例 4 （2023·成都）在 Rt△ABC 中，∠ACB = 90°，AC = BC，D 是边 AB 上一点，且$\frac{AD}{BD} = \frac{1}{n}$（n 为正整数），E 是边 AC 上的动点，过点 D 作 DE 的垂线交直线 BC 于点 F.
【初步感知】
（1）如图①，当 n = 1 时，兴趣小组探究得出结论：AE + BF = $\frac{\sqrt{2}}{2}$AB，请写出证明过程；
【深入探究】
（2）① 如图②，当 n = 2，且点 F 在线段 BC 上时，试探究线段 AE，BF，AB 之间的数量关系，请写出结论并给出证明；
② 请通过类比、归纳、猜想，探究出线段 AE，BF，AB 之间数量关系的一般结论.（直接写出结论，不必证明）

分析 （1）当 n = 1 时，连接 CD，证明△CDE ≌ △BDF，从而得 BF = CE，AE + BF = AC，问题得证；
（2）① 当 n = 2 时，过点 D 向边 AC，BC 作垂线 DN，DH，垂足分别为 N，H，证△AND ∽ △BHD，△EDN ∽ △FDH，寻找 AE，BF，AB 之间的数量关系求解即可；
② 解题思路同①.

（1）证明：
∵△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，∴∠A=∠B=45°，AB=√2AC。
∵n=1，∴D为AB中点，∴CD=AD=BD，CD⊥AB，∠ACD=∠BCD=45°。
∵DE⊥DF，∴∠EDF=90°，又∠CDA=90°，∴∠EDC=∠FDB。
在△CDE和△BDF中，∠ECD=∠B=45°，CD=BD，∠EDC=∠FDB，
∴△CDE≌△BDF（ASA），∴CE=BF。
∵AE+CE=AC，∴AE+BF=AC。
∵AC=AB/√2=√2/2AB，∴AE+BF=√2/2AB。
（2）①结论：2AE + BF = 2√2/3AB。
证明：过D作DN⊥AC于N，DH⊥BC于H。
∵△ABC为等腰直角三角形，∴∠A=∠B=45°，DN=AN，DH=BH，DN//BC，DH//AC。
∵AD/BD=1/2，设AB=3√2，则AD=√2，BD=2√2，AC=BC=3。
∴DN=AN=AD·cos45°=1，DH=BH=BD·cos45°=2，NC=AC-AN=2，CH=BC-BH=1。
∵DE⊥DF，∠DNE=∠DHF=90°，∴∠EDN=∠FDH，△EDN∽△FDH，相似比DN/DH=1/2。
设AE=x，则E(0,3-x)，D(1,2)，DE斜率k1=x-1，DF斜率k2=1/(1-x)。
DF方程：y-2=1/(1-x)(x'-1)，令y=0得F(2x-1,0)，BF=3-(2x-1)=4-2x。
∴2AE + BF=2x + (4-2x)=4，又2√2/3AB=2√2/3×3√2=4，∴2AE + BF=2√2/3AB。
②一般结论：nAE + BF = n√2/(n+1)AB。