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3. 如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，且$OA = OD$，$∠ OAD = 55°$，则$∠ OBA$的度数为(
A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
A
)A.$35°$
B.$40°$
C.$45°$
D.$50°$
答案
3.A
解析
【解析】
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$，
又
∵ $OA=OD$，
∴ $OA=OB=OC=OD$，即$AC=BD$，
∴ 平行四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ DAB=90°$，
∵ $∠ OAD=55°$，
∴ $∠ OAB=90° - 55°=35°$，
∵ $OA=OB$，
∴ $∠ OBA=∠ OAB=35°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的判定与性质及等腰三角形的性质，需熟练运用相关性质推导角度关系，理清图形中的边角联系是解题核心。
【难度系数】
0.6
∵ 四边形$ABCD$是平行四边形，
∴ $OA=OC$，$OB=OD$，
又
∵ $OA=OD$，
∴ $OA=OB=OC=OD$，即$AC=BD$，
∴ 平行四边形$ABCD$是矩形，
∴ $∠ DAB=90°$，
∵ $∠ OAD=55°$，
∴ $∠ OAB=90° - 55°=35°$，
∵ $OA=OB$，
∴ $∠ OBA=∠ OAB=35°$。
【答案】
A
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查平行四边形、矩形的判定与性质及等腰三角形的性质，需熟练运用相关性质推导角度关系，理清图形中的边角联系是解题核心。
【难度系数】
0.6
4. 某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为$2\ cm$，$3\ cm$，则该四边形的面积为
6
$cm^{2}$。答案
4.6
解析
【解析】
由对角线互相平分可判定该四边形为平行四边形，又因为对角线相等，所以此平行四边形为矩形。根据矩形面积公式，面积=长×宽，已知相邻两边长为2cm和3cm，因此面积为2×3=6（cm²）。
【答案】
6
【知识点】
矩形的判定与性质
【点评】
本题考查矩形的判定及面积计算，需先根据对角线的特征判定四边形为矩形，再利用矩形面积公式求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
由对角线互相平分可判定该四边形为平行四边形，又因为对角线相等，所以此平行四边形为矩形。根据矩形面积公式，面积=长×宽，已知相邻两边长为2cm和3cm，因此面积为2×3=6（cm²）。
【答案】
6
【知识点】
矩形的判定与性质
【点评】
本题考查矩形的判定及面积计算，需先根据对角线的特征判定四边形为矩形，再利用矩形面积公式求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在四边形$ABCD$中，$AB // CD$，$AC = BD$，请再添加一个条件
AB=CD(答案不唯一)
，使四边形$ABCD$是矩形。答案
5.AB=CD(答案不唯一)
解析
【解析】
已知$AB// CD$，若添加条件$AB=CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABCD$是平行四边形；又因为$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形$ABCD$是矩形。（也可添加如$∠ ABC=90°$、$AD// BC$等条件，合理即可）
【答案】
$AB=CD$（答案不唯一）
【知识点】
矩形的判定，平行四边形的判定
【点评】
本题考查矩形与平行四边形的判定定理的应用，答案不唯一，需结合已知条件灵活选择添加的条件，提升对特殊四边形判定的理解与运用能力。
【难度系数】
0.8
已知$AB// CD$，若添加条件$AB=CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可得四边形$ABCD$是平行四边形；又因为$AC=BD$，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可判定四边形$ABCD$是矩形。（也可添加如$∠ ABC=90°$、$AD// BC$等条件，合理即可）
【答案】
$AB=CD$（答案不唯一）
【知识点】
矩形的判定，平行四边形的判定
【点评】
本题考查矩形与平行四边形的判定定理的应用，答案不唯一，需结合已知条件灵活选择添加的条件，提升对特殊四边形判定的理解与运用能力。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在矩形$ABCD$中，$BC = 20\ cm$，点$P$和点$Q$分别从点$B$和点$D$出发，按逆时针方向沿矩形$ABCD$的边运动，点$P$和点$Q$的速度分别为$3\ cm/s$和$2\ cm/s$，则最快
4
$s$时，四边形$ABPQ$成为矩形。答案
6.4
解析
1
7. 如图，在平行四边形$ABCD$中，$∠ A = ∠ B$，求证：四边形$ABCD$是矩形。
答案
7.证明:因为四边形ABCD是平行四边形，所以AD//BC,
所以∠A+∠B=180°.
