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1. 如图，已知在$△ ABC$中，$AB = 3$，$AC = 4$，$BC = 5$，$P$为$BC$边上一点，$PM ⊥ AB$于点$M$，$PN ⊥ AC$于点$N$。求证：四边形$AMPN$是矩形。
答案
1.证明:因为在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5，且$3^{2}+4^{2}=25=5^{2}$，
所以$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，
所以△ABC为直角三角形，且∠A=90°.
因为PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,
所以∠AMP=∠PNA=90°，
所以四边形AMPN是矩形.
所以$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，
所以△ABC为直角三角形，且∠A=90°.
因为PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N,
所以∠AMP=∠PNA=90°，
所以四边形AMPN是矩形.
解析
【解析】
证明：
因为在$△ ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，且$3^{2}+4^{2}=25=5^{2}$，
所以$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，
所以$△ ABC$为直角三角形，且$∠ A=90°$。
因为$PM⊥ AB$于点$M$，$PN⊥ AC$于点$N$，
所以$∠ AMP=∠ PNA=90°$，
所以四边形$AMPN$是矩形。
【答案】
四边形$AMPN$是矩形
【知识点】
勾股定理逆定理、矩形的判定
【点评】
本题考查勾股定理逆定理与矩形判定的综合运用，先通过勾股定理逆定理证得$∠ A=90°$，再结合已知的垂直条件，利用“三个角是直角的四边形是矩形”完成证明，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.8
证明：
因为在$△ ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，$BC=5$，且$3^{2}+4^{2}=25=5^{2}$，
所以$AB^{2}+AC^{2}=BC^{2}$，
所以$△ ABC$为直角三角形，且$∠ A=90°$。
因为$PM⊥ AB$于点$M$，$PN⊥ AC$于点$N$，
所以$∠ AMP=∠ PNA=90°$，
所以四边形$AMPN$是矩形。
【答案】
四边形$AMPN$是矩形
【知识点】
勾股定理逆定理、矩形的判定
【点评】
本题考查勾股定理逆定理与矩形判定的综合运用，先通过勾股定理逆定理证得$∠ A=90°$，再结合已知的垂直条件，利用“三个角是直角的四边形是矩形”完成证明，属于基础几何证明题。
【难度系数】
0.8
2. 如图，在四边形$ABCD$中，点$E$，$F$分别在$DC$，$AB$上，$BF = DE$，$AC$和$EF$互相平分并交于点$O$，$∠ B = 90°$，求证：四边形$ABCD$是矩形。
答案
2.证明:如图，连接AE,CF.
因为AC和EF互相平分，
所以四边形AECF是平行四边形，
所以AF=CE,AF//CE.
因为BF=DE,
所以BF+AF=DE+CE,即AB=CD.
因为AF//CE,
所以四边形ABCD是平行四边形.
因为∠B=90°,
所以平行四边形ABCD是矩形.
解析
【解析】
证明：如图，连接$AE$，$CF$。
因为$AC$和$EF$互相平分，
所以四边形$AECF$是平行四边形，
所以$AF=CE$，$AF// CE$。
因为$BF=DE$，
所以$BF+AF=DE+CE$，即$AB=CD$。
因为$AF// CE$，即$AB// CD$，
所以四边形$ABCD$是平行四边形。
因为$∠ B=90°$，
所以平行四边形$ABCD$是矩形。
【答案】
四边形$ABCD$是矩形，证明如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，矩形的判定
【点评】
本题通过连接辅助线构造平行四边形，综合运用平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理完成证明，考查了对特殊四边形判定和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
证明：如图，连接$AE$，$CF$。
因为$AC$和$EF$互相平分，
所以四边形$AECF$是平行四边形，
所以$AF=CE$，$AF// CE$。
因为$BF=DE$，
所以$BF+AF=DE+CE$，即$AB=CD$。
因为$AF// CE$，即$AB// CD$，
所以四边形$ABCD$是平行四边形。
因为$∠ B=90°$，
所以平行四边形$ABCD$是矩形。
【答案】
四边形$ABCD$是矩形，证明如上。
【知识点】
平行四边形的判定与性质，矩形的判定
【点评】
本题通过连接辅助线构造平行四边形，综合运用平行四边形的判定与性质、矩形的判定定理完成证明，考查了对特殊四边形判定和性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
【例2】如图，在$□ ABCD$中，$AE ⊥ BC$于点$E$，延长$BC$至点$F$，使$CF = BE$，连接$DF$，$AF$，$DE$，$AF$与$DE$交于点$O$。
（1）判断四边形$AEFD$的形状，并说明理由。
（2）若$AB = 6$，$OE = 4$，$BF = 10$，求$AE$的长。
思路分析
思考1：$∠ AEB$是多少度？$EF$和$AD$的数量关系和位置关系是什么？
思考2：$△ ABF$是直角三角形吗？
解：
【规律方法】
矩形的判定和性质的综合问题的解题方法
（1）仔细观察图形，找出已知条件中给出的线段、角度之间的关系，以及与矩形的判定和性质相关的元素。例如，观察是否有平行关系，是否有相等的线段或角等。
（2）将已知条件进行转化，使其与矩形的判定和性质建立联系。
（3）矩形的综合问题往往与三角形全等，勾股定理等知识相结合，要善于运用这些知识来辅助解题。
（1）判断四边形$AEFD$的形状，并说明理由。
（2）若$AB = 6$，$OE = 4$，$BF = 10$，求$AE$的长。
思路分析
思考1：$∠ AEB$是多少度？$EF$和$AD$的数量关系和位置关系是什么？
思考2：$△ ABF$是直角三角形吗？
解：
【规律方法】
矩形的判定和性质的综合问题的解题方法
（1）仔细观察图形，找出已知条件中给出的线段、角度之间的关系，以及与矩形的判定和性质相关的元素。例如，观察是否有平行关系，是否有相等的线段或角等。
（2）将已知条件进行转化，使其与矩形的判定和性质建立联系。
（3）矩形的综合问题往往与三角形全等，勾股定理等知识相结合，要善于运用这些知识来辅助解题。
答案
思路分析
思考1:∠AEB=90°.EF=AD,EF//AD.
