【知识点1】$\sqrt{\frac{a}{b}}$         $a≥0$，$b＞0$         $\sqrt{2}$   4     $2\sqrt{3}$         $\frac{3}{2}$     4

【解析】
二次根式的除法法则为$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$），利用该法则可进行二次根式的除法运算与化简，运算时需注意被开方数$a$为非负数，分母中的被开方数$b$为正数，最终结果需化为最简二次根式。
【答案】
【知识点1】$\sqrt{\frac{a}{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）；$\sqrt{2}$，4，$2\sqrt{3}$，$\frac{3}{2}$，4
【知识点2】$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）；$\frac{\sqrt{7}}{5}$，$\frac{\sqrt{15}}{12}$
【知识点】
二次根式的除法法则，二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的除法法则及化简，是二次根式运算的基础内容，需熟练掌握法则的适用条件与运算步骤，确保结果化为最简形式。
【难度系数】
0.8

【知识点2】$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$         $a≥0$，$b＞0$         $\frac{\sqrt{7}}{5}$         $\frac{\sqrt{15}}{12}$

【解析】
根据二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）进行化简：
- 化简$\sqrt{\frac{7}{25}}$：
$\sqrt{\frac{7}{25}}=\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{25}}=\frac{\sqrt{7}}{5}$
- 化简$\sqrt{\frac{5}{48}}$：
$\sqrt{\frac{5}{48}}=\sqrt{\frac{5}{16×3}}=\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{16×3}}=\frac{\sqrt{5}}{4\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{5}×\sqrt{3}}{4\sqrt{3}×\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{15}}{12}$
【答案】
$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$；$a≥0$，$b＞0$；$\frac{\sqrt{7}}{5}$；$\frac{\sqrt{15}}{12}$
【知识点】
二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的化简，关键是掌握二次根式的性质$\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$（$a≥0$，$b＞0$）。
【难度系数】
0.6

【例】 下列与$ \sqrt{\frac{-12}{-3}} $结果相同的是()

$A. \sqrt{\frac{12}{3}} $
$B. -\sqrt{4} $
$C. \sqrt{(-12) × (-3)} $
$D. \frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{-3}} $

【例】A

【解析】
首先计算$\sqrt{\frac{-12}{-3}}$，$\frac{-12}{-3}=4$，所以$\sqrt{\frac{-12}{-3}}=\sqrt{4}=2$。
- 选项A：$\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2$。
- 选项B：$-\sqrt{4}=-2$。
- 选项C：$\sqrt{(-12)×(-3)}=\sqrt{36}=6$。
- 选项D：$\frac{\sqrt{-12}}{\sqrt{-3}}$，根号下不能为负数，此式无意义。
综上，只有选项A的结果与$\sqrt{\frac{-12}{-3}}$相同。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的除法、二次根式的化简、二次根式有意义的条件
【点评】
本题通过分别计算每个选项的值，与原式结果对比，考查对二次根式相关知识的掌握，需要注意二次根式有意义的条件。
【难度系数】
0.6

1. 计算 \sqrt{40} ÷ \sqrt{2} 的结果是()

$A. 2\sqrt{5} $
B.4
C.3
$D. \sqrt{6} $

1. A

【解析】
根据二次根式的除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{a÷ b}$（$a≥0,b＞0$），则$\sqrt{40}÷\sqrt{2}=\sqrt{40÷2}=\sqrt{20}$。
再对$\sqrt{20}$化简，$\sqrt{20}=\sqrt{4×5}=2\sqrt{5}$。
【答案】
A
【知识点】
二次根式的除法、二次根式的化简
【点评】
本题考查二次根式的除法运算及化简，需要熟练掌握二次根式的运算法则。
【难度系数】
0.6

2. 式子 \sqrt{\frac{3 - x}{x - 1}} = \frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x - 1}} 成立的条件是()

A. x ≥ 3
B. x ≤ 1
C. 1 ≤ x ≤ 3
D. 1 ＜ x ≤ 3

2. D

【解析】
根据二次根式的性质，要使$\sqrt{\frac{3 - x}{x - 1}}=\frac{\sqrt{3 - x}}{\sqrt{x - 1}}$成立，则$\begin{cases}3 - x≥0\\x - 1＞0\end{cases}$。
解不等式$3 - x≥0$，得$x≤3$；
解不等式$x - 1＞0$，得$x＞1$。
所以不等式组的解集为$1＜ x≤3$。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题考查二次根式的性质，关键是根据二次根式有意义的条件列出不等式组求解。
【难度系数】
0.5

3. 下列运算正确的是()

$A. \sqrt{2} × \sqrt{6} = 12 $
$B. 8\sqrt{2} × \sqrt{\frac{1}{16}} = 1 $
$C. (\sqrt{-3})^2 = -3 $
$D. \sqrt{12} ÷ \sqrt{\frac{4}{3}} = 3 $

3. D

【解析】
- 选项A：
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}·\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，则$\sqrt{2}×\sqrt{6}=\sqrt{2×6}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}≠12$，所以选项A错误。
- 选项B：
同样根据二次根式乘法法则，$8\sqrt{2}×\sqrt{\frac{1}{16}} = 8×\sqrt{2×\frac{1}{16}} = 8×\sqrt{\frac{1}{8}} = 8×\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{8}} = 8×\frac{1}{2\sqrt{2}} = 2\sqrt{2}≠1$，所以选项B错误。
- 选项C：
在二次根式$\sqrt{a}$中，$a≥0$，因为$-3＜0$，所以$\sqrt{-3}$无意义，$(\sqrt{-3})^2$也无意义，所以选项C错误。
- 选项D：
根据二次根式除法法则$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$，则$\sqrt{12}÷\sqrt{\frac{4}{3}}=\sqrt{12÷\frac{4}{3}}=\sqrt{12×\frac{3}{4}}=\sqrt{9}=3$，所以选项D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次根式乘法、二次根式除法、二次根式有意义的条件
【点评】
本题主要考查二次根式的运算及有意义的条件，需要熟练掌握相关运算法则来判断每个选项的正误。
【难度系数】
0.6

4. 设矩形的面积为 S ，相邻的两边长分别为 a ， b ，若 S =$ \sqrt{48}$ ， a = $\sqrt{6}$ ，则 b = .

4. $2\sqrt{2}$

【解析】
根据矩形面积公式$S = ab$，可得$b=\frac{S}{a}$。
已知$S = \sqrt{48}$，$a = \sqrt{6}$，则$b=\frac{\sqrt{48}}{\sqrt{6}}$。
根据二次根式除法法则$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{m}{n}}$（$m≥0$，$n＞0$），可得$b = \sqrt{\frac{48}{6}}=\sqrt{8}$。
再将$\sqrt{8}$化简，$\sqrt{8}=\sqrt{4×2}=2\sqrt{2}$。
【答案】
$2\sqrt{2}$
【知识点】
矩形面积公式、二次根式除法、二次根式化简
【点评】
本题考查矩形面积公式与二次根式运算的结合，先根据面积公式得到$b$的表达式，再利用二次根式运算法则求解。
【难度系数】
0.6