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1. 如图，P 是∠BAC 的平分线 AD 上任意一点，PE⊥AC 于点 E。若 PE=3，则点 P 到 AB 的距离是(
A.3
B.4
C.5
D.6
A
)A.3
B.4
C.5
D.6
答案
1. A
解析
【分析】
首先，题目已知P是∠BAC平分线AD上的点，且PE⊥AC，PE=3，要求点P到AB的距离。我们需要回忆角平分线的核心性质：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。由此可知，点P到AB的距离与点P到AC的距离PE是相等的，据此可直接推导答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
因为P在∠BAC的平分线AD上，PE⊥AC且PE=3，所以点P到AB的距离等于PE的长度，即3。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查角平分线性质的直接应用，解题关键是准确理解并运用“角平分线上的点到角两边距离相等”这一性质，只要掌握该性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
首先，题目已知P是∠BAC平分线AD上的点，且PE⊥AC，PE=3，要求点P到AB的距离。我们需要回忆角平分线的核心性质：角平分线上的任意一点到角的两边的距离相等。由此可知，点P到AB的距离与点P到AC的距离PE是相等的，据此可直接推导答案。
【解析】
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。
因为P在∠BAC的平分线AD上，PE⊥AC且PE=3，所以点P到AB的距离等于PE的长度，即3。
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题属于基础题型，主要考查角平分线性质的直接应用，解题关键是准确理解并运用“角平分线上的点到角两边距离相等”这一性质，只要掌握该性质就能快速得出答案。
【难度系数】
0.9
2. 在正方形网格中，∠AOB 的位置如图所示，到∠AOB 两边距离相等的点应是(
A.M 点
B.N 点
C.P 点
D.Q 点
A
)A.M 点
B.N 点
C.P 点
D.Q 点
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们需要利用角平分线的核心性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，反之，到角两边距离相等的点必然在该角的平分线上。所以解题思路是先确定∠AOB的角平分线，再判断选项中的点是否在这条角平分线上。我们可以通过正方形网格的单位长度，直观验证各点到OA、OB的距离是否相等。
【解析】
根据角平分线的性质，到∠AOB两边距离相等的点一定在∠AOB的角平分线上。结合网格观察：
P点：到OA和OB的距离明显不相等，不在角平分线上；
Q点：到OA和OB的距离不相等，不在角平分线上；
M点：通过数网格单位长度可验证，它到OA、OB的距离相等，位于∠AOB的角平分线上；
N点：到OA和OB的距离不相等，不在角平分线上。
因此符合条件的点是M点。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题主要考查角平分线性质的实际应用，解题关键是理解“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一结论，借助网格直观判断点的位置，侧重对基础性质的理解与应用。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，我们需要利用角平分线的核心性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，反之，到角两边距离相等的点必然在该角的平分线上。所以解题思路是先确定∠AOB的角平分线，再判断选项中的点是否在这条角平分线上。我们可以通过正方形网格的单位长度，直观验证各点到OA、OB的距离是否相等。
【解析】
根据角平分线的性质，到∠AOB两边距离相等的点一定在∠AOB的角平分线上。结合网格观察：
P点：到OA和OB的距离明显不相等，不在角平分线上；
Q点：到OA和OB的距离不相等，不在角平分线上；
M点：通过数网格单位长度可验证，它到OA、OB的距离相等，位于∠AOB的角平分线上；
N点：到OA和OB的距离不相等，不在角平分线上。
因此符合条件的点是M点。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题主要考查角平分线性质的实际应用，解题关键是理解“到角两边距离相等的点在角的平分线上”这一结论，借助网格直观判断点的位置，侧重对基础性质的理解与应用。
【难度系数】
0.8
3. 如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是 C，D，则下列结论错误的是(
A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
