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(4) 两个数的公因数的个数是(
① 无限的 ② 有限的 ③ 无法确定
②
)。① 无限的 ② 有限的 ③ 无法确定
答案
(4) ②
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要明确公因数的定义：公因数是两个数公有的因数。我们知道一个数的因数的个数是有限的，因为一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数都是在这之间的整数，数量有限。那两个数公有的因数，是从这两个数各自有限的因数里找出共同的部分，所以其个数必然也是有限的，因此可以排除无限的和无法确定的选项，选择有限的。
【解析】
根据公因数的定义：两个数公有的因数叫做这两个数的公因数。
由于一个数的因数的个数是有限的（最小因数是1，最大因数是它本身），那么两个数公有的因数的数量是这两个数因数集合的交集，交集的元素个数必然有限。
所以两个数的公因数的个数是有限的，应选②。
【答案】
②
【知识点】
公因数的概念、因数的有限性
【点评】
本题考查公因数和因数的基本概念，属于基础题型，解题的关键是牢记一个数的因数个数是有限的，进而推导两个数的公因数个数有限，需要学生扎实掌握数论的基础知识点。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先需要明确公因数的定义：公因数是两个数公有的因数。我们知道一个数的因数的个数是有限的，因为一个数的最小因数是1，最大因数是它本身，因数都是在这之间的整数，数量有限。那两个数公有的因数，是从这两个数各自有限的因数里找出共同的部分，所以其个数必然也是有限的，因此可以排除无限的和无法确定的选项，选择有限的。
【解析】
根据公因数的定义：两个数公有的因数叫做这两个数的公因数。
由于一个数的因数的个数是有限的（最小因数是1，最大因数是它本身），那么两个数公有的因数的数量是这两个数因数集合的交集，交集的元素个数必然有限。
所以两个数的公因数的个数是有限的，应选②。
【答案】
②
【知识点】
公因数的概念、因数的有限性
【点评】
本题考查公因数和因数的基本概念，属于基础题型，解题的关键是牢记一个数的因数个数是有限的，进而推导两个数的公因数个数有限，需要学生扎实掌握数论的基础知识点。
【难度系数】
0.9
(5) 30和36的最大公因数是(
① 3 ② 6 ③ 9
②
)。① 3 ② 6 ③ 9
答案
(5) ②
解析
【分析】
要找出30和36的最大公因数，可通过两种思路求解：
1. 列举法：先分别列出30和36的所有因数，再筛选出它们的公因数，最后确定其中最大的数即为最大公因数。
2. 分解质因数法：将30和36分解为质因数相乘的形式，提取共有的质因数并相乘，所得结果就是最大公因数。两种方法都能高效得出答案，可根据自身熟悉程度选择。
【解析】
方法一：列举法
列出30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
列出36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
找出两者的公因数：1、2、3、6，其中最大的是6。
方法二：分解质因数法
分解30：$30 = 2×3×5$
分解36：$36 = 2×2×3×3$
提取共有的质因数2和3，相乘得：$2×3=6$，即最大公因数为6。
【答案】
②
【知识点】
最大公因数的求法
【点评】
本题属于数论基础题型，考查最大公因数的计算，掌握列举法或分解质因数法等常用方法，就能快速解决此类题目，帮助巩固因数与公因数的相关概念。
【难度系数】
0.8
要找出30和36的最大公因数，可通过两种思路求解：
1. 列举法：先分别列出30和36的所有因数，再筛选出它们的公因数，最后确定其中最大的数即为最大公因数。
2. 分解质因数法：将30和36分解为质因数相乘的形式，提取共有的质因数并相乘，所得结果就是最大公因数。两种方法都能高效得出答案，可根据自身熟悉程度选择。
【解析】
方法一：列举法
列出30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30
列出36的因数：1、2、3、4、6、9、12、18、36
找出两者的公因数：1、2、3、6，其中最大的是6。
方法二：分解质因数法
