例 3 （2024·泰安）为了研究折纸过程蕴含的数学知识，某校九年级数学兴趣小组的同学们进行了折纸探究活动.
【探究发现】
（1）同学们将一张矩形纸片进行折叠，如图①，把矩形纸片 ABCD 翻折，使顶点 B 的对应点 G 恰好落在矩形的一边 CD 上，折痕为 EF，将纸片展平，连接 BG.EF 与 BG 相交于点 H.同学们发现图形中四条线段成比例，即$\frac{EF}{BG} = \frac{AB}{BC}$，请判断同学们的发现是否正确，并说明理由.
【拓展延伸】
（2）同学们对一张平行四边形纸片进行研究，如图②，BD 是平行四边形纸片 ABCD 的一条对角线，同学们将该平行四边形纸片翻折，使点 A 的对应点 G，点 C 的对应点 H 都落在对角线 BD 上，折痕分别是 BE 和 DF.将纸片展平，连接 EG，FH，FG.同学们探究后发现，如果 FG // CD，那么点 G 恰好是对角线 BD 的一个黄金分割点，即 BG² = BD·GD.请判断同学们的发现是否正确，并说明理由.

分析 （1）作 EM⊥BC 于点 M，证明△EMF ∽ △BCG 即可；
（2）利用平行线分线段成比例，然后进行等线段转化即可得证.

（1）正确；（2）正确。

（1）正确。
证明：作$EM ⊥ BC$于$M$，则$EM=AB$，$∠ EMF=90°$。
由折叠性质，$EF ⊥ BG$，$\therefore ∠ BHF=90°$，$\therefore ∠ HBF+∠ HFB=90°$。
$\because ∠ BCG=90°$，$\therefore ∠ HBF+∠ BGC=90°$，$\therefore ∠ HFB=∠ BGC$。
$\because ∠ EMF=∠ BCG=90°$，$\therefore △ EMF ∽ △ BCG$，
$\therefore \frac{EF}{BG}=\frac{EM}{BC}=\frac{AB}{BC}$。
（2）正确。
证明：由折叠得$AB=BG$，$CD=DH$，$\because AB=CD$，$\therefore BG=DH$。设$BG=x$，$GD=y$，则$BD=x+y$，$BH=BD-DH=y$。
$\because FG // CD$，$AB // CD$，$\therefore FG // AB$，$\therefore ∠ GFB=∠ ABF$。
由折叠得$∠ ABF=∠ GBF$，$\therefore ∠ GFB=∠ GBF$，$\therefore FG=BG=x$。
$\because FG // CD$，$\therefore △ BFG ∽ △ BCD$，$\therefore \frac{FG}{CD}=\frac{BG}{BD}$。
$\because CD=AB=BG=x$，$\therefore \frac{x}{x}=\frac{x}{x+y}$，化简得$x^2=xy+y^2$，即$BG^2=BD · GD$。