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3. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AC = 25 $，$ AB $ 的垂直平分线交 $ AB $ 于点 $ D $，交 $ AC $ 于点 $ E $，$ △ BCE $ 的周长为 $ 44 $，则 $ BC $ 的长为
19
.答案
3. 19
解析
【分析】
首先，我们需要利用线段垂直平分线的性质来找到线段之间的等量关系。观察图形可知，DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以点E在AB的垂直平分线上，可得AE=BE。接下来，分析△BCE的周长，它的周长是BE+EC+BC，我们可以将BE替换成AE，这样BE+EC就转化为AE+EC，而AE+EC正好是AC的长度，由此△BCE的周长就可以表示为AC+BC，已知AC的长度和△BCE的周长，就能计算出BC的长。
【解析】
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ △BCE的周长为44，
∴ BE + EC + BC = 44。
将BE替换为AE，可得：
AE + EC + BC = 44，
又
∵ AE + EC = AC，AC = 25，
∴ 25 + BC = 44，
解得：BC = 44 - 25 = 19。
【答案】
19
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题核心是运用线段垂直平分线的性质进行线段转化，将△BCE的周长转化为AC与BC的和，把未知线段与已知线段建立联系，从而快速求解，考查了对基础几何性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
首先，我们需要利用线段垂直平分线的性质来找到线段之间的等量关系。观察图形可知，DE是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以点E在AB的垂直平分线上，可得AE=BE。接下来，分析△BCE的周长，它的周长是BE+EC+BC，我们可以将BE替换成AE，这样BE+EC就转化为AE+EC，而AE+EC正好是AC的长度，由此△BCE的周长就可以表示为AC+BC，已知AC的长度和△BCE的周长，就能计算出BC的长。
【解析】
∵ DE是AB的垂直平分线，
∴ AE = BE（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）。
∵ △BCE的周长为44，
∴ BE + EC + BC = 44。
将BE替换为AE，可得：
AE + EC + BC = 44，
又
∵ AE + EC = AC，AC = 25，
∴ 25 + BC = 44，
解得：BC = 44 - 25 = 19。
【答案】
19
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算
【点评】
本题核心是运用线段垂直平分线的性质进行线段转化，将△BCE的周长转化为AC与BC的和，把未知线段与已知线段建立联系，从而快速求解，考查了对基础几何性质的灵活应用能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AC $ 垂直平分 $ BD $，垂足为 $ E $，下列结论不一定成立的是
① $ AB = AD $；② $ AC $ 平分 $ ∠ BCD $；③ $ AB = BD $；④ $ △ BEC ≌ △ DEC $.
③
.(填序号)① $ AB = AD $；② $ AC $ 平分 $ ∠ BCD $；③ $ AB = BD $；④ $ △ BEC ≌ △ DEC $.
答案
4. ③
解析
【分析】
首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；再结合全等三角形的判定与性质，逐个分析每个结论：
1. 对于①，利用垂直平分线的性质可直接判断；
2. 对于④，结合垂直、平分的条件，用SAS可证明三角形全等；
3. 对于②，由全等三角形的性质可推出角相等，进而判断AC平分∠BCD；
4. 对于③，题中没有给出AB与BD的等量关系，无法证明其相等，因此该结论不一定成立。
【解析】
1. 分析结论①：
因为AC垂直平分BD，点A在AC上，根据垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可得$AB = AD$，故①一定成立。
2. 分析结论④：
因为AC垂直BD，所以$∠ BEC = ∠ DEC = 90°$；
又AC平分BD，所以$BE = DE$；
在$△ BEC$和$△ DEC$中，