分解30：$30 = 2×3×5$
分解36：$36 = 2×2×3×3$
提取共有的质因数2和3，相乘得：$2×3=6$，即最大公因数为6。
【答案】
②
【知识点】
最大公因数的求法
【点评】
本题属于数论基础题型，考查最大公因数的计算，掌握列举法或分解质因数法等常用方法，就能快速解决此类题目，帮助巩固因数与公因数的相关概念。
【难度系数】
0.8
(6) 甲、乙都是质数，甲、乙两数的最大公因数是(
① 1 ② 甲数 ③ 乙数
①
)。① 1 ② 甲数 ③ 乙数
答案
(6) ①
解析
【分析】
首先回忆质数的定义：质数是大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数，即质数的因数只有1和它本身。接着分析两个质数的公因数情况：如果甲、乙是不同的质数，它们的公因数只有1，最大公因数就是1；如果甲、乙是相同的质数，最大公因数是该质数本身，但题目选项中②、③仅对应单个质数，此类题目通常默认甲、乙为不同质数，结合选项设置可确定最大公因数为1。解题时需先明确质数的因数特点，再分析公因数范围得出结论。
【解析】
1. 明确质数定义：质数的因数只有1和它本身。
2. 分析两个质数的公因数：
若甲、乙为不同质数，它们的公因数只有1，因此最大公因数是1；
若甲、乙为相同质数，最大公因数为该质数，但题目选项中②、③仅对应单个质数，不符合普遍考查情况，且题目默认甲、乙为不同质数。
综上，甲、乙两数的最大公因数是1，对应选项①。
【答案】
①
【知识点】
质数的定义，最大公因数的概念
【点评】
本题考查质数与最大公因数的基础概念，核心在于理解质数的因数特性，以及不同质数互质（公因数只有1）的性质。解题时需区分相同质数与不同质数的情况，结合选项设置，重点考查不同质数的最大公因数，属于基础概念题，有助于巩固相关知识点。
【难度系数】
0.8
首先回忆质数的定义：质数是大于1的自然数中，除了1和它自身外，不能被其他自然数整除的数，即质数的因数只有1和它本身。接着分析两个质数的公因数情况：如果甲、乙是不同的质数，它们的公因数只有1，最大公因数就是1；如果甲、乙是相同的质数，最大公因数是该质数本身，但题目选项中②、③仅对应单个质数，此类题目通常默认甲、乙为不同质数，结合选项设置可确定最大公因数为1。解题时需先明确质数的因数特点，再分析公因数范围得出结论。
【解析】
1. 明确质数定义：质数的因数只有1和它本身。
2. 分析两个质数的公因数：
若甲、乙为不同质数，它们的公因数只有1，因此最大公因数是1；
若甲、乙为相同质数，最大公因数为该质数，但题目选项中②、③仅对应单个质数，不符合普遍考查情况，且题目默认甲、乙为不同质数。
综上，甲、乙两数的最大公因数是1，对应选项①。
【答案】
①
【知识点】
质数的定义，最大公因数的概念
【点评】
本题考查质数与最大公因数的基础概念，核心在于理解质数的因数特性，以及不同质数互质（公因数只有1）的性质。解题时需区分相同质数与不同质数的情况，结合选项设置，重点考查不同质数的最大公因数，属于基础概念题，有助于巩固相关知识点。
【难度系数】
0.8
4. 写出下面每组数的最大公因数。
6和8 36和60 27和9
1和99 11和13 8和9
6和8 36和60 27和9
1和99 11和13 8和9
答案
4. 2 12 9 1 1 1
解析
【分析】
要解决求每组数的最大公因数的问题，可根据数的不同关系选择对应方法：
1. 对于普通数对（如6和8、36和60），可通过列举因数或分解质因数的方法，找出公共因数中最大的那个；
2. 若两个数是倍数关系（如27和9），则较小数就是它们的最大公因数；
3. 若两个数是互质数（如1和99、11和13、8和9），互质数指只有公因数1的两个数，它们的最大公因数为1。
【解析】
1. 求6和8的最大公因数：
列举因数：6的因数有1、2、3、6；8的因数有1、2、4、8。两者公共因数为1、2，最大的是2，故6和8的最大公因数是2。
2. 求36和60的最大公因数：
分解质因数：36=2×2×3×3，60=2×2×3×5，取公共质因数相乘：2×2×3=12，故36和60的最大公因数是12。
3. 求27和9的最大公因数：
27是9的3倍，属于倍数关系，较小数9就是它们的最大公因数。
4. 求1和99的最大公因数：
1的因数只有1，因此1和99的最大公因数是1。
5. 求11和13的最大公因数：
11和13都是质数，除了1没有其他公共因数，是互质数，故最大公因数是1。
