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1. 在$□ ABCD$中，连接$AC$，$BD$，添加下列一个条件后，能够判定$□ ABCD$为矩形的是()
A.$AB = AD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AB = AC$
D.$AC = BD$
A.$AB = AD$
B.$AC⊥ BD$
C.$AB = AC$
D.$AC = BD$
答案
D
解析
矩形的判定定理之一为对角线相等的平行四边形是矩形，在平行四边形$ABCD$中，已连接$AC$，$BD$。
选项A：$AB = AD$，只能说明平行四边形邻边相等，不能判定该平行四边形是矩形。
选项B：$AC⊥ BD$，说明对角线互相垂直，这是菱形的判定条件之一，不能判定平行四边形是矩形。
选项C：$AB = AC$，只能说明平行四边形的一条边与一条对角线相等，不能判定该平行四边形是矩形。
选项D：$AC = BD$，满足对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，可以判定平行四边形$ABCD$是矩形。
选项A：$AB = AD$，只能说明平行四边形邻边相等，不能判定该平行四边形是矩形。
选项B：$AC⊥ BD$，说明对角线互相垂直，这是菱形的判定条件之一，不能判定平行四边形是矩形。
选项C：$AB = AC$，只能说明平行四边形的一条边与一条对角线相等，不能判定该平行四边形是矩形。
选项D：$AC = BD$，满足对角线相等的平行四边形是矩形这一判定定理，可以判定平行四边形$ABCD$是矩形。
2. 要检验一个四边形的桌面是否为矩形，可行的测量方案是()
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是否是$90^{\circ}$
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
A.测量两条对角线是否相等
B.度量两个角是否是$90^{\circ}$
C.测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等
D.测量两组对边是否分别相等
答案
C
解析
A方案：仅测量两条对角线是否相等不能确定四边形为矩形，因为等腰梯形对角线也相等，不是矩形才具备的性质，所以A方案不可行；
B方案：度量两个角是$90^{\circ}$，若这两个角不是相邻的角，不能判定该四边形是矩形，所以B方案不可行；
C方案：因为矩形的判定方法中有对角线互相平分且相等的四边形是矩形，测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等，可判断对角线是否互相平分且相等，所以C方案可行；
D方案：测量两组对边是否分别相等只能判定四边形是平行四边形，不能判定是矩形，所以D方案不可行。
B方案：度量两个角是$90^{\circ}$，若这两个角不是相邻的角，不能判定该四边形是矩形，所以B方案不可行；
C方案：因为矩形的判定方法中有对角线互相平分且相等的四边形是矩形，测量两条对角线的交点到四个顶点的距离是否相等，可判断对角线是否互相平分且相等，所以C方案可行；
D方案：测量两组对边是否分别相等只能判定四边形是平行四边形，不能判定是矩形，所以D方案不可行。
3. 如图，顺次连接四边形$ABCD$各边中点得四边形$EFGH$.要使四边形$EFGH$为矩形，应添加的条件是()
A.$AB// DC$
B.$AC = BD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AB = DC$
A.$AB// DC$
B.$AC = BD$
C.$AC⊥ BD$
D.$AB = DC$
答案
C
解析
连接AC、BD，E、F、G、H分别为各边中点，由三角形中位线定理得EF//AC//HG，EH//BD//FG，故EFGH为平行四边形。要使平行四边形EFGH为矩形，需有一个角为直角，即EF⊥EH，因EF//AC，EH//BD，所以AC⊥BD。
4. 如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，$△ OAD$是正三角形，且$AD = 4$，则$□ ABCD$的面积是.
答案
∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD。
∵△OAD是正三角形，AD=4，∴OA=OD=AD=4。
∴AC=2OA=8，BD=2OD=8，∴AC=BD。
∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴□ABCD是矩形。
在Rt△ADC中，AD=4，AC=8，∠ADC=90°，
由勾股定理得：CD=√(AC²-AD²)=√(8²-4²)=√(64-16)=√48=4√3。
∴□ABCD的面积=AD×CD=4×4√3=16√3。
16√3
∵△OAD是正三角形，AD=4，∴OA=OD=AD=4。
∴AC=2OA=8，BD=2OD=8，∴AC=BD。
∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴□ABCD是矩形。
在Rt△ADC中，AD=4，AC=8，∠ADC=90°，
由勾股定理得：CD=√(AC²-AD²)=√(8²-4²)=√(64-16)=√48=4√3。
∴□ABCD的面积=AD×CD=4×4√3=16√3。
16√3
