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4. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC=90°，取AC的中点O，BC的中点E，连接OD，OE，已知∠CAD=∠CAB=22°，则∠DOE的度数为
66°
。答案
4. 66°
解析
【解析】
1. 在Rt△ADC中，O是AC的中点，根据直角三角形斜边中线定理，可得OD=OA，因此∠ODA=∠CAD=22°。
2. 根据三角形外角的性质，∠DOC=∠ODA+∠CAD=22°+22°=44°。
3. 因为O是AC中点，E是BC中点，所以OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理可知OE//AB，进而∠EOC=∠CAB=22°。
4. 因此∠DOE=∠DOC+∠EOC=44°+22°=66°。
【答案】
66°
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理；三角形外角性质
【点评】
本题综合考查直角三角形斜边中线性质、三角形中位线性质及三角形外角性质，熟练运用相关定理是解题的核心。
【难度系数】
0.6
1. 在Rt△ADC中，O是AC的中点，根据直角三角形斜边中线定理，可得OD=OA，因此∠ODA=∠CAD=22°。
2. 根据三角形外角的性质，∠DOC=∠ODA+∠CAD=22°+22°=44°。
3. 因为O是AC中点，E是BC中点，所以OE是△ABC的中位线，由三角形中位线定理可知OE//AB，进而∠EOC=∠CAB=22°。
4. 因此∠DOE=∠DOC+∠EOC=44°+22°=66°。
【答案】
66°
【知识点】
直角三角形斜边中线定理；三角形中位线定理；三角形外角性质
【点评】
本题综合考查直角三角形斜边中线性质、三角形中位线性质及三角形外角性质，熟练运用相关定理是解题的核心。
【难度系数】
0.6
5. 如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为
56°
。答案
5. 56°
解析
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠ADC=90°，
∴ ∠ADB=∠ADC - ∠BDC=90°-62°=28°，
∵ AD//BC，
∴ ∠DBC=∠ADB=28°，
由折叠的性质得∠DBE=∠DBC=28°，
在△DFB中，∠BFD=180°-∠ADB-∠DBE=180°-28°-28°=124°，
∴ ∠DFE=180°-∠BFD=180°-124°=56°。
【答案】
56°
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查矩形与折叠的综合应用，需结合矩形的平行性质、折叠的全等性质，利用三角形内角和定理求解角度，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD//BC，∠ADC=90°，
∴ ∠ADB=∠ADC - ∠BDC=90°-62°=28°，
∵ AD//BC，
∴ ∠DBC=∠ADB=28°，
由折叠的性质得∠DBE=∠DBC=28°，
在△DFB中，∠BFD=180°-∠ADB-∠DBE=180°-28°-28°=124°，
∴ ∠DFE=180°-∠BFD=180°-124°=56°。
【答案】
56°
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、三角形内角和定理
【点评】
本题考查矩形与折叠的综合应用，需结合矩形的平行性质、折叠的全等性质，利用三角形内角和定理求解角度，属于基础综合题。
【难度系数】
0.6
6. 如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AD，BC上，AE=FC。
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形。
(2)如图，连接EF，若AB=2，AE=1，ED=3，求EF的长。
(1)求证：四边形EBFD是平行四边形。
(2)如图，连接EF，若AB=2，AE=1，ED=3，求EF的长。
答案
6. (1) 证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以AD // BC，AD = BC．
因为AE = FC，
所以DE = FB，
所以四边形EBFD是平行四边形．
(2) 解：EF = 2√{2}．
所以AD // BC，AD = BC．
因为AE = FC，
所以DE = FB，
所以四边形EBFD是平行四边形．
(2) 解：EF = 2√{2}．
解析
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD // BC，AD = BC．
∵ AE = FC，
∴ AD - AE = BC - FC，即DE = FB．
又
∵ DE // FB，
∴ 四边形EBFD是平行四边形．
(2) 解：
过点E作EG⊥BC于点G，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠B=90°，
∴ 四边形ABGE是矩形，
∴ EG=AB=2，BG=AE=1．
∵ AD=AE+ED=1+3=4，矩形ABCD中AD=BC，
∴ BC=4，
∵ FC=AE=1，
∴ FG=BC-BG-FC=4-1-1=2．