因为∠A=∠B,
所以∠A=∠B=90°,
所以平行四边形ABCD是矩形.
所以∠A+∠B=180°.
因为∠A=∠B,
所以∠A=∠B=90°,
所以平行四边形ABCD是矩形.
解析
【解析】
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ A+∠ B=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵$∠ A=∠ B$，
∴$∠ A=∠ B=90°$，
∴平行四边形$ABCD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
【答案】
四边形$ABCD$是矩形
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定，平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与矩形判定定理的综合应用，解题关键是利用平行线性质结合已知角的关系推导出直角，进而运用矩形判定定理完成证明，属于基础证明题。
【难度系数】
0.7
证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$AD// BC$，
∴$∠ A+∠ B=180°$（两直线平行，同旁内角互补）。
∵$∠ A=∠ B$，
∴$∠ A=∠ B=90°$，
∴平行四边形$ABCD$是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
【答案】
四边形$ABCD$是矩形
【知识点】
平行四边形的性质，矩形的判定，平行线的性质
【点评】
本题考查平行四边形性质与矩形判定定理的综合应用，解题关键是利用平行线性质结合已知角的关系推导出直角，进而运用矩形判定定理完成证明，属于基础证明题。
【难度系数】
0.7
8. 如图，点$B$在直线$MN$上，过线段$AB$的中点$O$作$MN$的平行线，分别交$∠ ABM$和$∠ ABN$的平分线于点$C$和点$D$。试判断四边形$ACBD$的形状，并证明你的结论。
答案
8.解:四边形ACBD是矩形.证明如下:
因为CD//MN,
所以∠OCB=∠CBM.
因为BC平分∠ABM,
所以∠OBC=∠CBM,
所以∠OCB=∠OBC,
所以OC=OB.
同理可得,OB=OD,
所以OB=OC=OD.
因为O是AB的中点,
所以OA=OB，
所以四边形ACBD是平行四边形.
因为CD=OC+OD,AB=OA+OB,
所以AB=CD,
所以四边形ACBD是矩形.
因为CD//MN,
所以∠OCB=∠CBM.
因为BC平分∠ABM,
所以∠OBC=∠CBM,
所以∠OCB=∠OBC,
所以OC=OB.
同理可得,OB=OD,
所以OB=OC=OD.
因为O是AB的中点,
所以OA=OB，
所以四边形ACBD是平行四边形.
因为CD=OC+OD,AB=OA+OB,
所以AB=CD,
所以四边形ACBD是矩形.
解析
【解析】
四边形$ACBD$是矩形，证明如下：
因为$CD// MN$，所以$∠ OCB=∠ CBM$。
因为$BC$平分$∠ ABM$，所以$∠ OBC=∠ CBM$，所以$∠ OCB=∠ OBC$，因此$OC=OB$。
同理可得$OB=OD$，所以$OB=OC=OD$。
因为$O$是$AB$的中点，所以$OA=OB$，故四边形$ACBD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$CD=OC+OD$，$AB=OA+OB$，所以$AB=CD$，因此四边形$ACBD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
四边形$ACBD$是矩形
【知识点】
角平分线的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线的性质、平行四边形与矩形的判定定理，需熟练掌握相关几何定理，通过角的关系推导边的关系，进而完成四边形形状的判定。
【难度系数】
0.6
四边形$ACBD$是矩形，证明如下：
因为$CD// MN$，所以$∠ OCB=∠ CBM$。
因为$BC$平分$∠ ABM$，所以$∠ OBC=∠ CBM$，所以$∠ OCB=∠ OBC$，因此$OC=OB$。
同理可得$OB=OD$，所以$OB=OC=OD$。
因为$O$是$AB$的中点，所以$OA=OB$，故四边形$ACBD$是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
又因为$CD=OC+OD$，$AB=OA+OB$，所以$AB=CD$，因此四边形$ACBD$是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
【答案】
四边形$ACBD$是矩形
【知识点】
角平分线的性质；平行四边形的判定；矩形的判定
【点评】
本题综合考查了角平分线的性质、平行四边形与矩形的判定定理，需熟练掌握相关几何定理，通过角的关系推导边的关系，进而完成四边形形状的判定。
【难度系数】
0.6
9. 如图，在矩形$ABCD$中，$E$是$DC$上一点，连接$AE$，$BE$，过点$A$作$BE$的平行线，过点$B$作$AE$的平行线，两条平行线交于点$F$，$∠ DAE = ∠ BEC$，连接$EF$。
（1）求证：四边形$AFBE$是矩形。
（2）若$∠ DAE = 30°$，$DE = 1$，求$EF$的长。
（1）求证：四边形$AFBE$是矩形。
（2）若$∠ DAE = 30°$，$DE = 1$，求$EF$的长。
答案
9.(1)证明:因为AF//BE,BF//AE,
所以四边形AFBE是平行四边形.