B
)A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
答案
3. B
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：
1. 首先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此先判断选项A是否正确；
2. 接着观察图形中的直角三角形，利用全等三角形的判定定理（HL）证明Rt△OCP和Rt△ODP全等，再根据全等三角形的对应边、对应角相等，判断选项C和D是否正确；
3. 最后通过角度之间的关系推导∠CPD和∠DOP的数量关系，验证选项B是否错误。
【解析】
1. 判断选项A：
因为OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得PC=PD，故A选项正确。
2. 判断选项C、D：
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
$\begin{cases}OP = OP（公共边）\\PC = PD（已证）\end{cases}$
根据HL（斜边直角边）定理，可得Rt△OCP≌Rt△ODP。
由全等三角形的性质可知：OC=OD（对应边相等），∠CPO=∠DPO（对应角相等），故C、D选项正确。
3. 判断选项B：
设∠DOP=α，因为OP平分∠AOB，所以∠AOB=2α。
在四边形OCPD中，∠OCP=∠ODP=90°，根据四边形内角和为360°，可得：
∠CPD=360°-∠OCP-∠ODP-∠AOB=360°-90°-90°-2α=180°-2α。
显然180°-2α≠α（仅当α=60°时相等，但题目无此限定条件），因此∠CPD≠∠DOP，故B选项错误。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，属于基础几何题。解题时需熟练掌握相关定理，通过逻辑推导区分各角、各边的关系，避免凭直观感觉判断错误选项。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以按照以下思路思考：
1. 首先回忆角平分线的核心性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，据此先判断选项A是否正确；
2. 接着观察图形中的直角三角形，利用全等三角形的判定定理（HL）证明Rt△OCP和Rt△ODP全等，再根据全等三角形的对应边、对应角相等，判断选项C和D是否正确；
3. 最后通过角度之间的关系推导∠CPD和∠DOP的数量关系，验证选项B是否错误。
【解析】
1. 判断选项A：
因为OP为∠AOB的角平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，根据“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可得PC=PD，故A选项正确。
2. 判断选项C、D：
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
$\begin{cases}OP = OP（公共边）\\PC = PD（已证）\end{cases}$
根据HL（斜边直角边）定理，可得Rt△OCP≌Rt△ODP。
由全等三角形的性质可知：OC=OD（对应边相等），∠CPO=∠DPO（对应角相等），故C、D选项正确。
3. 判断选项B：
设∠DOP=α，因为OP平分∠AOB，所以∠AOB=2α。
在四边形OCPD中，∠OCP=∠ODP=90°，根据四边形内角和为360°，可得：
∠CPD=360°-∠OCP-∠ODP-∠AOB=360°-90°-90°-2α=180°-2α。
显然180°-2α≠α（仅当α=60°时相等，但题目无此限定条件），因此∠CPD≠∠DOP，故B选项错误。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查角平分线的性质及全等三角形的判定与性质，属于基础几何题。解题时需熟练掌握相关定理，通过逻辑推导区分各角、各边的关系，避免凭直观感觉判断错误选项。
【难度系数】
0.7
4. 在△ABC 中，DE 垂直平分 AB，AE 平分∠BAC，若∠C=90°，则∠B 的度数为(
A.30°
B.20°
C.40°
D.25°
A
)A.30°
B.20°
C.40°
D.25°
答案
4. A
解析
【分析】
首先，根据DE垂直平分AB，利用垂直平分线的性质可得EB=EA，从而推出∠B=∠EAB；接着，由AE平分∠BAC，可知∠EAB=∠EAC，进而得到∠BAC=2∠B；最后，结合△ABC是直角三角形（∠C=90°），根据三角形内角和为180°，可得∠B+∠BAC=90°，将∠BAC=2∠B代入即可求出∠B的度数。
【解析】
1. 因为DE垂直平分AB，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以EB=EA。
根据等边对等角，可得$\boldsymbol{∠B=∠EAB}$。