6. 求8和9的最大公因数：
8和9是相邻自然数，属于互质数，故最大公因数是1。
【答案】
2 12 9 1 1 1
【知识点】
最大公因数求法、互质数、倍数关系数的公因数
【点评】
本题涵盖了多种类型数对的最大公因数求解，既考查了列举法、分解质因数法等基础方法，也考查了对特殊数对（倍数关系、互质数）规律的掌握，熟练区分数的关系能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.7
要解决求每组数的最大公因数的问题，可根据数的不同关系选择对应方法：
1. 对于普通数对（如6和8、36和60），可通过列举因数或分解质因数的方法，找出公共因数中最大的那个；
2. 若两个数是倍数关系（如27和9），则较小数就是它们的最大公因数；
3. 若两个数是互质数（如1和99、11和13、8和9），互质数指只有公因数1的两个数，它们的最大公因数为1。
【解析】
1. 求6和8的最大公因数：
列举因数：6的因数有1、2、3、6；8的因数有1、2、4、8。两者公共因数为1、2，最大的是2，故6和8的最大公因数是2。
2. 求36和60的最大公因数：
分解质因数：36=2×2×3×3，60=2×2×3×5，取公共质因数相乘：2×2×3=12，故36和60的最大公因数是12。
3. 求27和9的最大公因数：
27是9的3倍，属于倍数关系，较小数9就是它们的最大公因数。
4. 求1和99的最大公因数：
1的因数只有1，因此1和99的最大公因数是1。
5. 求11和13的最大公因数：
11和13都是质数，除了1没有其他公共因数，是互质数，故最大公因数是1。
6. 求8和9的最大公因数：
8和9是相邻自然数，属于互质数，故最大公因数是1。
【答案】
2 12 9 1 1 1
【知识点】
最大公因数求法、互质数、倍数关系数的公因数
【点评】
本题涵盖了多种类型数对的最大公因数求解，既考查了列举法、分解质因数法等基础方法，也考查了对特殊数对（倍数关系、互质数）规律的掌握，熟练区分数的关系能快速准确得出结果。
【难度系数】
0.7
5. 在（
$\frac{16}{24}$（
$\frac{7}{8}$（
8
）里写出下面各分数分子和分母的最大公因数。$\frac{16}{24}$（
8
） $\frac{13}{12}$（1
） $\frac{17}{51}$（17
） $\frac{20}{35}$（5
）$\frac{7}{8}$（
1
） $\frac{3}{15}$（3
） $\frac{11}{13}$（1
） $\frac{12}{24}$（12
）答案
5. 8 1 17 5 1 3 1 12
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要掌握求两个数最大公因数的方法，同时关注两种特殊情况：
1. 若两个数是互质数（公因数只有1的两个数），它们的最大公因数就是1；
2. 若两个数是倍数关系（较大数是较小数的倍数），它们的最大公因数就是较小数。
对于一般情况，我们可以用列举法（分别列出两个数的因数，找出最大的公因数）或分解质因数法（提取两个数共有的质因数的乘积）来求解。接下来逐个分析每个分数的分子和分母：
$\frac{16}{24}$：通过列举因数找最大公因数；
$\frac{13}{12}$：13是质数，和12只有公因数1，属于互质数；
$\frac{17}{51}$：51是17的3倍，属于倍数关系；
$\frac{20}{35}$：列举因数找最大公因数；
$\frac{7}{8}$：7和8是相邻自然数，属于互质数；
$\frac{3}{15}$：15是3的5倍，属于倍数关系；
$\frac{11}{13}$：11和13都是质数且不相同，属于互质数；
$\frac{12}{24}$：24是12的2倍，属于倍数关系。
【解析】
1. 对于$\frac{16}{24}$：
16的因数有：1、2、4、8、16；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
两者的公因数有1、2、4、8，最大公因数是8。
2. 对于$\frac{13}{12}$：
13是质数，12和13只有公因数1，所以最大公因数是1。
3. 对于$\frac{17}{51}$：
因为$51=17×3$，51是17的倍数，所以最大公因数是17。
4. 对于$\frac{20}{35}$：
20的因数有：1、2、4、5、10、20；
35的因数有：1、5、7、35；
