3. 如图，在$□ ABCD$中，点$E$，$F$分别在边$BC$，$AD$上，$BE = DF$，$∠ AEC = 90°$。
（1）求证：四边形$AECF$是矩形。
（2）连接$BF$，若$AB = 4$，$∠ ABC = 60°$，$BF$平分$∠ ABC$，求$AD$的长。

3.(1)证明:因为四边形ABCD是平行四边形，
所以BC=AD,BC//AD.
又因为BE=DF,
所以BC−BE=AD−DF,
即EC=AF,
所以四边形AECF为平行四边形.
又因为∠AEC=90°,
所以四边形AECF是矩形.
(2)解:AD=6.

【解析】
（1）证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BC=AD$，$BC// AD$。
又
∵$BE=DF$，
∴$BC - BE = AD - DF$，即$EC=AF$。
∵$EC// AF$且$EC=AF$，
∴四边形$AECF$是平行四边形。
又
∵$∠AEC=90°$，
∴平行四边形$AECF$是矩形。
（2）解：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠AFB=∠FBC$。
∵$BF$平分$∠ABC$，
∴$∠ABF=∠FBC$，
∴$∠AFB=∠ABF$，
∴$AF=AB=4$。
在$Rt△ABE$中，$∠AEC=90°$，$∠ABC=60°$，$AB=4$，
∴$∠BAE=30°$，
∴$BE=\frac{1}{2}AB=2$。
∵$BE=DF=2$，
∴$AD=AF + DF=4 + 2=6$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{6}$
【知识点】
平行四边形的性质与判定，矩形的判定，直角三角形的性质
【点评】
本题考查平行四边形、矩形的相关性质与判定，以及直角三角形的性质，熟练掌握特殊四边形的判定定理和直角三角形的边角关系是解题关键。
【难度系数】
0.6

1. 活动课上，小明用四根细木条搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是不是矩形，以下测量方案正确的是()


A.测量是否有三个角是直角
B.测量对角线是否相等
C.测量两组对边是否分别相等
D.测量对角线是否互相垂直

1.A

【解析】
根据矩形的判定定理及各类四边形的性质逐一分析：
选项A：有三个角是直角的四边形是矩形，此测量方案正确；
选项B：对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，该方案错误；
选项C：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，不一定是矩形，该方案错误；
选项D：对角线互相垂直的四边形不一定是矩形，如菱形对角线互相垂直，但不是矩形，该方案错误。
【答案】
A
【知识点】
矩形的判定、特殊四边形性质
【点评】
本题考查矩形的判定定理，需准确区分矩形与其他特殊四边形的判定条件，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8

2. 要使$□ ABCD$成为矩形，则可添加的一个条件是()

A.$AB = AD$
B.$AC ⊥ BD$
C.$AD = BD$
D.$AC = BD$

2.D

【解析】
根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形。对各选项分析如下：
A. 若$AB = AD$，平行四边形邻边相等，则$□ABCD$是菱形，不是矩形；
B. 若$AC ⊥ BD$，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，不是矩形；
C. $AD = BD$这个条件无法判定$□ABCD$为矩形；
D. 若$AC = BD$，对角线相等的平行四边形是矩形，符合要求。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
矩形的判定、平行四边形的性质
【点评】
本题主要考查矩形的判定定理，需注意区分矩形与菱形的判定条件，避免概念混淆，属于基础题型。
【难度系数】
0.8