2. 已知AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可得$\boldsymbol{∠EAB=∠EAC}$，因此$\boldsymbol{∠BAC=2∠B}$。
3. 在△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和定理，$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$，所以$\boldsymbol{∠B+∠BAC=90°}$。
4. 将$∠ BAC=2∠ B$代入上式，得：
$∠ B+2∠ B=90°$
$3∠ B=90°$
解得$\boldsymbol{∠B=30°}$。
【答案】
A
【知识点】
垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了垂直平分线性质、角平分线定义与三角形内角和定理的应用，解题核心是通过线段与角的转化关系，建立关于∠B的等式，进而求解。题目属于基础几何题，有助于巩固相关定理的理解与应用。
【难度系数】
0.8
首先，根据DE垂直平分AB，利用垂直平分线的性质可得EB=EA，从而推出∠B=∠EAB；接着，由AE平分∠BAC，可知∠EAB=∠EAC，进而得到∠BAC=2∠B；最后，结合△ABC是直角三角形（∠C=90°），根据三角形内角和为180°，可得∠B+∠BAC=90°，将∠BAC=2∠B代入即可求出∠B的度数。
【解析】
1. 因为DE垂直平分AB，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以EB=EA。
根据等边对等角，可得$\boldsymbol{∠B=∠EAB}$。
2. 已知AE平分∠BAC，根据角平分线的定义，可得$\boldsymbol{∠EAB=∠EAC}$，因此$\boldsymbol{∠BAC=2∠B}$。
3. 在△ABC中，∠C=90°，根据三角形内角和定理，$∠ B+∠ BAC+∠ C=180°$，所以$\boldsymbol{∠B+∠BAC=90°}$。
4. 将$∠ BAC=2∠ B$代入上式，得：
$∠ B+2∠ B=90°$
$3∠ B=90°$
解得$\boldsymbol{∠B=30°}$。
【答案】
A
【知识点】
垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了垂直平分线性质、角平分线定义与三角形内角和定理的应用，解题核心是通过线段与角的转化关系，建立关于∠B的等式，进而求解。题目属于基础几何题，有助于巩固相关定理的理解与应用。
【难度系数】
0.8
5. 在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AD 是∠BAC 的平分线，DC=2，则 D 到 AB 边的距离是
2
。答案
5. 2
解析
【分析】
首先，我们需要明确解题的核心依据：角平分线的性质。在Rt△ABC中，∠C=90°，说明DC是点D到AC边的距离，而AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此D到AB的距离与DC的长度相等，由此可直接推导答案。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，即DC⊥AC，且DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DC=2，
即D到AB边的距离是2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是准确理解并运用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，只要熟练掌握该知识点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
首先，我们需要明确解题的核心依据：角平分线的性质。在Rt△ABC中，∠C=90°，说明DC是点D到AC边的距离，而AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此D到AB的距离与DC的长度相等，由此可直接推导答案。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，即DC⊥AC，且DE⊥AB，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴DE=DC=2，
即D到AB边的距离是2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质
【点评】
本题是角平分线性质的基础应用题型，解题的关键是准确理解并运用“角平分线上的点到角两边的距离相等”这一性质，只要熟练掌握该知识点，就能快速得出结果。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知在△ABC 中，CD 是 AB 边上的高线，BE 平分∠ABC，交 CD 于点 E，BC=6，DE=3，则△BCE 的面积等于
