【例1】如图，在四边形$ABCD$中，$AC$与$BD$相交于点$O$，$AB // DC$，$AD // BC$，以$AC$为斜边作$Rt△ AEC$，$∠ AEC = 90°$，以$BD$为斜边作$Rt△ BED$，$∠ BED = 90°$。
求证：四边形$ABCD$是矩形。

证明：
【规律方法】
判定某个四边形为矩形时，一定要分清是在一般四边形的基础上，还是在平行四边形的基础上进行判定。

证明:如图，连接OE.

因为AB//DC，AD//BC，
所以四边形ABCD是平行四边形.
因为∠AEC=∠BED=90°，
所以OE=$\frac{1}{2}$AC，OE=$\frac{1}{2}$BD，
所以AC=BD，
所以平行四边形ABCD是矩形.

【解析】
首先连接辅助线OE，由AB//DC，AD//BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可证四边形ABCD是平行四边形；再结合∠AEC=∠BED=90°，利用直角三角形斜边中线等于斜边的一半，得到OE=$\frac{1}{2}$AC，OE=$\frac{1}{2}$BD，从而推出AC=BD；最后依据对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得平行四边形ABCD是矩形。
【答案】
证明：如图，连接OE。
因为$AB // DC$，$AD // BC$，
所以四边形$ABCD$是平行四边形。
因为$∠ AEC = ∠ BED = 90°$，
所以$OE = \frac{1}{2}AC$，$OE = \frac{1}{2}BD$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半），
所以$AC = BD$，
所以平行四边形$ABCD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【知识点】
平行四边形的判定；直角三角形斜边中线定理；矩形的判定
【点评】
本题综合运用平行四边形、矩形的判定定理及直角三角形的性质解题，关键是通过作辅助线OE，建立起AC与BD的等量关系，需明确矩形判定的不同前提条件，区分一般四边形与平行四边形基础上的判定差异。
【难度系数】
0.6