10. 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ ACB = 90^{\circ}$，$CD⊥ AB$ 于点 $D$，$∠ ACD = 3∠ BCD$，$E$ 是 $AB$ 的中点.
(1)求 $∠ A$ 的度数；
(2)探究 $AB$ 与 $DE$ 之间的数量关系.

(1)22.5°；(2)AB=2√2DE。

(1)设∠BCD=x，则∠ACD=3x，∵∠ACB=90°，∴3x+x=90°，解得x=22.5°，即∠BCD=22.5°。
∵CD⊥AB，∴∠CDB=90°，在Rt△BCD中，∠B=90°-∠BCD=67.5°。
在Rt△ABC中，∠A=90°-∠B=22.5°。
(2)∵E是AB中点，∠ACB=90°，∴CE=AE=BE=1/2AB。
∵CE=BE，∴∠ECB=∠B=67.5°，∴∠ECD=∠ECB-∠BCD=67.5°-22.5°=45°。
∵CD⊥AB，∴∠CDE=90°，∴△CDE是等腰直角三角形，∴CE=√2DE。
∵CE=1/2AB，∴1/2AB=√2DE，∴AB=2√2DE。

【动手操作】
如图，将矩形纸片 $ABCD$ 对折，使 $AD$ 与 $BC$ 重合，展平纸片，得到折痕 $EF$.再一次折叠纸片，使点 $B$ 落在 $EF$ 上，并使折痕经过点 $A$，得到折痕 $AM$，点 $B$，$E$ 的对应点分别为 $B'$，$E'$，展平纸片，连接 $AB'$，$BB'$，$BE'$.
【发现问题】
(1)试猜想 $∠ 1$，$∠ 2$ 和 $∠ 3$ 的大小关系，并说明理由；
【深入探究】
(2)连接 $DE'$，$FE'$，求证：$DE' = E'F$.

(1) ∠1=∠2=∠3.
理由：连接BB'，由第一次折叠知EF垂直平分AB，故B'A=B'B. 第二次折叠知AB=AB'，则AB=AB'=B'B，△ABB'为等边三角形，∠ABB'=60°. AM为折痕，平分∠BAB'，∠2=∠BAM=30°. ∠ABC=90°，∠3=∠ABC-∠ABB'=30°. E为AB中点，AE=EB，折叠后AE=AE'，EB=E'B，∠1=∠E'BA=30°，故∠1=∠2=∠3.
(2) 证明：建立坐标系，设B(0,0)，A(0,2a)，C(2b,0)，D(2b,2a). 第一次折叠得E(0,a)，F(2b,a). 第二次折叠得B'(√3a,a)，折痕AM：y=-√3x+2a，E关于AM对称点E'(√3a/2,3a/2).
DE'²=(2b-√3a/2)²+(2a-3a/2)²=(2b-√3a/2)²+(a/2)²，
E'F²=(2b-√3a/2)²+(a-3a/2)²=(2b-√3a/2)²+(a/2)²，
故DE'²=E'F²，即DE'=E'F.