9
。答案
6. 9
解析
【分析】
要计算△BCE的面积，已知BC的长度，根据三角形面积公式，需要找到BC边上的高。观察图形，BE是∠ABC的平分线，CD⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以可过点E作BC的垂线EF，EF的长度等于DE的长度，进而利用面积公式计算出△BCE的面积。
【解析】
过点E作EF⊥BC于点F，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又
∵BC=6，
∴△BCE的面积 = $\frac{1}{2}$×BC×EF = $\frac{1}{2}$×6×3 = 9。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题考查角平分线性质的应用，关键是利用角平分线的性质找到△BCE中BC边上的高，将未知的高转化为已知的DE的长度，从而运用三角形面积公式求解。
【难度系数】
0.6
要计算△BCE的面积，已知BC的长度，根据三角形面积公式，需要找到BC边上的高。观察图形，BE是∠ABC的平分线，CD⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以可过点E作BC的垂线EF，EF的长度等于DE的长度，进而利用面积公式计算出△BCE的面积。
【解析】
过点E作EF⊥BC于点F，
∵BE平分∠ABC，CD⊥AB，EF⊥BC，
∴EF=DE=3（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
又
∵BC=6，
∴△BCE的面积 = $\frac{1}{2}$×BC×EF = $\frac{1}{2}$×6×3 = 9。
【答案】
9
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题考查角平分线性质的应用，关键是利用角平分线的性质找到△BCE中BC边上的高，将未知的高转化为已知的DE的长度，从而运用三角形面积公式求解。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，DE⊥AB，垂足为 E，且 AB=10 cm。求△DEB 的周长。
答案
7. 解:因为AD平分∠BAC,
∠C=90°,DE⊥AB
所以∠CAD=∠EAD,
∠C=∠AED=90°,DC=DE
在△ACD和△AED中
{∠CAD=∠EAD(已证)
∠C=∠AED(已证)
AD=AD(公共边)
所以△ACD≌△AED(AAS)
所以AC=AE
所以$C_{△DEB}=DE+EB+DB$
=CD+EB+DB
=CB+EB
=AC+EB
=AE+EB
=AB
=10(cm)
∠C=90°,DE⊥AB
所以∠CAD=∠EAD,
∠C=∠AED=90°,DC=DE
在△ACD和△AED中
{∠CAD=∠EAD(已证)
∠C=∠AED(已证)
AD=AD(公共边)
所以△ACD≌△AED(AAS)
所以AC=AE
所以$C_{△DEB}=DE+EB+DB$
=CD+EB+DB
=CB+EB
=AC+EB
=AE+EB
=AB
=10(cm)
解析
【分析】
要解决△DEB的周长问题，首先结合已知条件思考：AD是∠BAC的平分线，∠C=90°且DE⊥AB，根据角平分线的性质可推出DC=DE；接着可通过AAS证明△ACD和△AED全等，得到AC=AE；再利用AC=BC的条件，将△DEB的周长逐步进行等量代换，最终转化为AB的长度，从而求出周长。核心思路是利用角平分线性质和全等得到线段等量关系，再通过线段替换将周长转化为已知线段的长度。
【解析】
解：因为AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
所以∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED=90°，$DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在△ACD和△AED中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠EAD（已证）\\∠C=∠AED（已证）\\AD=AD（公共边）\end{array} $
所以$△ ACD≌△ AED$（AAS）。
所以$AC=AE$（全等三角形对应边相等）。
又因为$AC=BC$，
所以$C_{△DEB}=DE+EB+DB$
$=CD+EB+DB$（等量代换，$DE=CD$）
$=CB+EB$（$CD+DB=CB$）
$=AC+EB$（等量代换，$AC=BC$）
$=AE+EB$（等量代换，$AC=AE$）
$=AB$（$AE+EB=AB$）
因为$AB=10\mathrm{cm}$，
所以$C_{△DEB}=10\mathrm{cm}$。
【答案】
10cm
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查了几何图形中线段的等量代换能力，通过角平分线性质和全等三角形的判定，将未知三角形的周长转化为已知线段AB的长度，需要熟练掌握角平分线性质和全等三角形的相关知识，学会运用转化思想解决几何问题。
