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3. 幼儿园老师买了30个橘子和45个苹果，分别平均分给小班的每一个小朋友，正好分完。请你算一算，这个班最多有几个小朋友？
答案
3. 30和45的最大公因数是15，所以这个班最多有15个小朋友。
解析
【分析】
首先，题目中橘子和苹果分别平均分给小朋友正好分完，说明小朋友的人数是30和45的公因数，因为人数要能同时整除30和45。而要求这个班最多有几个小朋友，就是求30和45的最大公因数，我们可以通过分解质因数或列举因数的方法来求解。
【解析】
方法一：分解质因数法
将30和45分解质因数：
$30 = 2×3×5$
$45 = 3×3×5$
两个数公有的质因数是3和5，因此它们的最大公因数为$3×5 = 15$。
方法二：列举因数法
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30
45的因数有：1、3、5、9、15、45
30和45的公因数为1、3、5、15，其中最大的是15。
综上，这个班最多有15个小朋友。
【答案】
15个
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题核心是将“最多有几个小朋友”的实际问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，需要学生理解公因数与最大公因数的概念，并能熟练运用合适的方法计算最大公因数。
【难度系数】
0.8
首先，题目中橘子和苹果分别平均分给小朋友正好分完，说明小朋友的人数是30和45的公因数，因为人数要能同时整除30和45。而要求这个班最多有几个小朋友，就是求30和45的最大公因数，我们可以通过分解质因数或列举因数的方法来求解。
【解析】
方法一：分解质因数法
将30和45分解质因数：
$30 = 2×3×5$
$45 = 3×3×5$
两个数公有的质因数是3和5，因此它们的最大公因数为$3×5 = 15$。
方法二：列举因数法
30的因数有：1、2、3、5、6、10、15、30
45的因数有：1、3、5、9、15、45
30和45的公因数为1、3、5、15，其中最大的是15。
综上，这个班最多有15个小朋友。
【答案】
15个
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题核心是将“最多有几个小朋友”的实际问题转化为求两个数的最大公因数的数学问题，需要学生理解公因数与最大公因数的概念，并能熟练运用合适的方法计算最大公因数。
【难度系数】
0.8
4. 小明把一张长20 cm、宽15 cm的长方形卡纸，剪成了若干个同样大小的小正方形，且没有剩余。那么剪的正方形边长最大是多少厘米？
答案
4. 20和15的最大公因数是5，所以剪的正方形边长最大是5厘米。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要理解题目核心要求：将长方形卡纸剪成若干同样大小的小正方形且无剩余，说明小正方形的边长必须能同时整除长方形的长和宽，也就是长和宽的公因数。而要求剪的正方形边长最大，本质就是求长方形长和宽的最大公因数。我们可以通过列举因数的方法，先找出20和15的所有因数，再从中筛选出公因数，最后确定最大的那个公因数就是正方形的最大边长。
【解析】
1. 明确解题逻辑：剪成的正方形边长需同时整除20cm和15cm，即边长是20和15的公因数，求最大边长就是求20和15的最大公因数。
2. 列举两个数的因数：
20的因数有：1、2、4、5、10、20
15的因数有：1、3、5、15
3. 找出公因数：20和15的公因数为1、5
4. 确定最大公因数：其中最大的公因数是5，因此剪的正方形边长最大是5厘米。
【答案】
5厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际问题中的应用，关键是能将“剪无剩余的最大正方形”这一实际场景转化为求两个数的最大公因数的数学问题，考验学生对概念的理解和知识迁移能力。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要理解题目核心要求：将长方形卡纸剪成若干同样大小的小正方形且无剩余，说明小正方形的边长必须能同时整除长方形的长和宽，也就是长和宽的公因数。而要求剪的正方形边长最大，本质就是求长方形长和宽的最大公因数。我们可以通过列举因数的方法，先找出20和15的所有因数，再从中筛选出公因数，最后确定最大的那个公因数就是正方形的最大边长。