$\begin{cases}BE = DE \\∠ BEC = ∠ DEC \\EC = EC\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ BEC ≌ △ DEC$，故④一定成立。
3. 分析结论②：
由$△ BEC ≌ △ DEC$，根据全等三角形对应角相等，可得$∠ BCE = ∠ DCE$，即AC平分$∠ BCD$，故②一定成立。
4. 分析结论③：
题中没有给出任何能证明$AB = BD$的条件，无法推出该等式成立，故③不一定成立。
综上，答案为③。
【答案】
③
【知识点】
垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是逐个分析每个结论，准确区分“一定成立”和“不一定成立”的情况，避免混淆。
【难度系数】
0.8
首先回忆垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；再结合全等三角形的判定与性质，逐个分析每个结论：
1. 对于①，利用垂直平分线的性质可直接判断；
2. 对于④，结合垂直、平分的条件，用SAS可证明三角形全等；
3. 对于②，由全等三角形的性质可推出角相等，进而判断AC平分∠BCD；
4. 对于③，题中没有给出AB与BD的等量关系，无法证明其相等，因此该结论不一定成立。
【解析】
1. 分析结论①：
因为AC垂直平分BD，点A在AC上，根据垂直平分线的性质“垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”，可得$AB = AD$，故①一定成立。
2. 分析结论④：
因为AC垂直BD，所以$∠ BEC = ∠ DEC = 90°$；
又AC平分BD，所以$BE = DE$；
在$△ BEC$和$△ DEC$中，
$\begin{cases}BE = DE \\∠ BEC = ∠ DEC \\EC = EC\end{cases}$
根据SAS全等判定定理，可得$△ BEC ≌ △ DEC$，故④一定成立。
3. 分析结论②：
由$△ BEC ≌ △ DEC$，根据全等三角形对应角相等，可得$∠ BCE = ∠ DCE$，即AC平分$∠ BCD$，故②一定成立。
4. 分析结论③：
题中没有给出任何能证明$AB = BD$的条件，无法推出该等式成立，故③不一定成立。
综上，答案为③。
【答案】
③
【知识点】
垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题主要考查垂直平分线的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是逐个分析每个结论，准确区分“一定成立”和“不一定成立”的情况，避免混淆。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在 中，，分别以 ， 为圆心，小于 长为半径画弧，两弧相交于点 ，，作直线 ，与 交于点 ，与 交于点 ，连接 .
(1)
(2)
(3)若 ，则
(1)
90°
；(2)
=
(填“”“”或“”)；(3)若 ，则
10°
.答案
5. (1)90° (2)= (3)10°
解析
【分析】
1. 第(1)问：根据尺规作图的特征，MN是线段AC的垂直平分线，垂直平分线与线段垂直，因此MN⊥AC，可得∠ADE的度数。
2. 第(2)问：依据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点E在MN上，可判断AE与CE的关系。
3. 第(3)问：先在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数；再结合AE=CE得到∠EAC=∠C，最后通过角的差计算出∠BAE的度数。
【解析】
(1) 由尺规作图可知，MN是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的定义，MN⊥AC，所以$∠ ADE=90°$。
(2) 因为MN是AC的垂直平分线，点E在MN上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE=CE$。
(3) 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=40°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ BAC=90°-∠ C=90°-40°=50°$。
因为$AE=CE$，所以$∠ EAC=∠ C=40°$，
