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例 1 已知$△ ABC$中，$∠ A$，$∠ B$，$∠ C$的对边分别是$a$，$b$，$c$。
(1)若$a = 5$，$b = 4$，$c = 3$，试判断$△ ABC$是否为直角三角形；
(2)若$c = 7$，$b = 24$，$a = 25$，求$∠ A$的度数。
【思路导析】先求两较小边的平方和，再求最长边的平方，比较这两者是否相等，利用勾股定理的逆定理求解。
【请你解答】
(1)若$a = 5$，$b = 4$，$c = 3$，试判断$△ ABC$是否为直角三角形；
(2)若$c = 7$，$b = 24$，$a = 25$，求$∠ A$的度数。
【思路导析】先求两较小边的平方和，再求最长边的平方，比较这两者是否相等，利用勾股定理的逆定理求解。
【请你解答】
答案
(1) 是直角三角形；(2) $90°$
解析
(1) 因为 $a = 5$，$b = 4$，$c = 3$，且 $3 ＜ 4 ＜ 5$，所以两较小边为 $b$ 和 $c$。
计算 $b^2 + c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，$a^2 = 5^2 = 25$。
因为 $b^2 + c^2 = a^2$，所以 $△ ABC$ 是直角三角形。
(2) 因为 $a = 25$，$b = 24$，$c = 7$，且 $7 ＜ 24 ＜ 25$，所以最长边为 $a$。
计算 $b^2 + c^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$，$a^2 = 25^2 = 625$。
因为 $b^2 + c^2 = a^2$，所以 $△ ABC$ 是直角三角形，且 $∠ A = 90°$。
计算 $b^2 + c^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$，$a^2 = 5^2 = 25$。
因为 $b^2 + c^2 = a^2$，所以 $△ ABC$ 是直角三角形。
(2) 因为 $a = 25$，$b = 24$，$c = 7$，且 $7 ＜ 24 ＜ 25$，所以最长边为 $a$。
计算 $b^2 + c^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625$，$a^2 = 25^2 = 625$。
因为 $b^2 + c^2 = a^2$，所以 $△ ABC$ 是直角三角形，且 $∠ A = 90°$。
例 2 下列说法中，正确的是()
A.任何命题都有逆命题
B.任何定理都有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.定理的逆命题一定是真命题
【思路导析】命题都有逆命题，定理不一定都有逆定理。真命题的逆命题有可能是真命题，也可能是假命题。定理是一个真命题，它的逆命题可真可假，并不是每一个定理都有逆定理。
【请你解答】。
A.任何命题都有逆命题
B.任何定理都有逆定理
C.真命题的逆命题一定是真命题
D.定理的逆命题一定是真命题
【思路导析】命题都有逆命题，定理不一定都有逆定理。真命题的逆命题有可能是真命题，也可能是假命题。定理是一个真命题，它的逆命题可真可假，并不是每一个定理都有逆定理。
【请你解答】。
答案
A
解析
A选项，任何命题都有逆命题，正确；B选项，定理的逆命题不一定是真命题，所以不是任何定理都有逆定理，错误；C选项，真命题的逆命题不一定是真命题，例如“对顶角相等”的逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，错误；D选项，定理的逆命题不一定是真命题，错误。
例 3 下列各组数中，不是勾股数的是()
A.5，12，13
B.8，15，17
C.3，4，5
D.11，13，15
【思路导析】能够组成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数。
【请你解答】。
A.5，12，13
B.8，15，17
C.3，4，5
D.11，13，15
【思路导析】能够组成直角三角形的三条边长的三个正整数，称为勾股数。
【请你解答】。
答案
D
解析
勾股数是指能够组成直角三角形的三条边长的三个正整数，即满足 $ a^2 + b^2 = c^2 $。
A. $ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 $，是勾股数。
B. $ 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 $，是勾股数。
C. $ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 $，是勾股数。
D. $ 11^2 + 13^2 = 121 + 169 = 290 ≠ 15^2 = 225 $，不是勾股数。