思考2:是直角三角形.
解:(1)四边形AEFD是矩形.理由如下:
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD//BC,AD=BC.
因为CF=BE,
所以CF+CE=BE+CE,
即EF=BC,
所以AD=EF.
因为AD//EF，
所以四边形AEFD是平行四边形.
因为AE⊥EF,
所以∠AEF=90°,
所以四边形AEFD是矩形.
(2)AE=4.8.
思考1:∠AEB=90°.EF=AD,EF//AD.
思考2:是直角三角形.
解:(1)四边形AEFD是矩形.理由如下:
因为四边形ABCD是平行四边形，
所以AD//BC,AD=BC.
因为CF=BE,
所以CF+CE=BE+CE,
即EF=BC,
所以AD=EF.
因为AD//EF，
所以四边形AEFD是平行四边形.
因为AE⊥EF,
所以∠AEF=90°,
所以四边形AEFD是矩形.
(2)AE=4.8.
解析
【解析】
（1）四边形$AEFD$是矩形，理由如下：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC$。
因为$CF=BE$，所以$CF+CE=BE+CE$，即$EF=BC$，所以$AD=EF$。
又$AD// EF$，所以四边形$AEFD$是平行四边形。
因为$AE⊥ BC$，所以$∠ AEF=90°$，故平行四边形$AEFD$是矩形。
（2）在$△ ABF$中，$AB=6$，$BF=10$，由勾股定理逆定理可得$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
因为四边形$AEFD$是矩形，所以$DE=AF=8$，且$AF⊥ DE$。
设$AE=x$，在$Rt△ AEF$中，$EF=AD$，由平行四边形性质及$BF=10$，结合矩形性质，利用面积法：$△ ABF$的面积$=\frac{1}{2}× AB× AF=\frac{1}{2}× BF× AE$，即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× x$，解得$x=4.8$，即$AE=4.8$。
【答案】
（1）四边形$AEFD$是矩形，理由见解析；
（2）$\boldsymbol{AE=4.8}$
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的性质与判定，以及勾股定理的应用，解题需灵活运用特殊四边形的判定定理与性质，结合勾股定理进行几何计算，锻炼逻辑推理与运算能力。
【难度系数】
0.6
（1）四边形$AEFD$是矩形，理由如下：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$AD// BC$，$AD=BC$。
因为$CF=BE$，所以$CF+CE=BE+CE$，即$EF=BC$，所以$AD=EF$。
又$AD// EF$，所以四边形$AEFD$是平行四边形。
因为$AE⊥ BC$，所以$∠ AEF=90°$，故平行四边形$AEFD$是矩形。
（2）在$△ ABF$中，$AB=6$，$BF=10$，由勾股定理逆定理可得$AF=\sqrt{BF^2-AB^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$。
因为四边形$AEFD$是矩形，所以$DE=AF=8$，且$AF⊥ DE$。
设$AE=x$，在$Rt△ AEF$中，$EF=AD$，由平行四边形性质及$BF=10$，结合矩形性质，利用面积法：$△ ABF$的面积$=\frac{1}{2}× AB× AF=\frac{1}{2}× BF× AE$，即$\frac{1}{2}×6×8=\frac{1}{2}×10× x$，解得$x=4.8$，即$AE=4.8$。
【答案】
（1）四边形$AEFD$是矩形，理由见解析；
（2）$\boldsymbol{AE=4.8}$
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的性质与判定，以及勾股定理的应用，解题需灵活运用特殊四边形的判定定理与性质，结合勾股定理进行几何计算，锻炼逻辑推理与运算能力。
【难度系数】
0.6
