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11. 安全问题需要时刻警惕. 高空坠物严重威胁着人们的“头顶安全”，即便是常见的小物件，一旦从高空落下，也威力惊人，而且用时很短，常常避让不及. 经过查阅相关资料，小南同学得到高空坠物下落的时间 t （单位：s）和高度 h （单位：m）近似满足公式 t = \sqrt{\dfrac{2h}{g}} .（不考虑风速的影响， g \approx 10 \mathrm{ N/kg} ）
(1) 求从 45 m 高空抛物到落地的时间.
(2) 已知高空抛物动能（单位：J）=10（单位：N/kg）×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m）. 某质量为 0.2 kg 的玩具在高空被抛出后经过 4 s 后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确.（注：伤害无防护人体只需要 65 J 的动能）
(1) 求从 45 m 高空抛物到落地的时间.
(2) 已知高空抛物动能（单位：J）=10（单位：N/kg）×物体质量（单位：kg）×高度（单位：m）. 某质量为 0.2 kg 的玩具在高空被抛出后经过 4 s 后落在地上，根据以上信息，小南判断这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，请通过计算说明小南的判断是否正确.（注：伤害无防护人体只需要 65 J 的动能）
答案
11. 解：（1）当$h = 45m$时，$t=\sqrt{\frac{2× 45}{10}}=\sqrt{\frac{90}{10}}=\sqrt{9}=3(s)$，$\therefore$从$45m$高空抛物到落地的时间为$3s$
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：当$t = 4s$时，$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{10}}=4$，$\therefore \frac{2h}{10}=16$，$2h = 160$，$h = 80$，$\therefore$高空抛物动能$=10× 0.2× 80 = 160＞65$，$\therefore$这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：当$t = 4s$时，$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{10}}=4$，$\therefore \frac{2h}{10}=16$，$2h = 160$，$h = 80$，$\therefore$高空抛物动能$=10× 0.2× 80 = 160＞65$，$\therefore$这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人
解析
【解析】
（1）当$h = 45m$时，$t=\sqrt{\frac{2× 45}{10}}=\sqrt{\frac{90}{10}}=\sqrt{9}=3(s)$，$\therefore$从$45m$高空抛物到落地的时间为$3s$
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：当$t = 4s$时，$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{10}}=4$，$\therefore \frac{2h}{10}=16$，$2h = 160$，$h = 80$，$\therefore$高空抛物动能$=10× 0.2× 80 = 160＞65$，$\therefore$这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人
【答案】
（1）从$45m$高空抛物到落地的时间为$3s$；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人
【知识点】
二次根式的运算、方程求解、动能计算
【点评】
本题结合实际问题，考查了二次根式运算和方程求解，以及动能的简单计算，具有一定的综合性和实际意义
【难度系数】
0.6
（1）当$h = 45m$时，$t=\sqrt{\frac{2× 45}{10}}=\sqrt{\frac{90}{10}}=\sqrt{9}=3(s)$，$\therefore$从$45m$高空抛物到落地的时间为$3s$
（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，理由如下：当$t = 4s$时，$\sqrt{\frac{2h}{g}}=\sqrt{\frac{2h}{10}}=4$，$\therefore \frac{2h}{10}=16$，$2h = 160$，$h = 80$，$\therefore$高空抛物动能$=10× 0.2× 80 = 160＞65$，$\therefore$这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人
【答案】
（1）从$45m$高空抛物到落地的时间为$3s$；（2）这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人
【知识点】
二次根式的运算、方程求解、动能计算
【点评】
本题结合实际问题，考查了二次根式运算和方程求解，以及动能的简单计算，具有一定的综合性和实际意义
【难度系数】
0.6
12.(2025·广东)计算 \sqrt{12} × \sqrt{3} 的结果是(
A.3
B.6
$C. \sqrt{6} $
$D. 2\sqrt{6} $
B
)A.3
B.6
$C. \sqrt{6} $
$D. 2\sqrt{6} $
答案
12. B
解析
【解析】
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），则$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}$。
因为$\sqrt{36}=6$，所以$\sqrt{12}×\sqrt{3}=6$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，先根据法则计算，再化简，难度适中。
【难度系数】
0.6
根据二次根式乘法法则$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0,b≥0$），则$\sqrt{12}×\sqrt{3}=\sqrt{12×3}=\sqrt{36}$。
因为$\sqrt{36}=6$，所以$\sqrt{12}×\sqrt{3}=6$。
【答案】
B
【知识点】
二次根式乘法
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，先根据法则计算，再化简，难度适中。
【难度系数】
0.6
13.(2025·广西) $\sqrt{2}$ × $\sqrt{5}$ =
$\sqrt{10}$
.答案
13. $\sqrt{10}$
解析
【解析】
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。
对于$\sqrt{2}×\sqrt{5}$，这里$a = 2$，$b = 5$，则$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式乘法
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，直接运用二次根式乘法法则计算即可。
【难度系数】
0.8
根据二次根式乘法法则：$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}$（$a≥0$，$b≥0$）。
对于$\sqrt{2}×\sqrt{5}$，这里$a = 2$，$b = 5$，则$\sqrt{2}×\sqrt{5}=\sqrt{2×5}=\sqrt{10}$。
【答案】
$\sqrt{10}$
【知识点】
二次根式乘法
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，直接运用二次根式乘法法则计算即可。
【难度系数】
0.8
14.(2025·湖南)化简$ \sqrt{12}$ =
$2\sqrt{3}$
.答案
14. $2\sqrt{3}$
解析
【解析】
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}$
$=\sqrt{4}×\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的化简，需要将被开方数分解成一个完全平方数和另一个数的乘积，再利用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.7
$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}$
$=\sqrt{4}×\sqrt{3}$
$=2\sqrt{3}$
【答案】
$2\sqrt{3}$
【知识点】
二次根式化简
【点评】
本题考查二次根式的化简，需要将被开方数分解成一个完全平方数和另一个数的乘积，再利用二次根式的性质进行化简。
【难度系数】
0.7
15.（2020·益阳）若计算 \sqrt{12} × m 的结果为正整数，则无理数 m 的值可以是________________.（写出一个符合条件的即可）
答案
15. $\sqrt{3}$（答案不唯一）
解析
【解析】
因为$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，要使$\sqrt{12}× m$的结果为正整数，当$m = \sqrt{3}$时，$\sqrt{12}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×3 = 6$，结果为正整数。
【答案】
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式乘法、无理数
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，通过对二次根式化简后，根据结果为正整数的条件确定无理数$m$的值，答案不唯一，具有一定开放性。
【难度系数】
0.6
因为$\sqrt{12}=\sqrt{4×3}=2\sqrt{3}$，要使$\sqrt{12}× m$的结果为正整数，当$m = \sqrt{3}$时，$\sqrt{12}×\sqrt{3}=2\sqrt{3}×\sqrt{3}=2×3 = 6$，结果为正整数。
【答案】
$\sqrt{3}$（答案不唯一）
【知识点】
二次根式乘法、无理数
【点评】
本题考查二次根式乘法运算，通过对二次根式化简后，根据结果为正整数的条件确定无理数$m$的值，答案不唯一，具有一定开放性。
【难度系数】
0.6