则$∠ BAE=∠ BAC - ∠ EAC=50°-40°=10°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) $\boldsymbol{=}$；(3) $\boldsymbol{10°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查线段垂直平分线的尺规作图、性质以及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的定义和性质是解题核心，题目侧重基础知识点的应用，有助于巩固几何基本概念。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问：根据尺规作图的特征，MN是线段AC的垂直平分线，垂直平分线与线段垂直，因此MN⊥AC，可得∠ADE的度数。
2. 第(2)问：依据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，点E在MN上，可判断AE与CE的关系。
3. 第(3)问：先在Rt△ABC中，利用直角三角形两锐角互余求出∠BAC的度数；再结合AE=CE得到∠EAC=∠C，最后通过角的差计算出∠BAE的度数。
【解析】
(1) 由尺规作图可知，MN是AC的垂直平分线，根据垂直平分线的定义，MN⊥AC，所以$∠ ADE=90°$。
(2) 因为MN是AC的垂直平分线，点E在MN上，根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$AE=CE$。
(3) 在$\mathrm{Rt} △ ABC$中，$∠ B=90°$，$∠ C=40°$，根据直角三角形两锐角互余，得$∠ BAC=90°-∠ C=90°-40°=50°$。
因为$AE=CE$，所以$∠ EAC=∠ C=40°$，
则$∠ BAE=∠ BAC - ∠ EAC=50°-40°=10°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{90°}$；(2) $\boldsymbol{=}$；(3) $\boldsymbol{10°}$
【知识点】
线段垂直平分线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查线段垂直平分线的尺规作图、性质以及直角三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的定义和性质是解题核心，题目侧重基础知识点的应用，有助于巩固几何基本概念。
【难度系数】
0.7
6. 敌军基地在三条公路围成的三角区域内，我军一队战士在一条公路中点垂直射击，另一队战士在另一条公路中点垂直射击，均击中敌军基地，问第三队战士在公路何处垂直射击可击中目标？
答案
6. 解：由题意可得
敌军基地在三角形两边垂直平分线的交点处
又因为三角形三边垂直平分线交于一点
所以第三队战士在公路中点处垂直射击可击中目标。
敌军基地在三角形两边垂直平分线的交点处
又因为三角形三边垂直平分线交于一点
所以第三队战士在公路中点处垂直射击可击中目标。
解析
【分析】
首先把实际问题转化为几何模型：将三条公路看作三角形的三条边，“在公路中点垂直射击”等价于作这条边的垂直平分线，敌军基地就是两条边垂直平分线的交点。结合三角形的性质，三角形三边的垂直平分线交于一点，由此可推出第三条边的垂直平分线必然经过敌军基地，所以第三队战士在第三条公路中点垂直射击就能击中目标。
【解析】
解：由题意可得，敌军基地在三角形两条边的垂直平分线的交点处。
又因为三角形三边的垂直平分线交于一点，
所以第三队战士在第三条公路的中点处垂直射击可击中目标。
【答案】
第三队战士在第三条公路的中点处垂直射击可击中目标。
【知识点】
三角形三边垂直平分线的性质
【点评】
本题将实际射击问题转化为几何问题，考查三角形三边垂直平分线性质的应用，培养了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
首先把实际问题转化为几何模型：将三条公路看作三角形的三条边，“在公路中点垂直射击”等价于作这条边的垂直平分线，敌军基地就是两条边垂直平分线的交点。结合三角形的性质，三角形三边的垂直平分线交于一点，由此可推出第三条边的垂直平分线必然经过敌军基地，所以第三队战士在第三条公路中点垂直射击就能击中目标。
【解析】
解：由题意可得，敌军基地在三角形两条边的垂直平分线的交点处。
又因为三角形三边的垂直平分线交于一点，
所以第三队战士在第三条公路的中点处垂直射击可击中目标。
【答案】
第三队战士在第三条公路的中点处垂直射击可击中目标。
【知识点】
三角形三边垂直平分线的性质
【点评】
本题将实际射击问题转化为几何问题，考查三角形三边垂直平分线性质的应用，培养了学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
7. 如图，在 $ △ ABC $ 中，$ AB = AC $，$ ∠ BAC = 120° $，$ AB $ 的垂直平分线交 $ AB $ 于点 $ E $，交 $ BC $ 于点 $ F $，连接 $ AF $，求 $ ∠ AFC $ 的度数.