两者的最大公因数是5。
5. 对于$\frac{7}{8}$：
7和8是相邻自然数，属于互质数，最大公因数是1。
6. 对于$\frac{3}{15}$：
因为$15=3×5$，15是3的倍数，所以最大公因数是3。
7. 对于$\frac{11}{13}$：
11和13都是质数且不相等，属于互质数，最大公因数是1。
8. 对于$\frac{12}{24}$：
因为$24=12×2$，24是12的倍数，所以最大公因数是12。
【答案】
8；1；17；5；1；3；1；12
【知识点】
最大公因数求法，互质数性质，倍数关系的公因数
【点评】
本题主要考查学生对最大公因数求法的掌握，重点考察了互质数、倍数关系这两种特殊情况的判断，需要学生熟练运用列举法等方法，同时能快速识别特殊数对的关系，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要掌握求两个数最大公因数的方法，同时关注两种特殊情况：
1. 若两个数是互质数（公因数只有1的两个数），它们的最大公因数就是1；
2. 若两个数是倍数关系（较大数是较小数的倍数），它们的最大公因数就是较小数。
对于一般情况，我们可以用列举法（分别列出两个数的因数，找出最大的公因数）或分解质因数法（提取两个数共有的质因数的乘积）来求解。接下来逐个分析每个分数的分子和分母：
$\frac{16}{24}$：通过列举因数找最大公因数；
$\frac{13}{12}$：13是质数，和12只有公因数1，属于互质数；
$\frac{17}{51}$：51是17的3倍，属于倍数关系；
$\frac{20}{35}$：列举因数找最大公因数；
$\frac{7}{8}$：7和8是相邻自然数，属于互质数；
$\frac{3}{15}$：15是3的5倍，属于倍数关系；
$\frac{11}{13}$：11和13都是质数且不相同，属于互质数；
$\frac{12}{24}$：24是12的2倍，属于倍数关系。
【解析】
1. 对于$\frac{16}{24}$：
16的因数有：1、2、4、8、16；
24的因数有：1、2、3、4、6、8、12、24；
两者的公因数有1、2、4、8，最大公因数是8。
2. 对于$\frac{13}{12}$：
13是质数，12和13只有公因数1，所以最大公因数是1。
3. 对于$\frac{17}{51}$：
因为$51=17×3$，51是17的倍数，所以最大公因数是17。
4. 对于$\frac{20}{35}$：
20的因数有：1、2、4、5、10、20；
35的因数有：1、5、7、35；
两者的最大公因数是5。
5. 对于$\frac{7}{8}$：
7和8是相邻自然数，属于互质数，最大公因数是1。
6. 对于$\frac{3}{15}$：
因为$15=3×5$，15是3的倍数，所以最大公因数是3。
7. 对于$\frac{11}{13}$：
11和13都是质数且不相等，属于互质数，最大公因数是1。
8. 对于$\frac{12}{24}$：
因为$24=12×2$，24是12的倍数，所以最大公因数是12。
【答案】
8；1；17；5；1；3；1；12
【知识点】
最大公因数求法，互质数性质，倍数关系的公因数
【点评】
本题主要考查学生对最大公因数求法的掌握，重点考察了互质数、倍数关系这两种特殊情况的判断，需要学生熟练运用列举法等方法，同时能快速识别特殊数对的关系，提升解题效率。
【难度系数】
0.8
6. 按要求写出公因数只有1的两个数。
(1) 两个数都是质数：(
(2) 一个质数和一个合数：(
(3) 两个数都是合数：(
(4) 一个奇数和一个偶数：(
(1) 两个数都是质数：(
略
)和(略
)。(2) 一个质数和一个合数：(
略
)和(略
)。(3) 两个数都是合数：(
略
)和(略
)。(4) 一个奇数和一个偶数：(
略
)和(略
)。答案
(1) 2；3
(2) 3；4
(3) 8；9
(4) 3；4
(2) 3；4
(3) 8；9
(4) 3；4
解析
【分析】
首先明确核心概念：公因数只有1的两个数称为互质数。接下来分情况梳理思路：
1. 两个数都是质数：质数的因数只有1和它本身，不同的质数之间除了1没有其他公因数，所以任意两个不同的质数都符合要求，比如2和3。
2. 一个质数和一个合数：要保证质数不是合数的因数，比如质数3和合数4，3不是4的因数，二者公因数只有1；若质数是合数的因数（如2和4），则公因数不止1，不符合要求。