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
EF=√(EG²+FG²)=√(2²+2²)=2√2．
【答案】
(1) 四边形EBFD是平行四边形，证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
【知识点】
矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形的性质、平行四边形的判定及勾股定理的应用，解题时需熟练运用矩形对边平行且相等的性质证明平行四边形，通过构造直角三角形利用勾股定理求解线段长度，培养几何图形的转化与计算能力。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AD // BC，AD = BC．
∵ AE = FC，
∴ AD - AE = BC - FC，即DE = FB．
又
∵ DE // FB，
∴ 四边形EBFD是平行四边形．
(2) 解：
过点E作EG⊥BC于点G，
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ ∠A=∠B=90°，
∴ 四边形ABGE是矩形，
∴ EG=AB=2，BG=AE=1．
∵ AD=AE+ED=1+3=4，矩形ABCD中AD=BC，
∴ BC=4，
∵ FC=AE=1，
∴ FG=BC-BG-FC=4-1-1=2．
在Rt△EGF中，由勾股定理得：
EF=√(EG²+FG²)=√(2²+2²)=2√2．
【答案】
(1) 四边形EBFD是平行四边形，证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{2\sqrt{2}}$
【知识点】
矩形的性质，平行四边形的判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形的性质、平行四边形的判定及勾股定理的应用，解题时需熟练运用矩形对边平行且相等的性质证明平行四边形，通过构造直角三角形利用勾股定理求解线段长度，培养几何图形的转化与计算能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，∠ABC=∠ADC=90°，E，F分别是AC，BD的中点。
(1)求证：EF⊥BD。
(2)若∠BAD=30°，AC=8，求BD的长。
(1)求证：EF⊥BD。
(2)若∠BAD=30°，AC=8，求BD的长。
答案
7. (1) 证明：如图，连接BE，DE．
因为∠ABC = ∠ADC = 90°，E是AC的中点，
所以$BE = DE = AE = {1 \over 2}AC．$
因为F是BD的中点，
所以EF ⊥ BD．
(2) 解：BD = 4．
解析
【解析】
(1) 证明：连接BE，DE。
因为∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，根据直角三角形斜边中线定理，可得$BE = DE = \frac{1}{2}AC$。
又因为F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，所以EF⊥BD。
(2) 解：因为∠BAD=30°，$BE = AE = \frac{1}{2}AC$，$DE = AE = \frac{1}{2}AC$，所以∠BAE=∠ABE，∠DAE=∠ADE。
则∠BED=∠BAE+∠ABE+∠DAE+∠ADE=2(∠BAE+∠DAE)=2∠BAD=60°。
又因为BE=DE，所以△BED是等边三角形。
已知AC=8，所以$BE=\frac{1}{2}AC=4$，因此BD=BE=4。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $BD=4$
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查直角三角形、等腰三角形及等边三角形的相关性质，解题关键是通过连接辅助线BE、DE，构造出等腰三角形，进而利用相关定理完成证明与计算。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：连接BE，DE。
因为∠ABC=∠ADC=90°，E是AC的中点，根据直角三角形斜边中线定理，可得$BE = DE = \frac{1}{2}AC$。
又因为F是BD的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，所以EF⊥BD。
(2) 解：因为∠BAD=30°，$BE = AE = \frac{1}{2}AC$，$DE = AE = \frac{1}{2}AC$，所以∠BAE=∠ABE，∠DAE=∠ADE。
则∠BED=∠BAE+∠ABE+∠DAE+∠ADE=2(∠BAE+∠DAE)=2∠BAD=60°。
又因为BE=DE，所以△BED是等边三角形。
已知AC=8，所以$BE=\frac{1}{2}AC=4$，因此BD=BE=4。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $BD=4$
【知识点】
直角三角形斜边中线定理，等腰三角形三线合一，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查直角三角形、等腰三角形及等边三角形的相关性质，解题关键是通过连接辅助线BE、DE，构造出等腰三角形，进而利用相关定理完成证明与计算。
【难度系数】
0.6