答案
7. 解：因为 AB = AC，∠BAC = 120°
所以∠B = ∠C
= $\frac{1}{2}$ × (180° - ∠BAC) = 30°
因为 FE 垂直平分 AB
所以 FB = FA
所以∠BAF = ∠B = 30°（等边对等角）
所以∠FAC = ∠BAC - ∠BAF = 120° - 30° = 90°
在△AFC 中
∠AFC + ∠FAC + ∠C = 180°
所以∠AFC = 180° - 90° - 30° = 60°
所以∠B = ∠C
= $\frac{1}{2}$ × (180° - ∠BAC) = 30°
因为 FE 垂直平分 AB
所以 FB = FA
所以∠BAF = ∠B = 30°（等边对等角）
所以∠FAC = ∠BAC - ∠BAF = 120° - 30° = 90°
在△AFC 中
∠AFC + ∠FAC + ∠C = 180°
所以∠AFC = 180° - 90° - 30° = 60°
解析
【分析】
首先，题目给出$△ABC$是等腰三角形（$AB=AC$）且顶角$∠BAC=120°$，根据等腰“等边对等角”及三角形内角和，可先求出底角$∠B$和$∠C$的度数；接着，$EF$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$FB=FA$，进而推出$∠BAF=∠B$；再通过$∠BAC$减去$∠BAF$得到$∠FAC$的度数；最后在$△AFC$中，利用三角形内角和定理求出$∠AFC$的度数。
【解析】
解：因为 $ AB = AC $，$ ∠BAC = 120° $，
根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180°$，可得：
$ ∠B = ∠C = \frac{1}{2}×(180° - ∠BAC) = \frac{1}{2}×(180° - 120°) = 30° $。
因为$FE$垂直平分$AB$，
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以 $ FB = FA $，
根据等边对等角，可得 $ ∠BAF = ∠B = 30° $。
则 $ ∠FAC = ∠BAC - ∠BAF = 120° - 30° = 90° $。
在$ △AFC $中，根据三角形内角和为$180°$，有：
$ ∠AFC + ∠FAC + ∠C = 180° $，
所以 $ ∠AFC = 180° - ∠FAC - ∠C = 180° - 90° - 30° = 60° $。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 线段垂直平分线性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用这些几何性质，逐步推导角度，是一道基础的几何角度计算题型，需要学生理清各角之间的关系。
【难度系数】
0.6
首先，题目给出$△ABC$是等腰三角形（$AB=AC$）且顶角$∠BAC=120°$，根据等腰“等边对等角”及三角形内角和，可先求出底角$∠B$和$∠C$的度数；接着，$EF$是$AB$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得$FB=FA$，进而推出$∠BAF=∠B$；再通过$∠BAC$减去$∠BAF$得到$∠FAC$的度数；最后在$△AFC$中，利用三角形内角和定理求出$∠AFC$的度数。
【解析】
解：因为 $ AB = AC $，$ ∠BAC = 120° $，
根据等腰三角形两底角相等及三角形内角和为$180°$，可得：
$ ∠B = ∠C = \frac{1}{2}×(180° - ∠BAC) = \frac{1}{2}×(180° - 120°) = 30° $。
因为$FE$垂直平分$AB$，
根据线段垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以 $ FB = FA $，
根据等边对等角，可得 $ ∠BAF = ∠B = 30° $。
则 $ ∠FAC = ∠BAC - ∠BAF = 120° - 30° = 90° $。
在$ △AFC $中，根据三角形内角和为$180°$，有：
$ ∠AFC + ∠FAC + ∠C = 180° $，
所以 $ ∠AFC = 180° - ∠FAC - ∠C = 180° - 90° - 30° = 60° $。
【答案】
$\boldsymbol{60°}$
【知识点】
1. 等腰三角形性质
2. 线段垂直平分线性质
3. 三角形内角和定理
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，解题的关键是熟练运用这些几何性质，逐步推导角度，是一道基础的几何角度计算题型，需要学生理清各角之间的关系。
【难度系数】
0.6
如图，已知在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ C = 90° $，$ AB $ 的垂直平分线 $ MN $ 交 $ BC $ 于点 $ D $，交 $ AB $ 于点 $ E $.
（1）如果 $ ∠ CAD = 22° $，求 $ ∠ B $ 的度数；
（2）如果 $ ∠ CAB = 50° $，求 $ ∠ CAD $ 的度数；
（3）如果 $ ∠ CAD : ∠ DAB = 1 : 2 $，求 $ ∠ CAB $ 的度数.
（1）如果 $ ∠ CAD = 22° $，求 $ ∠ B $ 的度数；
（2）如果 $ ∠ CAB = 50° $，求 $ ∠ CAD $ 的度数；
（3）如果 $ ∠ CAD : ∠ DAB = 1 : 2 $，求 $ ∠ CAB $ 的度数.