3. 两个数都是合数：需找除1外没有其他公因数的合数，比如8和9，8的因数是1、2、4、8，9的因数是1、3、9，仅公因数1；像4和6这类有公因数2的合数就不符合。
4. 一个奇数和一个偶数：要保证偶数不是奇数的倍数，比如奇数3和偶数4，3不是4的因数，二者公因数只有1；若偶数是奇数的倍数（如3和6），则公因数不止1，不符合要求。
【解析】
(1) 质数的因数仅为1和自身，不同质数的公因数只有1，例如2和3，二者符合条件。
(2) 选取质数3与合数4，3的因数是1、3，4的因数是1、2、4，两者公因数只有1，符合要求。
(3) 选取合数8与9，8的因数为1、2、4、8，9的因数为1、3、9，仅存在公因数1，符合条件。
(4) 选取奇数3与偶数4，3的因数是1、3，4的因数是1、2、4，二者公因数只有1，符合要求。
【答案】
(1) 2；3
(2) 3；4
(3) 8；9
(4) 3；4
【知识点】
互质数概念、质数合数定义、奇数偶数定义
【点评】
本题考查对互质数、质数、合数、奇数、偶数核心概念的理解与综合应用，题目具有开放性，答案不唯一，能有效检验学生对各类数的特征的掌握程度，以及灵活运用概念筛选符合条件数的能力。
【难度系数】
0.8
首先明确核心概念：公因数只有1的两个数称为互质数。接下来分情况梳理思路：
1. 两个数都是质数：质数的因数只有1和它本身，不同的质数之间除了1没有其他公因数，所以任意两个不同的质数都符合要求，比如2和3。
2. 一个质数和一个合数：要保证质数不是合数的因数，比如质数3和合数4，3不是4的因数，二者公因数只有1；若质数是合数的因数（如2和4），则公因数不止1，不符合要求。
3. 两个数都是合数：需找除1外没有其他公因数的合数，比如8和9，8的因数是1、2、4、8，9的因数是1、3、9，仅公因数1；像4和6这类有公因数2的合数就不符合。
4. 一个奇数和一个偶数：要保证偶数不是奇数的倍数，比如奇数3和偶数4，3不是4的因数，二者公因数只有1；若偶数是奇数的倍数（如3和6），则公因数不止1，不符合要求。
【解析】
(1) 质数的因数仅为1和自身，不同质数的公因数只有1，例如2和3，二者符合条件。
(2) 选取质数3与合数4，3的因数是1、3，4的因数是1、2、4，两者公因数只有1，符合要求。
(3) 选取合数8与9，8的因数为1、2、4、8，9的因数为1、3、9，仅存在公因数1，符合条件。
(4) 选取奇数3与偶数4，3的因数是1、3，4的因数是1、2、4，二者公因数只有1，符合要求。
【答案】
(1) 2；3
(2) 3；4
(3) 8；9
(4) 3；4
【知识点】
互质数概念、质数合数定义、奇数偶数定义
【点评】
本题考查对互质数、质数、合数、奇数、偶数核心概念的理解与综合应用，题目具有开放性，答案不唯一，能有效检验学生对各类数的特征的掌握程度，以及灵活运用概念筛选符合条件数的能力。
【难度系数】
0.8
1. 五（1）班有男生36人，女生24人。男、女生分别排队，要使每队的人数相同，每队最多有几人？这时男生有几队？女生有几队？
答案
1. 36和24的最大公因数是12，所以每队最多有12人。
这时男生有3队，女生有2队。
这时男生有3队，女生有2队。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理解“男、女生分别排队，每队人数相同且最多”的含义，这其实就是求男生人数36和女生人数24的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这两个数的最大数，也就是每队最多的人数。求出每队人数后，用男生总人数除以每队人数得到男生的队数，用女生总人数除以每队人数得到女生的队数。
【解析】
1. 求36和24的最大公因数：
分解质因数：
$36 = 2×2×3×3$
$24 = 2×2×2×3$
两个数公有的质因数是2、2、3，所以最大公因数为$2×2×3 = 12$，即每队最多有12人。
2. 计算男生队数：
$36÷12 = 3$（队）
3. 计算女生队数：
$24÷12 = 2$（队）
【答案】
每队最多有12人，这时男生有3队，女生有2队。
