积；
(2)当△ABP为等腰三角形时，求t的值；
(3)若E，F分别为BC，AB上的动点，请直接写出AE+EF的最小值。
答案
(1) 1
(2) 情况1：AB=BP时，BP=5cm，2t=5，t=5/2；情况2：AB=AP时，AP=5cm，在Rt△ACP中，AC=3cm，PC=√(5²-3²)=4cm，BP=BC+PC=4+4=8cm，2t=8，t=4；情况3：AP=BP时，设BP=2t，PC=4-2t，在Rt△ACP中，(2t)²=3²+(4-2t)²，解得t=25/16。综上，t=25/16或5/2或4。
(3) 24/5
(2) 情况1：AB=BP时，BP=5cm，2t=5，t=5/2；情况2：AB=AP时，AP=5cm，在Rt△ACP中，AC=3cm，PC=√(5²-3²)=4cm，BP=BC+PC=4+4=8cm，2t=8，t=4；情况3：AP=BP时，设BP=2t，PC=4-2t，在Rt△ACP中，(2t)²=3²+(4-2t)²，解得t=25/16。综上，t=25/16或5/2或4。
(3) 24/5