答案
解：(1)在△ABC 中，∠C = 90°
所以∠CAB + ∠B = 90°
即∠CAD + ∠DAB + ∠B = 90°
又因为∠CAD = 22°
所以∠DAB + ∠B = 68°
因为 DE 垂直平分 AB
所以 DA = DB
所以∠DAB = ∠B = $\frac{1}{2}$ × 68° = 34°
所以∠B = 34°
(2)因为∠C = 90°
所以∠CAB + ∠B = 90°
又因为∠CAB = 50°
所以∠B = 40°
因为 DE 垂直平分 AB
所以 DA = DB
所以∠DAB = ∠B = 40°（等边对等角）
所以∠CAD = ∠CAB - ∠DAB = 10°
(3)设∠CAD = x，则∠DAB = 2x
因为 DE 垂直平分 AB
所以 DA = DB
所以∠B = ∠DAB = 2x（等边对等角）
因为∠CAB + ∠B = 90°
所以 x + 2x + 2x = 90°
5x = 90°
x = 18°
所以∠CAB = 3x = 54°
所以∠CAB + ∠B = 90°
即∠CAD + ∠DAB + ∠B = 90°
又因为∠CAD = 22°
所以∠DAB + ∠B = 68°
因为 DE 垂直平分 AB
所以 DA = DB
所以∠DAB = ∠B = $\frac{1}{2}$ × 68° = 34°
所以∠B = 34°
(2)因为∠C = 90°
所以∠CAB + ∠B = 90°
又因为∠CAB = 50°
所以∠B = 40°
因为 DE 垂直平分 AB
所以 DA = DB
所以∠DAB = ∠B = 40°（等边对等角）
所以∠CAD = ∠CAB - ∠DAB = 10°
(3)设∠CAD = x，则∠DAB = 2x
因为 DE 垂直平分 AB
所以 DA = DB
所以∠B = ∠DAB = 2x（等边对等角）
因为∠CAB + ∠B = 90°
所以 x + 2x + 2x = 90°
5x = 90°
x = 18°
所以∠CAB = 3x = 54°
解析
【分析】
本题主要利用垂直平分线的性质和直角三角形的角度关系来求解，解题思路如下：
1. 对于（1）：首先根据直角三角形两锐角互余，得到$∠CAB+∠B=90°$，将$∠CAB$拆分为$∠CAD+∠DAB$，代入已知$∠CAD$的度数，得到$∠DAB+∠B$的和；再根据AB的垂直平分线MN的性质，得出$DA=DB$，进而推出$∠DAB=∠B$，由此即可算出$∠B$的度数。
2. 对于（2）：先由直角三角形两锐角互余，结合已知$∠CAB$的度数算出$∠B$；再利用垂直平分线的性质得到$∠DAB=∠B$，最后用$∠CAB$减去$∠DAB$即可得到$∠CAD$的度数。
3. 对于（3）：根据$∠CAD$和$∠DAB$的比例关系设未知数，再利用垂直平分线的性质得出$∠B=∠DAB$，结合直角三角形两锐角和为90°列方程求解，最后计算出$∠CAB$的度数。
【解析】
(1) 在$△ABC$中，$∠C = 90°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠CAB + ∠B = 90°$，
即$∠CAD + ∠DAB + ∠B = 90°$，
已知$∠CAD = 22°$，代入得$∠DAB + ∠B = 90° - 22° = 68°$，
因为MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$DA = DB$，
根据等边对等角，可得$∠DAB = ∠B$，
因此$∠B = \frac{1}{2}×68° = 34°$。
(2) 在$△ABC$中，$∠C = 90°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠CAB + ∠B = 90°$，
已知$∠CAB = 50°$，则$∠B = 90° - 50° = 40°$，
因为MN是AB的垂直平分线，所以$DA = DB$，
根据等边对等角，可得$∠DAB = ∠B = 40°$，
因此$∠CAD = ∠CAB - ∠DAB = 50° - 40° = 10°$。
(3) 设$∠CAD = x$，因为$∠CAD : ∠DAB = 1 : 2$，所以$∠DAB = 2x$，
因为MN是AB的垂直平分线，所以$DA = DB$，
根据等边对等角，可得$∠B = ∠DAB = 2x$，
在$△ABC$中，$∠C = 90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠CAB + ∠B = 90°$，