因为四边形ABCD是矩形,
所以∠D=90°.
因为∠DAE=∠BEC,
所以∠AED+∠BEC=∠AED+∠DAE=90°,
所以∠AEB=180°−(∠AED+∠BEC)=90°,
所以四边形AFBE是矩形.
(2)解:EF的长为4.
所以四边形AFBE是平行四边形.
因为四边形ABCD是矩形,
所以∠D=90°.
因为∠DAE=∠BEC,
所以∠AED+∠BEC=∠AED+∠DAE=90°,
所以∠AEB=180°−(∠AED+∠BEC)=90°,
所以四边形AFBE是矩形.
(2)解:EF的长为4.
解析
【解析】
(1) 证明：
因为$AF// BE$，$BF// AE$，所以四边形$AFBE$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ D=90°$。
因为$∠ DAE=∠ BEC$，$∠ AED+∠ DAE=90°$，所以$∠ AED+∠ BEC=90°$，则$∠ AEB=180°-(∠ AED+∠ BEC)=90°$。
所以四边形$AFBE$是矩形。
(2) 解：
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=90°$，$∠ DAE=30°$，$DE=1$，所以$AE=2DE=2$，$AD=\sqrt{AE^{2}-DE^{2}}=\sqrt{3}$。
因为$∠ DAE=∠ BEC=30°$，四边形$ABCD$是矩形，所以$BC=AD=\sqrt{3}$，$∠ C=90°$。
在$Rt△ BEC$中，$EC=\frac{BC}{\tan30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3$，则$CD=DE+EC=1+3=4$，即$AB=4$。
因为四边形$AFBE$是矩形，矩形的对角线相等，所以$EF=AB=4$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定与性质及直角三角形的相关性质，解题关键是熟练掌握相关定理，理清图形中角与边的关系。
【难度系数】
0.6
(1) 证明：
因为$AF// BE$，$BF// AE$，所以四边形$AFBE$是平行四边形。
因为四边形$ABCD$是矩形，所以$∠ D=90°$。
因为$∠ DAE=∠ BEC$，$∠ AED+∠ DAE=90°$，所以$∠ AED+∠ BEC=90°$，则$∠ AEB=180°-(∠ AED+∠ BEC)=90°$。
所以四边形$AFBE$是矩形。
(2) 解：
在$Rt△ ADE$中，$∠ D=90°$，$∠ DAE=30°$，$DE=1$，所以$AE=2DE=2$，$AD=\sqrt{AE^{2}-DE^{2}}=\sqrt{3}$。
因为$∠ DAE=∠ BEC=30°$，四边形$ABCD$是矩形，所以$BC=AD=\sqrt{3}$，$∠ C=90°$。
在$Rt△ BEC$中，$EC=\frac{BC}{\tan30°}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=3$，则$CD=DE+EC=1+3=4$，即$AB=4$。
因为四边形$AFBE$是矩形，矩形的对角线相等，所以$EF=AB=4$。
【答案】
(1) 证明见上述解析；(2) $\boldsymbol{4}$
【知识点】
平行四边形的判定，矩形的判定与性质，直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查了特殊四边形的判定与性质及直角三角形的相关性质，解题关键是熟练掌握相关定理，理清图形中角与边的关系。
【难度系数】
0.6