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际排队问题中的应用，关键是理解“每队人数相同且最多”对应求两个数的最大公因数，通过分解质因数的方法求解，锻炼学生将数学概念与实际问题结合的能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先要理解“男、女生分别排队，每队人数相同且最多”的含义，这其实就是求男生人数36和女生人数24的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这两个数的最大数，也就是每队最多的人数。求出每队人数后，用男生总人数除以每队人数得到男生的队数，用女生总人数除以每队人数得到女生的队数。
【解析】
1. 求36和24的最大公因数：
分解质因数：
$36 = 2×2×3×3$
$24 = 2×2×2×3$
两个数公有的质因数是2、2、3，所以最大公因数为$2×2×3 = 12$，即每队最多有12人。
2. 计算男生队数：
$36÷12 = 3$（队）
3. 计算女生队数：
$24÷12 = 2$（队）
【答案】
每队最多有12人，这时男生有3队，女生有2队。
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际排队问题中的应用，关键是理解“每队人数相同且最多”对应求两个数的最大公因数，通过分解质因数的方法求解，锻炼学生将数学概念与实际问题结合的能力。
【难度系数】
0.8
2. 一个长方形长40 cm，宽30 cm。如果要把它分成若干个同样大小的小正方形而没有剩余，小正方形的边长最大是几厘米？
答案
2. 40和30的最大公因数是10，所以小正方形的边长最大是10厘米。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要理解“把长方形分成若干个同样大小的小正方形而没有剩余”的含义：小正方形的边长必须既能整除长方形的长，又能整除长方形的宽，也就是小正方形的边长是长方形长和宽的公因数。而题目要求小正方形的边长最大，所以实际上就是求长方形长40cm和宽30cm的最大公因数。我们可以通过列举法或短除法来找出这两个数的最大公因数。
【解析】
步骤1：明确解题关键：小正方形边长最大的长度是40和30的最大公因数。
步骤2：求40和30的最大公因数：
列举40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
列举30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30；
找出它们的公因数：1、2、5、10，其中最大的是10。
或用短除法：
```
10 | 40 30
-------
4 3
```
4和3互质，所以40和30的最大公因数是10。
因此，小正方形的边长最大是10厘米。
【答案】
10厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是将“无剩余分小正方形”的实际问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，需要学生理解数学概念与实际场景的联系，提升知识应用能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要理解“把长方形分成若干个同样大小的小正方形而没有剩余”的含义：小正方形的边长必须既能整除长方形的长，又能整除长方形的宽，也就是小正方形的边长是长方形长和宽的公因数。而题目要求小正方形的边长最大，所以实际上就是求长方形长40cm和宽30cm的最大公因数。我们可以通过列举法或短除法来找出这两个数的最大公因数。
【解析】
步骤1：明确解题关键：小正方形边长最大的长度是40和30的最大公因数。
步骤2：求40和30的最大公因数：
列举40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
列举30的因数：1、2、3、5、6、10、15、30；
找出它们的公因数：1、2、5、10，其中最大的是10。
或用短除法：
```
10 | 40 30
-------
4 3
```
4和3互质，所以40和30的最大公因数是10。
因此，小正方形的边长最大是10厘米。
【答案】
10厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，核心是将“无剩余分小正方形”的实际问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，需要学生理解数学概念与实际场景的联系，提升知识应用能力。
【难度系数】
0.8