【解析】
1. 明确解题逻辑：剪成的正方形边长需同时整除20cm和15cm，即边长是20和15的公因数，求最大边长就是求20和15的最大公因数。
2. 列举两个数的因数：
20的因数有：1、2、4、5、10、20
15的因数有：1、3、5、15
3. 找出公因数：20和15的公因数为1、5
4. 确定最大公因数：其中最大的公因数是5，因此剪的正方形边长最大是5厘米。
【答案】
5厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际问题中的应用，关键是能将“剪无剩余的最大正方形”这一实际场景转化为求两个数的最大公因数的数学问题，考验学生对概念的理解和知识迁移能力。
【难度系数】
0.8
5. 下面是小明的房间平面图，用一种正方形瓷砖正好把地面铺满。这种瓷砖的边长最大是多少分米？
答案
5. 40和32的最大公因数是8，所以瓷砖的边长最大是8分米。
解析
【分析】
要想用正方形瓷砖正好铺满长方形地面，瓷砖的边长必须同时是长方形长和宽的因数，要求瓷砖的边长最大，实际就是求长方形长40dm和宽32dm的最大公因数。我们可以通过列举法或短除法求出这两个数的最大公因数，进而得到瓷砖的最大边长。
【解析】
方法一：列举法
1. 列出40的所有因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
2. 列出32的所有因数：1、2、4、8、16、32；
3. 找出40和32的公因数：1、2、4、8，其中最大的公因数是8。
方法二：短除法
```
2 | 40 32
|______
2 | 20 16
|______
2 | 10 8
|______
5 4
```
40和32的最大公因数为$2×2×2=8$，因此这种瓷砖的边长最大是8分米。
【答案】
这种瓷砖的边长最大是8分米。
【知识点】
1. 最大公因数的求法
2. 最大公因数的实际应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是将“正好铺满地面”的实际问题转化为求两个数最大公因数的数学问题，需要掌握求最大公因数的方法并能灵活运用。
【难度系数】
0.8
要想用正方形瓷砖正好铺满长方形地面，瓷砖的边长必须同时是长方形长和宽的因数，要求瓷砖的边长最大，实际就是求长方形长40dm和宽32dm的最大公因数。我们可以通过列举法或短除法求出这两个数的最大公因数，进而得到瓷砖的最大边长。
【解析】
方法一：列举法
1. 列出40的所有因数：1、2、4、5、8、10、20、40；
2. 列出32的所有因数：1、2、4、8、16、32；
3. 找出40和32的公因数：1、2、4、8，其中最大的公因数是8。
方法二：短除法
```
2 | 40 32
|______
2 | 20 16
|______
2 | 10 8
|______
5 4
```
40和32的最大公因数为$2×2×2=8$，因此这种瓷砖的边长最大是8分米。
【答案】
这种瓷砖的边长最大是8分米。
【知识点】
1. 最大公因数的求法
2. 最大公因数的实际应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，解题关键是将“正好铺满地面”的实际问题转化为求两个数最大公因数的数学问题，需要掌握求最大公因数的方法并能灵活运用。
【难度系数】
0.8
6. 有48个篮球和30个排球，篮球和排球要分开装筐。要使每个筐里篮球和排球的数量一样多，并尽可能装得最多，至少要准备多少个筐？
答案
6. 48和30的最大公因数是6，8+5=13（个），所以至少准备13个筐。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确核心需求：每个筐里篮球和排球的数量一样多且尽可能装得最多，这意味着每个筐装的数量是48和30的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这两个数的最大数，这样既能保证每个筐数量相同，又能让每个筐装的数量最多。接下来，我们需要分别计算篮球和排球各自需要多少个筐，最后将两者的筐数相加，就能得到至少要准备的总筐数。