A. $ 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 $，是勾股数。
B. $ 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289 = 17^2 $，是勾股数。
C. $ 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2 $，是勾股数。
D. $ 11^2 + 13^2 = 121 + 169 = 290 ≠ 15^2 = 225 $，不是勾股数。
例 4 如图，在正方形$ABCD$中，$E$是$AD$的中点，点$F$在$DC$上，且$DF=\frac{1}{4}DC$，试判断线段$BE$和$EF$的位置关系，并说明理由。
【探究点拨】可设线段$DF = a$，其他线段用含$a$的代数式表示，利用勾股定理的逆定理证$△ BEF$是直角三角形，从而判定线段$BE$和$EF$的位置关系。
【规范解答】$BE$和$EF$的位置关系是$BE⊥ EF$。
理由：设$DF = a$，则$DE = AE = 2a$，$CF = 3a$，$AB = BC = 4a$。
在$Rt△ ABE$中，$BE^{2}=AB^{2}+AE^{2}=(4a)^{2}+(2a)^{2}=20a^{2}$，（勾股定理）
在$Rt△ DEF$中，$EF^{2}=DE^{2}+DF^{2}=(2a)^{2}+a^{2}=5a^{2}$，（勾股定理）
在$Rt△ BCF$中，$BF^{2}=BC^{2}+CF^{2}=(4a)^{2}+(3a)^{2}=25a^{2}$，（勾股定理）
所以$BE^{2}+EF^{2}=BF^{2}$。
所以$∠ BEF = 90^{\circ}$。（勾股定理的逆定理）
即$BE⊥ EF$。
【探究点拨】可设线段$DF = a$，其他线段用含$a$的代数式表示，利用勾股定理的逆定理证$△ BEF$是直角三角形，从而判定线段$BE$和$EF$的位置关系。
【规范解答】$BE$和$EF$的位置关系是$BE⊥ EF$。
理由：设$DF = a$，则$DE = AE = 2a$，$CF = 3a$，$AB = BC = 4a$。
在$Rt△ ABE$中，$BE^{2}=AB^{2}+AE^{2}=(4a)^{2}+(2a)^{2}=20a^{2}$，（勾股定理）
在$Rt△ DEF$中，$EF^{2}=DE^{2}+DF^{2}=(2a)^{2}+a^{2}=5a^{2}$，（勾股定理）
在$Rt△ BCF$中，$BF^{2}=BC^{2}+CF^{2}=(4a)^{2}+(3a)^{2}=25a^{2}$，（勾股定理）
所以$BE^{2}+EF^{2}=BF^{2}$。
所以$∠ BEF = 90^{\circ}$。（勾股定理的逆定理）
即$BE⊥ EF$。
答案
$BE ⊥ EF$，理由如下：
设 $DF = a$，则 $DE = AE = 2a$，$CF = 3a$，$AB = BC = 4a$。
在 $Rt \bigtriangleup ABE$ 中，根据勾股定理，有：
$BE^{2} = AB^{2} + AE^{2} = (4a)^{2} + (2a)^{2} = 20a^{2}$，
在 $Rt \bigtriangleup DEF$ 中，根据勾股定理，有：
$EF^{2} = DE^{2} + DF^{2} = (2a)^{2} + a^{2} = 5a^{2}$，
在 $Rt \bigtriangleup BCF$ 中，根据勾股定理，有：
$BF^{2} = BC^{2} + CF^{2} = (4a)^{2} + (3a)^{2} = 25a^{2}$，
由于 $BE^{2} + EF^{2} = 20a^{2} + 5a^{2} = 25a^{2} = BF^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$∠ BEF = 90^{\circ}$。
所以 $BE ⊥ EF$。
设 $DF = a$，则 $DE = AE = 2a$，$CF = 3a$，$AB = BC = 4a$。
在 $Rt \bigtriangleup ABE$ 中，根据勾股定理，有：
$BE^{2} = AB^{2} + AE^{2} = (4a)^{2} + (2a)^{2} = 20a^{2}$，
在 $Rt \bigtriangleup DEF$ 中，根据勾股定理，有：
$EF^{2} = DE^{2} + DF^{2} = (2a)^{2} + a^{2} = 5a^{2}$，
在 $Rt \bigtriangleup BCF$ 中，根据勾股定理，有：
$BF^{2} = BC^{2} + CF^{2} = (4a)^{2} + (3a)^{2} = 25a^{2}$，
由于 $BE^{2} + EF^{2} = 20a^{2} + 5a^{2} = 25a^{2} = BF^{2}$，
根据勾股定理的逆定理，$∠ BEF = 90^{\circ}$。
所以 $BE ⊥ EF$。
