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5. 计算：
$(1) \sqrt{3} ÷ \sqrt{12} $；
$(2) \sqrt{1\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} $；
(3) $\frac{2\sqrt{x^{2}y}}{3\sqrt{xy}}$
$(4) 4\sqrt{6a^3} ÷ 2\sqrt{\frac{a}{3}} .$
$(1) \sqrt{3} ÷ \sqrt{12} $；
$(2) \sqrt{1\frac{1}{2}} ÷ \sqrt{\frac{1}{6}} $；
(3) $\frac{2\sqrt{x^{2}y}}{3\sqrt{xy}}$
$(4) 4\sqrt{6a^3} ÷ 2\sqrt{\frac{a}{3}} .$
答案
5. (1) $\frac{1}{2}$ (2) 3
(3) $\frac{2\sqrt{x}}{3}$ (4) $6\sqrt{2}a$
(3) $\frac{2\sqrt{x}}{3}$ (4) $6\sqrt{2}a$
解析
【解析】
（1）$\sqrt{3}÷\sqrt{12}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
（2）$\sqrt{1\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}÷\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}×6}=\sqrt{9}=3$
（3）$\frac{2\sqrt{x^{2}y}}{3\sqrt{xy}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x^{2}y}{xy}}=\frac{2}{3}\sqrt{x}$
（4）$4\sqrt{6a^{3}}÷2\sqrt{\frac{a}{3}}=(4÷2)\sqrt{6a^{3}÷\frac{a}{3}}=2\sqrt{6a^{3}×\frac{3}{a}}=2\sqrt{18a^{2}}=2×3\sqrt{2}a = 6\sqrt{2}a$
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$3$；(3)$\frac{2\sqrt{x}}{3}$；(4)$6\sqrt{2}a$
【知识点】
二次根式除法运算、二次根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式的除法运算，需要熟练掌握二次根式的运算法则和化简方法。
【难度系数】
0.6
（1）$\sqrt{3}÷\sqrt{12}=\sqrt{\frac{3}{12}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}$
（2）$\sqrt{1\frac{1}{2}}÷\sqrt{\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}÷\frac{1}{6}}=\sqrt{\frac{3}{2}×6}=\sqrt{9}=3$
（3）$\frac{2\sqrt{x^{2}y}}{3\sqrt{xy}}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x^{2}y}{xy}}=\frac{2}{3}\sqrt{x}$
（4）$4\sqrt{6a^{3}}÷2\sqrt{\frac{a}{3}}=(4÷2)\sqrt{6a^{3}÷\frac{a}{3}}=2\sqrt{6a^{3}×\frac{3}{a}}=2\sqrt{18a^{2}}=2×3\sqrt{2}a = 6\sqrt{2}a$
【答案】
(1)$\frac{1}{2}$；(2)$3$；(3)$\frac{2\sqrt{x}}{3}$；(4)$6\sqrt{2}a$
【知识点】
二次根式除法运算、二次根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式的除法运算，需要熟练掌握二次根式的运算法则和化简方法。
【难度系数】
0.6
6. 计算：
$(1) \sqrt{6} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{3} $；
$(2) 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{12}}{4} ÷ \sqrt{27} $；
$(3) 3\sqrt{18} ÷ 2\sqrt{6} × \frac{\sqrt{3}}{2} .$
$(1) \sqrt{6} ÷ \sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{3} $；
$(2) 2\sqrt{2} × \frac{\sqrt{12}}{4} ÷ \sqrt{27} $；
$(3) 3\sqrt{18} ÷ 2\sqrt{6} × \frac{\sqrt{3}}{2} .$
答案
6. 解：(1) 原式$=\sqrt{12}×\sqrt{3}=6$。(2) 原式$=\frac{\sqrt{24}}{2}÷\sqrt{27}=\sqrt{\frac{6}{27}}=\frac{\sqrt{2}}{3}$。(3) 原式$=\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{9}{4}$。
解析
【解析】
(1)
$\begin{aligned}\sqrt{6}÷\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{3}&=\sqrt{6÷\frac{1}{2}}×\sqrt{3}\\&=\sqrt{12}×\sqrt{3}\\&=\sqrt{12×3}\\&=\sqrt{36}\\& = 6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{12}}{4}÷\sqrt{27}&=\frac{2\sqrt{2×12}}{4}÷\sqrt{27}\\&=\frac{\sqrt{24}}{2}÷\sqrt{27}\\&=\sqrt{\frac{24}{4}}÷\sqrt{27}\\&=\sqrt{6}÷\sqrt{27}\\&=\sqrt{\frac{6}{27}}\\&=\sqrt{\frac{2}{9}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{3}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}3\sqrt{18}÷2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}&=\frac{3\sqrt{18}}{2\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3\sqrt{3×6}}{2\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3\sqrt{3}×\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3×3}{4}\\&=\frac{9}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $6$；(2) $\frac{\sqrt{2}}{3}$；(3) $\frac{9}{4}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式的乘除混合运算，需要熟练掌握二次根式乘除运算法则和化简方法。
【难度系数】
0.6
(1)
$\begin{aligned}\sqrt{6}÷\sqrt{\frac{1}{2}}×\sqrt{3}&=\sqrt{6÷\frac{1}{2}}×\sqrt{3}\\&=\sqrt{12}×\sqrt{3}\\&=\sqrt{12×3}\\&=\sqrt{36}\\& = 6\end{aligned}$
(2)
$\begin{aligned}2\sqrt{2}×\frac{\sqrt{12}}{4}÷\sqrt{27}&=\frac{2\sqrt{2×12}}{4}÷\sqrt{27}\\&=\frac{\sqrt{24}}{2}÷\sqrt{27}\\&=\sqrt{\frac{24}{4}}÷\sqrt{27}\\&=\sqrt{6}÷\sqrt{27}\\&=\sqrt{\frac{6}{27}}\\&=\sqrt{\frac{2}{9}}\\&=\frac{\sqrt{2}}{3}\end{aligned}$
(3)
$\begin{aligned}3\sqrt{18}÷2\sqrt{6}×\frac{\sqrt{3}}{2}&=\frac{3\sqrt{18}}{2\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3\sqrt{3×6}}{2\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3\sqrt{3}×\sqrt{6}}{2\sqrt{6}}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}\\&=\frac{3×3}{4}\\&=\frac{9}{4}\end{aligned}$
【答案】
(1) $6$；(2) $\frac{\sqrt{2}}{3}$；(3) $\frac{9}{4}$
【知识点】
二次根式乘除运算、二次根式化简
【点评】
本题主要考查二次根式的乘除混合运算，需要熟练掌握二次根式乘除运算法则和化简方法。
【难度系数】
0.6
7. 已知$\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}} = \frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$，且$x$为偶数，求$\sqrt{1 + x} · \frac{\sqrt{x^2 - 5x + 4}}{\sqrt{x^2 - 1}}$的值.