【解析】
1. 求48和30的最大公因数：
分解质因数可得：
$48 = 2×2×2×2×3$
$30 = 2×3×5$
两个数共有的质因数为2和3，所以最大公因数为$2×3 = 6$，即每个筐最多装6个球。
2. 计算篮球所需筐数：$48÷6 = 8$（个）
3. 计算排球所需筐数：$30÷6 = 5$（个）
4. 计算总筐数：$8 + 5 = 13$（个）
【答案】
13个
【知识点】
最大公因数的应用、整数除法运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，解题关键是理解“每个筐数量相同且最多”对应求两个数的最大公因数，通过分解质因数求出最大公因数后，结合除法运算得到各自筐数再求和，锻炼了学生将数学概念转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，首先要明确核心需求：每个筐里篮球和排球的数量一样多且尽可能装得最多，这意味着每个筐装的数量是48和30的最大公因数，因为最大公因数是能同时整除这两个数的最大数，这样既能保证每个筐数量相同，又能让每个筐装的数量最多。接下来，我们需要分别计算篮球和排球各自需要多少个筐，最后将两者的筐数相加，就能得到至少要准备的总筐数。
【解析】
1. 求48和30的最大公因数：
分解质因数可得：
$48 = 2×2×2×2×3$
$30 = 2×3×5$
两个数共有的质因数为2和3，所以最大公因数为$2×3 = 6$，即每个筐最多装6个球。
2. 计算篮球所需筐数：$48÷6 = 8$（个）
3. 计算排球所需筐数：$30÷6 = 5$（个）
4. 计算总筐数：$8 + 5 = 13$（个）
【答案】
13个
【知识点】
最大公因数的应用、整数除法运算
【点评】
本题考查最大公因数在实际分配问题中的应用，解题关键是理解“每个筐数量相同且最多”对应求两个数的最大公因数，通过分解质因数求出最大公因数后，结合除法运算得到各自筐数再求和，锻炼了学生将数学概念转化为实际问题解决方案的能力。
【难度系数】
0.6
把上面3段彩条截成同样长的小段且没有剩余，每段最长几厘米？
答案
16、32、56的最大公因数是8，所以每段最长8厘米。
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要理解题意：把3段彩条截成同样长的小段且没有剩余，说明每段的长度是这三段彩条长度的公因数；要求每段最长的长度，就是求这三个长度的最大公因数。我们先确定三段彩条长度分别为16厘米、32厘米、56厘米，再通过求这三个数的最大公因数得到答案。
【解析】
步骤1：明确三段彩条的长度为16厘米、32厘米、56厘米。
步骤2：用分解质因数法求最大公因数：
16 = 2×2×2×2
32 = 2×2×2×2×2
56 = 2×2×2×7
三个数公有的质因数是3个2，因此它们的最大公因数为2×2×2 = 8。
即每段最长8厘米。
【答案】
8厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，关键是将实际问题转化为数学问题，理解“截成同样长且无剩余”对应公因数，“最长”对应最大公因数，需准确把握数学概念与实际场景的关联。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要理解题意：把3段彩条截成同样长的小段且没有剩余，说明每段的长度是这三段彩条长度的公因数；要求每段最长的长度，就是求这三个长度的最大公因数。我们先确定三段彩条长度分别为16厘米、32厘米、56厘米，再通过求这三个数的最大公因数得到答案。
【解析】
步骤1：明确三段彩条的长度为16厘米、32厘米、56厘米。
步骤2：用分解质因数法求最大公因数：
16 = 2×2×2×2
32 = 2×2×2×2×2
56 = 2×2×2×7
三个数公有的质因数是3个2，因此它们的最大公因数为2×2×2 = 8。
即每段最长8厘米。
【答案】
8厘米
【知识点】
最大公因数的应用
【点评】
本题考查最大公因数在实际生活中的应用，关键是将实际问题转化为数学问题，理解“截成同样长且无剩余”对应公因数，“最长”对应最大公因数，需准确把握数学概念与实际场景的关联。
【难度系数】
0.7
