变式训练
3. 如图①，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD折叠，点C落在点C'的位置，BC'交AD于点G。
(1)求证：BG=DG。
(2)求C'G的长。
(3)如图②，再折叠一次，使点D与点A重合，折痕EN交AD于点M，求EM的长。

3. (1) 证明：根据题意可知，∠A = ∠C'，AB = C'D，
所以在△GAB和△GC'D中，
{∠A = ∠C'，
∠AGB = ∠C'GD，
AB = C'D，
所以△GAB ≌ △GC'D(AAS)，
所以BG = DG．
(2) 解：$C'G = {7 \over 4} cm．$
(3) 解：$EM = {7 \over 6} cm．$

【解析】
(1) 证明：
由折叠性质得$∠ C'=∠ C=90°$，$C'D=CD$，
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ A=∠ C=90°$，$AB=CD$，
因此$∠ A=∠ C'$，$AB=C'D$。
在$△ GAB$和$△ GC'D$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ C' \\∠ AGB = ∠ C'GD \\AB = C'D\end{cases}$
所以$△ GAB≌△ GC'D(AAS)$，
故$BG=DG$。
(2) 解：
设$DG=BG=y\ cm$，则$AG=(8-y)\ cm$，
在$Rt△ ABG$中，由勾股定理得：
$AB^2 + AG^2 = BG^2$，
代入$AB=6$，$AG=8-y$，$BG=y$，得：
$6^2 + (8-y)^2 = y^2$，
解得$y=\frac{25}{4}$，
因为$BC'=BC=AD=8\ cm$，
所以$C'G=BC'-BG=8-\frac{25}{4}=\frac{7}{4}\ cm$。
(3) 解：
由折叠使点$D$与点$A$重合，得$AM=DM=\frac{1}{2}AD=4\ cm$，$∠ EMD=90°$，
因为$∠ C'=90°$，$∠ EDM=∠ C'DG$，
所以$△ EMD∼△ C'DG$，
则$\frac{EM}{C'G}=\frac{DM}{C'D}$，
代入$C'G=\frac{7}{4}\ cm$，$DM=4\ cm$，$C'D=6\ cm$，得：
$\frac{EM}{\frac{7}{4}}=\frac{4}{6}$，
解得$EM=\frac{7}{6}\ cm$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{\frac{7}{4}cm}$；
(3) $\boldsymbol{\frac{7}{6}cm}$
【知识点】
矩形的性质，折叠的性质，勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠综合题，需结合折叠的全等性质、矩形的边角性质，利用勾股定理和相似三角形求解，考查逻辑推理与计算能力。
【难度系数】
0.4

1. 在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠AOB=80°，则∠OAB的大小为()

A.40°
B.45°
C.50°
D.55°

1. C

【解析】
在矩形ABCD中，根据矩形对角线相等且互相平分的性质，可得OA=OB，即△AOB为等腰三角形。已知∠AOB=80°，由三角形内角和为180°，可计算∠OAB=(180°-80°)÷2=50°。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、等腰三角形性质
【点评】
本题考查矩形对角线的性质及等腰三角形的角度计算，属于基础几何题，需熟练掌握矩形的基本性质与等腰三角形的内角关系。
【难度系数】
0.8

2. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=60°，AC=4，则AD的长为()

A.4
B.2√{3}
C.2
D.4√{3}

2. C

【解析】
在矩形ABCD中，对角线AC与BD相等且互相平分，
因为AC=4，所以OA=OD=AC/2=2。
又因为∠AOD=60°，所以△AOD是等边三角形，
因此AD=OA=2。
【答案】
C
【知识点】
矩形的性质、等边三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查矩形的性质及等边三角形的判定与性质，熟练掌握矩形对角线相等且互相平分的性质，以及等边三角形的判定方法是解题关键。
【难度系数】
0.8

3. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AC=16，则矩形ABCD的周长为。

3. 16 + 16√{3}

【解析】
因为四边形ABCD是矩形，所以AC=BD=16，OA=OC=OB=OD=8，∠BAD=90°。
因为∠AOD=120°，所以∠AOB=180°-120°=60°，故△AOB是等边三角形，AB=OA=8。
在Rt△ABD中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{BD^2-AB^2}=\sqrt{16^2-8^2}=8\sqrt{3}$。
因此矩形ABCD的周长为$2×(AB+AD)=2×(8+8\sqrt{3})=16+16\sqrt{3}$。
【答案】
$16 + 16\sqrt{3}$
【知识点】
矩形的性质，等边三角形判定，勾股定理
【点评】
本题综合考查矩形性质、等边三角形判定与性质及勾股定理，核心是利用矩形对角线的性质推导出等边三角形，进而求出矩形的边长计算周长。
【难度系数】
0.6