6. 若矩形的一条对角线长为 $10\ cm$，两条对角线相交成的一个角为 $60^{\circ}$，则这个矩形的面积是$cm^{2}$.

因为四边形ABCD是矩形，对角线长为$10cm$，即$AC=BD= 10cm$，
根据矩形的性质，矩形的对角线互相平分且相等，
所以$OA=OC=\frac{1}{2}AC= 5cm$，$OB=OD=\frac{1}{2}BD= 5cm$，
因为两条对角线相交成的一个角为$60°$，
在$△ AOB$中，$OA=OB$，
所以$△ AOB$是等边三角形，
所以$AB=OA= 5cm$，
在$Rt△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AC^{2} - AB^{2}} =\sqrt{10^{2} - 5^{2}} =5\sqrt{3}cm$，
所以矩形的面积$S = AB · BC = 5×5\sqrt{3}=25\sqrt{3}cm^{2}$。
故答案为：$25\sqrt{3}$。

7. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 3$，对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，$AE$ 垂直平分 $OB$ 于点 $E$，则 $AD$ 的长为.

∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，OA=OC=1/2AC，OB=OD=1/2BD，∴OA=OB。
∵AE垂直平分OB，
∴AO=AB=3（垂直平分线上的点到线段两端距离相等）。
∴AC=2AO=6。
在Rt△ABC中，AB=3，AC=6，
由勾股定理得：BC=√(AC²-AB²)=√(6²-3²)=√27=3√3。
∵AD=BC，
∴AD=3√3。
3√3

8. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，连接 $AC$，$∠ BAC = 60^{\circ}$，以点 $A$ 为圆心，任意长为半径作弧，分别交 $AB$，$AC$ 于 $M$，$N$ 两点，再分别以点 $M$，$N$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2}MN$ 的长为半径作弧交于点 $P$，作射线 $AP$ 交 $BC$ 于点 $E$.若 $BE = 1$，则矩形 $ABCD$ 的面积为.

∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°。
∵∠BAC=60°，∴∠ACB=30°。
由作图知，AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP=30°。
在Rt△ABE中，∠BAE=30°，BE=1，tan∠BAE=BE/AB，即tan30°=1/AB，
∴AB=1/tan30°=1/(√3/3)=√3。
在Rt△ABC中，∠BAC=60°，tan∠BAC=BC/AB，即tan60°=BC/√3，
∴BC=√3×tan60°=√3×√3=3。
∴矩形ABCD的面积=AB×BC=√3×3=3√3。
3√3

9. 如图，四边形 $ABCD$ 是矩形，点 $E$ 和点 $F$ 在边 $BC$ 上，且 $BE = CF$. 求证：$AF = DE$.

证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠B=∠C=90°。
∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE。
在△ABF和△DCE中，
$\{\begin{array}{l} AB=DC,\\ ∠B=∠C,\\ BF=CE,\end{array} $
∴△ABF≌△DCE（SAS）。
∴AF=DE。