登录
变式训练
1. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，BE//AC，交DC的延长线于点E。
(1)求证：AC=BE。
(2)求四边形ABEC的周长。
1. 如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOD=120°，AB=4cm，BE//AC，交DC的延长线于点E。
(1)求证：AC=BE。
(2)求四边形ABEC的周长。
答案
1. (1) 证明：因为四边形ABCD是矩形，
所以AB // DE．
因为BE // AC，
所以四边形ABEC是平行四边形，
所以AC = BE．
(2) 解：四边形ABEC的周长为24 cm．
所以AB // DE．
因为BE // AC，
所以四边形ABEC是平行四边形，
所以AC = BE．
(2) 解：四边形ABEC的周长为24 cm．
解析
【解析】
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//DE。
又
∵ BE//AC，
∴ 四边形ABEC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ AC=BE（平行四边形的对边相等）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OB，∠BAD=90°，AC=BD。
∵ ∠AOD=120°，
∴ ∠AOB=180°-120°=60°，
∴ △AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ OA=AB=4cm，
∴ AC=2OA=8cm。
∵ 四边形ABEC是平行四边形，
∴ AB=EC=4cm，AC=BE=8cm，
∴ 四边形ABEC的周长=2×(AB+AC)=2×(4+8)=24cm。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 24cm
【知识点】
矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊图形的性质与判定，需熟练运用矩形、平行四边形的边与角的性质，结合角度分析推导线段长度，提升对特殊图形的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ AB//DE。
又
∵ BE//AC，
∴ 四边形ABEC是平行四边形（两组对边分别平行的四边形是平行四边形），
∴ AC=BE（平行四边形的对边相等）。
(2) 解：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ OA=OB，∠BAD=90°，AC=BD。
∵ ∠AOD=120°，
∴ ∠AOB=180°-120°=60°，
∴ △AOB是等边三角形（有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形），
∴ OA=AB=4cm，
∴ AC=2OA=8cm。
∵ 四边形ABEC是平行四边形，
∴ AB=EC=4cm，AC=BE=8cm，
∴ 四边形ABEC的周长=2×(AB+AC)=2×(4+8)=24cm。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) 24cm
【知识点】
矩形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查特殊图形的性质与判定，需熟练运用矩形、平行四边形的边与角的性质，结合角度分析推导线段长度，提升对特殊图形的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
【例2】如图，BE，CF都是△ABC的高，M为BC的中点，EF=5，BC=8，求△EFM的周长。
思路分析
思考：在△EFM中，已知EF的长，因此求周长实际上就是求边
解：
【规律方法】
(1)在直角三角形中，遇到斜边上的中点时，常作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线的性质解决问题。
(2)当题目中出现两条线段垂直，且垂足为其中一条线段的中点时，可考虑构造等腰三角形，利用其“三线合一”的性质解决问题。
思路分析
思考：在△EFM中，已知EF的长，因此求周长实际上就是求边
FM
和EM
的长。在图形中观察这两条边，它们恰好都是直角三角形斜边上的中线
，所以要求这两条边的长度，则需已知或求出这两条边对应的直角三角形中斜边
的长。解：
【规律方法】
(1)在直角三角形中，遇到斜边上的中点时，常作斜边上的中线，利用直角三角形斜边上的中线的性质解决问题。
(2)当题目中出现两条线段垂直，且垂足为其中一条线段的中点时，可考虑构造等腰三角形，利用其“三线合一”的性质解决问题。
答案
思路分析
思考：FM EM 中线 斜边
解：13．
思考：FM EM 中线 斜边
解：13．
解析
【解析】
因为BE，CF都是△ABC的高，所以△BEC和△BFC均为直角三角形。
又因为M为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$FM=\frac{1}{2}BC$，$EM=\frac{1}{2}BC$。
已知BC=8，所以$FM=EM=\frac{1}{2}×8=4$。
因为EF=5，所以△EFM的周长为$FM+EM+EF=4+4+5=13$。
【答案】
13
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题关键是识别出FM、EM为直角三角形斜边的中线，利用性质求出其长度，进而计算三角形周长。
【难度系数】
0.6
因为BE，CF都是△ABC的高，所以△BEC和△BFC均为直角三角形。
又因为M为BC的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得：
$FM=\frac{1}{2}BC$，$EM=\frac{1}{2}BC$。
已知BC=8，所以$FM=EM=\frac{1}{2}×8=4$。
因为EF=5，所以△EFM的周长为$FM+EM+EF=4+4+5=13$。
【答案】
13
【知识点】
直角三角形斜边中线性质
【点评】
本题考查直角三角形斜边中线的性质，解题关键是识别出FM、EM为直角三角形斜边的中线，利用性质求出其长度，进而计算三角形周长。
【难度系数】
0.6
变式训练
2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE。
(1)求证：CG=EG。
(2)已知BC=13，CD=5，求点E到线段BC的距离。
(3)在(2)的基础上，求线段CE的长度。
2. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD=AE。
(1)求证：CG=EG。
(2)已知BC=13，CD=5，求点E到线段BC的距离。
(3)在(2)的基础上，求线段CE的长度。
答案
2. (1) 证明：如图，连接DE．
因为AD是BC边上的高线，
所以△ABD是直角三角形．
因为CE是AB边上的中线，
所以E是AB的中点，即DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，
所以DE = AE = BE．
因为CD = AE，
所以DE = CD．
因为DG ⊥ CE，
所以CG = EG．
(2) 解：点E到线段BC的距离为3．
(3) 解：CE = 3√{10}．
解析
【解析】
(1) 证明：连接DE。
因为AD是BC边上的高线，所以△ABD是直角三角形。
因为CE是AB边上的中线，所以E是AB的中点，DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，故$DE=AE=BE$。
又因为$CD=AE$，所以$DE=CD$。
因为$DG⊥CE$，根据等腰三角形三线合一，可得$CG=EG$。
(2) 解：过点E作$EH⊥BC$于H，EH即为点E到BC的距离。
已知$BC=13$，$CD=5$，则$BD=BC-CD=8$。
由(1)知$BE=DE=CD=5$。
在Rt△BEH中，设$BH=x$，则$DH=8-x$，根据勾股定理：
$BE^2-BH^2=DE^2-DH^2$，即$5^2-x^2=5^2-(8-x)^2$，
解得$x=4$，则$EH=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即点E到线段BC的距离为3。
(3) 解：由(2)知$EH=3$，$CH=BC-BH=13-4=9$，
在Rt△CEH中，$CE=\sqrt{EH^2+CH^2}=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{3}$；
(3) $\boldsymbol{3\sqrt{10}}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题关键是通过构造辅助线，结合相关性质进行推理计算。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：连接DE。
因为AD是BC边上的高线，所以△ABD是直角三角形。
因为CE是AB边上的中线，所以E是AB的中点，DE是Rt△ABD斜边AB上的中线，故$DE=AE=BE$。
又因为$CD=AE$，所以$DE=CD$。
因为$DG⊥CE$，根据等腰三角形三线合一，可得$CG=EG$。
(2) 解：过点E作$EH⊥BC$于H，EH即为点E到BC的距离。
已知$BC=13$，$CD=5$，则$BD=BC-CD=8$。
由(1)知$BE=DE=CD=5$。
在Rt△BEH中，设$BH=x$，则$DH=8-x$，根据勾股定理：
$BE^2-BH^2=DE^2-DH^2$，即$5^2-x^2=5^2-(8-x)^2$，
解得$x=4$，则$EH=\sqrt{5^2-4^2}=3$，即点E到线段BC的距离为3。
(3) 解：由(2)知$EH=3$，$CH=BC-BH=13-4=9$，
在Rt△CEH中，$CE=\sqrt{EH^2+CH^2}=\sqrt{3^2+9^2}=3\sqrt{10}$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；
(2) $\boldsymbol{3}$；
(3) $\boldsymbol{3\sqrt{10}}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形三线合一，勾股定理
【点评】
本题综合考查直角三角形、等腰三角形的性质及勾股定理的应用，解题关键是通过构造辅助线，结合相关性质进行推理计算。
【难度系数】
0.6
【例3】如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边落在对角线AC上，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，求线段CF的长。
解：
【规律方法】
解决矩形中的折叠问题的关键点
(1)折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等。
(2)在解决矩形折叠问题中的求线段长度问题时，常常综合应用勾股定理和方程思想。
(3)矩形中存在一些特殊的角和数量关系，如四个直角、对角线相等等。
解：
【规律方法】
解决矩形中的折叠问题的关键点
(1)折叠前后的图形全等，即对应边相等，对应角相等。
(2)在解决矩形折叠问题中的求线段长度问题时，常常综合应用勾股定理和方程思想。
(3)矩形中存在一些特殊的角和数量关系，如四个直角、对角线相等等。
答案
解：CF = 4．
解析
【解析】
∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=AD=8，∠B=90°。
由折叠的性质可知：△ABE≌△AFE，
∴BE=EF=3，∠AFE=∠B=90°，即∠EFC=90°。
∴EC=BC-BE=8-3=5。
在Rt△EFC中，根据勾股定理：
$CF=\sqrt{EC^2-EF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
CF=4
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠问题，需利用折叠前后图形全等的性质得到对应边相等，结合矩形对边相等的性质求出相关线段长度，再通过勾股定理计算所求线段，考查了折叠性质与勾股定理的综合应用，符合矩形折叠问题的解题规律。
【难度系数】
0.7
∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=AD=8，∠B=90°。
由折叠的性质可知：△ABE≌△AFE，
∴BE=EF=3，∠AFE=∠B=90°，即∠EFC=90°。
∴EC=BC-BE=8-3=5。
在Rt△EFC中，根据勾股定理：
$CF=\sqrt{EC^2-EF^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{25-9}=\sqrt{16}=4$。
【答案】
CF=4
【知识点】
矩形的性质、折叠的性质、勾股定理
【点评】
本题是矩形折叠问题，需利用折叠前后图形全等的性质得到对应边相等，结合矩形对边相等的性质求出相关线段长度，再通过勾股定理计算所求线段，考查了折叠性质与勾股定理的综合应用，符合矩形折叠问题的解题规律。
【难度系数】
0.7