【难度系数】
0.6
要解决△DEB的周长问题，首先结合已知条件思考：AD是∠BAC的平分线，∠C=90°且DE⊥AB，根据角平分线的性质可推出DC=DE；接着可通过AAS证明△ACD和△AED全等，得到AC=AE；再利用AC=BC的条件，将△DEB的周长逐步进行等量代换，最终转化为AB的长度，从而求出周长。核心思路是利用角平分线性质和全等得到线段等量关系，再通过线段替换将周长转化为已知线段的长度。
【解析】
解：因为AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，
所以∠CAD=∠EAD，∠C=∠AED=90°，$DC=DE$（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
在△ACD和△AED中，
$\{\begin{array}{l}∠CAD=∠EAD（已证）\\∠C=∠AED（已证）\\AD=AD（公共边）\end{array} $
所以$△ ACD≌△ AED$（AAS）。
所以$AC=AE$（全等三角形对应边相等）。
又因为$AC=BC$，
所以$C_{△DEB}=DE+EB+DB$
$=CD+EB+DB$（等量代换，$DE=CD$）
$=CB+EB$（$CD+DB=CB$）
$=AC+EB$（等量代换，$AC=BC$）
$=AE+EB$（等量代换，$AC=AE$）
$=AB$（$AE+EB=AB$）
因为$AB=10\mathrm{cm}$，
所以$C_{△DEB}=10\mathrm{cm}$。
【答案】
10cm
【知识点】
角平分线的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题考查了几何图形中线段的等量代换能力，通过角平分线性质和全等三角形的判定，将未知三角形的周长转化为已知线段AB的长度，需要熟练掌握角平分线性质和全等三角形的相关知识，学会运用转化思想解决几何问题。
【难度系数】
0.6
1. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为 D，如果 AC=12，AD=8，那么△ADE 的周长为(
A.22
B.17
C.20
D.18
C
)A.22
B.17
C.20
D.18
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，我们可以从角平分线的性质入手：首先，BE是∠ABC的平分线，且EC⊥BC，DE⊥AB，根据角平分线的性质可知EC=ED。接下来观察△ADE的周长，它由AD、DE、AE三条线段组成，我们可以通过线段等量替换，将DE换成EC，这样△ADE的周长就转化为AD+EC+AE，而EC+AE正好是AC的长度，最后代入已知的AC和AD的数值，就能计算出周长。
【解析】
1. 已知∠ACB=90°，所以EC⊥BC；又因为BE平分∠ABC，DE⊥AB，根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可得EC=ED。
2. △ADE的周长为：$C_{△ ADE}=AD+DE+AE$，将DE替换为EC，可得：
$C_{△ ADE}=AD+EC+AE=AD+(EC+AE)$
3. 因为$EC+AE=AC$，已知$AC=12$，$AD=8$，代入得：
$C_{△ ADE}=8+12=20$
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题主要考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过线段等量替换，将△ADE的周长转化为已知线段AC与AD的和，简化计算过程，属于基础几何题，注重对几何性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，我们可以从角平分线的性质入手：首先，BE是∠ABC的平分线，且EC⊥BC，DE⊥AB，根据角平分线的性质可知EC=ED。接下来观察△ADE的周长，它由AD、DE、AE三条线段组成，我们可以通过线段等量替换，将DE换成EC，这样△ADE的周长就转化为AD+EC+AE，而EC+AE正好是AC的长度，最后代入已知的AC和AD的数值，就能计算出周长。
【解析】
1. 已知∠ACB=90°，所以EC⊥BC；又因为BE平分∠ABC，DE⊥AB，根据角平分线的性质（角平分线上的点到角两边的距离相等），可得EC=ED。
2. △ADE的周长为：$C_{△ ADE}=AD+DE+AE$，将DE替换为EC，可得：
$C_{△ ADE}=AD+EC+AE=AD+(EC+AE)$
3. 因为$EC+AE=AC$，已知$AC=12$，$AD=8$，代入得：
$C_{△ ADE}=8+12=20$
【答案】
C
【知识点】
角平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题主要考查角平分线性质的应用，解题的关键是通过线段等量替换，将△ADE的周长转化为已知线段AC与AD的和，简化计算过程，属于基础几何题，注重对几何性质的灵活运用。
【难度系数】
0.7