即$x + 2x + 2x = 90°$，
合并同类项得$5x = 90°$，
解得$x = 18°$，
所以$∠CAB = x + 2x = 3x = 3×18° = 54°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=34°}$；
(2) $\boldsymbol{∠CAD=10°}$；
(3) $\boldsymbol{∠CAB=54°}$。
【知识点】
垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角
【点评】
本题是几何角度计算的基础题，综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形的角度关系以及方程思想的运用。解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），并能准确理清各角之间的等量关系，通过角度转化或设未知数建立方程来求解。
【难度系数】
0.6
本题主要利用垂直平分线的性质和直角三角形的角度关系来求解，解题思路如下：
1. 对于（1）：首先根据直角三角形两锐角互余，得到$∠CAB+∠B=90°$，将$∠CAB$拆分为$∠CAD+∠DAB$，代入已知$∠CAD$的度数，得到$∠DAB+∠B$的和；再根据AB的垂直平分线MN的性质，得出$DA=DB$，进而推出$∠DAB=∠B$，由此即可算出$∠B$的度数。
2. 对于（2）：先由直角三角形两锐角互余，结合已知$∠CAB$的度数算出$∠B$；再利用垂直平分线的性质得到$∠DAB=∠B$，最后用$∠CAB$减去$∠DAB$即可得到$∠CAD$的度数。
3. 对于（3）：根据$∠CAD$和$∠DAB$的比例关系设未知数，再利用垂直平分线的性质得出$∠B=∠DAB$，结合直角三角形两锐角和为90°列方程求解，最后计算出$∠CAB$的度数。
【解析】
(1) 在$△ABC$中，$∠C = 90°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠CAB + ∠B = 90°$，
即$∠CAD + ∠DAB + ∠B = 90°$，
已知$∠CAD = 22°$，代入得$∠DAB + ∠B = 90° - 22° = 68°$，
因为MN是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，所以$DA = DB$，
根据等边对等角，可得$∠DAB = ∠B$，
因此$∠B = \frac{1}{2}×68° = 34°$。
(2) 在$△ABC$中，$∠C = 90°$，
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠CAB + ∠B = 90°$，
已知$∠CAB = 50°$，则$∠B = 90° - 50° = 40°$，
因为MN是AB的垂直平分线，所以$DA = DB$，
根据等边对等角，可得$∠DAB = ∠B = 40°$，
因此$∠CAD = ∠CAB - ∠DAB = 50° - 40° = 10°$。
(3) 设$∠CAD = x$，因为$∠CAD : ∠DAB = 1 : 2$，所以$∠DAB = 2x$，
因为MN是AB的垂直平分线，所以$DA = DB$，
根据等边对等角，可得$∠B = ∠DAB = 2x$，
在$△ABC$中，$∠C = 90°$，根据直角三角形两锐角互余，可得$∠CAB + ∠B = 90°$，
即$x + 2x + 2x = 90°$，
合并同类项得$5x = 90°$，
解得$x = 18°$，
所以$∠CAB = x + 2x = 3x = 3×18° = 54°$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠B=34°}$；
(2) $\boldsymbol{∠CAD=10°}$；
(3) $\boldsymbol{∠CAB=54°}$。
【知识点】
垂直平分线的性质、直角三角形两锐角互余、等边对等角
【点评】
本题是几何角度计算的基础题，综合考查了垂直平分线的性质、直角三角形的角度关系以及方程思想的运用。解题的关键是熟练掌握垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端距离相等），并能准确理清各角之间的等量关系，通过角度转化或设未知数建立方程来求解。
【难度系数】
0.6