答案
7. 解：$\because\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}}=\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$，$\therefore\begin{cases}9 - x≥0,①\\x - 6＞0,②\end{cases}$ 由①得$x≤9$，由②得$x＞6$，$\therefore$不等式组的解集为$6＜x≤9$。$\because x$为偶数，$\therefore x = 8$，$\therefore\sqrt{1 + x}·\frac{\sqrt{x^{2}-5x + 4}}{\sqrt{x^{2}-1}}=2$。
解析
【解析】
因为$\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}}=\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$，
所以$\begin{cases}9 - x≥0,①\\x - 6＞0,②\end{cases}$
由①得$x≤9$，
由②得$x＞6$，
所以不等式组的解集为$6＜x≤9$。
因为$x$为偶数，
所以$x = 8$。
将$x = 8$代入$\sqrt{1 + x}·\frac{\sqrt{x^{2}-5x + 4}}{\sqrt{x^{2}-1}}$可得：
$\begin{aligned}&\sqrt{1 + 8}·\frac{\sqrt{8^{2}-5×8 + 4}}{\sqrt{8^{2}-1}}\\=&\sqrt{9}·\frac{\sqrt{64 - 40 + 4}}{\sqrt{64 - 1}}\\=&3·\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{63}}\\=&3·\frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}\\=&2\end{aligned}$
【答案】
$2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、解不等式组、二次根式的运算
【点评】
本题先根据二次根式有意义的条件求出$x$的值，再代入式子进行二次根式的运算，考查了学生对二次根式相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
$0.3$
因为$\sqrt{\frac{9 - x}{x - 6}}=\frac{\sqrt{9 - x}}{\sqrt{x - 6}}$，
所以$\begin{cases}9 - x≥0,①\\x - 6＞0,②\end{cases}$
由①得$x≤9$，
由②得$x＞6$，
所以不等式组的解集为$6＜x≤9$。
因为$x$为偶数，
所以$x = 8$。
将$x = 8$代入$\sqrt{1 + x}·\frac{\sqrt{x^{2}-5x + 4}}{\sqrt{x^{2}-1}}$可得：
$\begin{aligned}&\sqrt{1 + 8}·\frac{\sqrt{8^{2}-5×8 + 4}}{\sqrt{8^{2}-1}}\\=&\sqrt{9}·\frac{\sqrt{64 - 40 + 4}}{\sqrt{64 - 1}}\\=&3·\frac{\sqrt{28}}{\sqrt{63}}\\=&3·\frac{2\sqrt{7}}{3\sqrt{7}}\\=&2\end{aligned}$
【答案】
$2$
【知识点】
二次根式有意义的条件、解不等式组、二次根式的运算
【点评】
本题先根据二次根式有意义的条件求出$x$的值，再代入式子进行二次根式的运算，考查了学生对二次根式相关知识的综合运用能力。
【难度系数】
$0.3$
8. (2024·南通) 计算$\frac{\sqrt{6} × \sqrt{8}}{\sqrt{2}} =$
$2\sqrt{6}$
.答案
8. $2\sqrt{6}$
解析
【解析】
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{6}×\sqrt{8}}{\sqrt{2}}&=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{4×2}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{\sqrt{6}×2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\&=2\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘除
【点评】
本题考查二次根式的乘除运算，先将$\sqrt{8}$化简为$2\sqrt{2}$，再进行约分计算。
【难度系数】
0.6
$\begin{aligned}\frac{\sqrt{6}×\sqrt{8}}{\sqrt{2}}&=\frac{\sqrt{6}×\sqrt{4×2}}{\sqrt{2}}\\&=\frac{\sqrt{6}×2\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\&=2\sqrt{6}\end{aligned}$
【答案】
$2\sqrt{6}$
【知识点】
二次根式的乘除
【点评】
本题考查二次根式的乘除运算，先将$\sqrt{8}$化简为$2\sqrt{2}$，再进行约分计算。
【难度系数】
0.6
