1. 填空。
(1) 24的因数有()，36的因数有()，24和36的公因数有()，它们的最大公因数是()。
(2) 12和18的公因数有()，最大公因数是()。
(3) 24和48的公因数有()，最大公因数是()。
(4) 1和16的公因数有()，最大公因数是()。
(5) 如果$a = 30$，$b = 20$，那么$a$和$b$的最大公因数是()。
(6)()是所有自然数的公因数。
(7)$a$是$b$的倍数，$a$和$b$的最大公因数是()。
(8) 两个连续的自然数的最大公因数是()。

1. (1) 1，24，2，12，3，8，4，6
1，36，2，18，3，12，4，9，6
1，2，3，4，6，12 12
(2) 1，2，3，6 6
(3) 1，2，3，4，6，8，12，24 24
(4) 1 1 (5) 10 (6) 1 (7) b
(8) 1

【分析】
要解决这道题，我们需要依次理清因数、公因数、最大公因数的概念，掌握找因数的方法以及特殊情况下最大公因数的规律：
1. 找一个数的因数：从1开始，按顺序找出能整除这个数的所有数，一对一对地找（如找24的因数，1和24、2和12等），这样可以避免遗漏。
2. 找两个数的公因数：先分别找出两个数的所有因数，再筛选出它们共有的因数。
3. 找最大公因数：在公因数中找出最大的那个数；对于特殊情况，可直接利用规律：
1和任何自然数的公因数只有1，最大公因数是1；
若一个数是另一个数的倍数，较小数就是它们的最大公因数；
连续的自然数互质，最大公因数是1；
1是所有自然数的公因数。
【解析】
(1) 找24的因数：能整除24的数有1、2、3、4、6、8、12、24；
找36的因数：能整除36的数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；
24和36共有的因数是1、2、3、4、6、12，其中最大的是12。
(2) 12的因数：1、2、3、4、6、12；18的因数：1、2、3、6、9、18；
12和18的公因数是1、2、3、6，最大公因数是6。
(3) 24的因数：1、2、3、4、6、8、12、24；48的因数：1、2、3、4、6、8、12、16、24、48；
24和48的公因数是1、2、3、4、6、8、12、24，因为48是24的倍数，所以最大公因数是24。
(4) 1的因数只有1，16的因数有1、2、4、8、16；
1和16的公因数只有1，最大公因数是1。
(5) 30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30；20的因数：1、2、4、5、10、20；
它们的公因数有1、2、5、10，最大公因数是10。
(6) 所有自然数都能被1整除，所以1是所有自然数的公因数。
(7) 当a是b的倍数时，b能整除a，且b是自身的最大因数，所以a和b的最大公因数是b。
(8) 两个连续自然数互质（除了1没有其他公因数），所以它们的最大公因数是1。
【答案】
(1) 1，2，3，4，6，8，12，24；1，2，3，4，6，9，12，18，36；1，2，3，4，6，12；12
(2) 1，2，3，6；6
(3) 1，2，3，4，6，8，12，24；24
(4) 1；1
(5) 10
(6) 1
(7) b
(8) 1
【知识点】
因数的概念、公因数与最大公因数、特殊数的最大公因数规律
【点评】
本题考查因数、公因数和最大公因数的基础知识点，解题关键是掌握找因数的“成对查找法”，同时牢记特殊情况下最大公因数的规律，能快速准确地得出结果，避免遗漏因数。
【难度系数】
0.8

2.
16和28的最大公因数是()。 36和42的最大公因数是()。

4；6

求16和28的最大公因数，可先分别列出16和28的因数，16的因数有1、2、4、8、16；28的因数有1、2、4、7、14、28，所以16和28的最大公因数是4。
求36和42的最大公因数，同样先列出36和42的因数，36的因数有1、2、3、4、6、9、12、18、36；42的因数有1、2、3、6、7、14、21、42，所以36和42的最大公因数是6。

3. 选择。(把正确答案的序号填在括号里)
(1) 29和2的最大公因数是()。
① 1 ② 2 ③ 29

3. (1) ①

【分析】
要解决这道题，首先明确最大公因数的定义：几个数公有的因数中最大的那个就是它们的最大公因数。接着观察29和2的特点，29是质数，因数只有1和29；2也是质数，因数只有1和2。找出它们公有的因数，发现只有1，因此最大公因数就是1，应选①。
【解析】
1. 列举29的因数：1、29；
2. 列举2的因数：1、2；
3. 找出29和2的公因数：只有1；
4. 由此可知29和2的最大公因数是1，对应选项①。
【答案】
①
【知识点】
最大公因数、质数的性质
【点评】
本题考查对最大公因数概念的理解及质数因数特征的掌握，解题核心是准确找出两个数的因数，再确定最大公因数，属于基础题型，易于掌握。
【难度系数】
0.9

(2) 27和9的最大公因数是()。
① 27 ② 9 ③ 1

(2) ②

【分析】
要解决这个问题，首先明确最大公因数的定义：两个数公有的因数中最大的那个数就是它们的最大公因数。我们可以通过两种思路解题：一是列举两个数的因数，找出公有的因数再确定最大的；二是观察两个数的关系，27是9的倍数，根据“当两个数存在倍数关系时，较小的数就是它们的最大公因数”这一规律直接判断。
【解析】
方法一：列举因数法
27的因数有：1、3、9、27；
9的因数有：1、3、9；
它们公有的因数是1、3、9，其中最大的是9。
方法二：倍数关系判断法
因为27÷9=3，说明27是9的倍数，根据倍数关系的两个数的最大公因数规律，较小的数9就是它们的最大公因数。
【答案】
②
【知识点】
最大公因数求法、倍数关系求最大公因数
【点评】
本题考查最大公因数的基础求法，重点在于掌握“两个数为倍数关系时，较小数是它们的最大公因数”这一简便规律，能快速准确地得出答案，节省解题时间。
【难度系数】
0.9

(3)$a÷ b = c$($a$，$b$，$c$均为非0自然数)，那么$a$和$b$的最大公因数是()。
① $a$ ② $b$ ③ $c$

(3) ②

【分析】
首先，我们需要明确最大公因数的相关规律：当两个非0自然数存在倍数关系时，它们的最大公因数是其中较小的那个数。题目中给出$a÷b = c$（$a$，$b$，$c$均为非0自然数），这意味着$a = b×c$，即$a$是$b$的$c$倍，$a$和$b$是倍数关系，且$b ＜ a$（因为$c$是自然数且不为0）。所以根据上述规律，我们可以判断出$a$和$b$的最大公因数是较小的数$b$。
【解析】
已知$a÷b = c$（$a$，$b$，$c$均为非0自然数），则$a = b×c$，说明$a$是$b$的倍数，$b$是$a$的因数。
根据“当两个非0自然数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数”这一规律，因为$b ＜ a$，所以$a$和$b$的最大公因数是$b$。
【答案】
②
【知识点】
倍数关系求最大公因数、因数与倍数
【点评】
本题考查因数与倍数关系下最大公因数的判断，属于基础概念题，需要牢记特殊数对（倍数关系）的最大公因数求法，避免混淆最大公因数与最小公倍数的相关结论。
【难度系数】
0.8