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2. 如图，若 AB//CD，AP，CP 分别平分∠BAC 和∠ACD，PE⊥AC 于点 E，PE=6，则 AB 与 CD 之间的距离为(
A.12
B.6
C.8
D.10
A
)A.12
B.6
C.8
D.10
答案
2. A
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：
1. 首先明确平行线间距离的定义：从一条平行线上任意一点向另一条平行线作垂线，垂线段的长度即为平行线间的距离，因此我们需要过点P向AB、CD作垂线，构造出距离线段。
2. 已知AP、CP是角平分线，且PE⊥AC，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可推出点P到AB、CD的距离都等于PE的长度。
3. 结合AB//CD的条件，可知两条垂线共线，将两段距离相加就能得到AB与CD之间的总距离。
【解析】
过点P作$PM⊥ AB$于点M，$PN⊥ CD$于点N。
∵AP平分$∠ BAC$，$PE⊥ AC$，$PM⊥ AB$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$PM = PE = 6$。
∵CP平分$∠ ACD$，$PE⊥ AC$，$PN⊥ CD$，
同理可得$PN = PE = 6$。
又
∵$AB// CD$，$PM⊥ AB$，$PN⊥ CD$，
∴M、P、N三点共线，
则AB与CD之间的距离为$PM + PN = 6 + 6 = 12$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离
【点评】
本题是角平分线性质与平行线间距离的综合应用，核心是通过作辅助线将平行线间的距离转化为角平分线上点到两边的距离之和，需要准确掌握角平分线性质并灵活构造辅助线。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以按以下思路思考：
1. 首先明确平行线间距离的定义：从一条平行线上任意一点向另一条平行线作垂线，垂线段的长度即为平行线间的距离，因此我们需要过点P向AB、CD作垂线，构造出距离线段。
2. 已知AP、CP是角平分线，且PE⊥AC，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可推出点P到AB、CD的距离都等于PE的长度。
3. 结合AB//CD的条件，可知两条垂线共线，将两段距离相加就能得到AB与CD之间的总距离。
【解析】
过点P作$PM⊥ AB$于点M，$PN⊥ CD$于点N。
∵AP平分$∠ BAC$，$PE⊥ AC$，$PM⊥ AB$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴$PM = PE = 6$。
∵CP平分$∠ ACD$，$PE⊥ AC$，$PN⊥ CD$，
同理可得$PN = PE = 6$。
又
∵$AB// CD$，$PM⊥ AB$，$PN⊥ CD$，
∴M、P、N三点共线，
则AB与CD之间的距离为$PM + PN = 6 + 6 = 12$。
【答案】
A
【知识点】
角平分线的性质；平行线间的距离
【点评】
本题是角平分线性质与平行线间距离的综合应用，核心是通过作辅助线将平行线间的距离转化为角平分线上点到两边的距离之和，需要准确掌握角平分线性质并灵活构造辅助线。
【难度系数】
0.6
3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AC，AB 于点 M，N，再分别以 M，N 为圆心，任意长为半径画弧，两弧交于点 G，作射线 AG 交 BC 于点 D，若 CD=2，P 为 AB 上一动点，则 PD 的最小值为
2
。答案
3. 2
解析
【分析】
首先，根据题目中的尺规作图步骤，可判断出射线AG是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。接下来，要求AB上动点P到D的距离PD的最小值，根据“垂线段最短”的原理，当PD垂直于AB时，PD的长度最小。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠C=90°，即DC⊥AC，所以此时PD的长度等于CD的长度，由此可得出PD的最小值。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线；
2. 根据垂线段最短的性质，当PD⊥AB时，PD取得最小值；
3. 因为∠C=90°，所以DC⊥AC，又因为AD平分∠BAC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PD=CD；
4. 已知CD=2，所以PD的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题主要考查角平分线的尺规作图识别、角平分线的性质以及垂线段最短的应用，解题的关键是先判断出AD为角平分线，再结合垂线段最短确定PD的最小值与CD的关系，题目注重基础知识点的运用，综合性不强。
【难度系数】
0.7
首先，根据题目中的尺规作图步骤，可判断出射线AG是∠BAC的角平分线，即AD平分∠BAC。接下来，要求AB上动点P到D的距离PD的最小值，根据“垂线段最短”的原理，当PD垂直于AB时，PD的长度最小。再结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，已知∠C=90°，即DC⊥AC，所以此时PD的长度等于CD的长度，由此可得出PD的最小值。
【解析】
1. 由尺规作图的步骤可知，AD是∠BAC的角平分线；
2. 根据垂线段最短的性质，当PD⊥AB时，PD取得最小值；
3. 因为∠C=90°，所以DC⊥AC，又因为AD平分∠BAC，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得PD=CD；
4. 已知CD=2，所以PD的最小值为2。
【答案】
2
【知识点】
角平分线的性质，垂线段最短
【点评】
本题主要考查角平分线的尺规作图识别、角平分线的性质以及垂线段最短的应用，解题的关键是先判断出AD为角平分线，再结合垂线段最短确定PD的最小值与CD的关系，题目注重基础知识点的运用，综合性不强。
【难度系数】
0.7
4. 如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=8 cm，AC=6 cm，则：
4:3
答案
4. 4:3
解析
【分析】
要解决两个三角形的面积比问题，首先回忆三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高$。观察图形可知，△ABD和△ACD有公共顶点A，且AD是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作AB、AC的垂线，这两条垂线段长度相等，即两个三角形的高相等。那么面积比就等于它们的底AB和AC的长度比，代入AB和AC的长度化简即可得到结果。
【解析】
过点D作$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F。
因为AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE=DF$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$，
因为$DE=DF$，所以$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}×AB×DE}{\frac{1}{2}×AC×DF}=\frac{AB}{AC}$。
已知$AB=8cm$，$AC=6cm$，代入得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，即$S_{△ABD}:S_{△ACD}=4:3$。
【答案】
$4:3$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题通过角平分线的性质得出两个三角形的高相等，将面积比转化为底的长度比，巧妙利用转化思想简化计算，考查了对基础性质和公式的灵活运用。
【难度系数】
0.8
要解决两个三角形的面积比问题，首先回忆三角形面积公式：$S=\frac{1}{2}×底×高$。观察图形可知，△ABD和△ACD有公共顶点A，且AD是角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，因此可过D作AB、AC的垂线，这两条垂线段长度相等，即两个三角形的高相等。那么面积比就等于它们的底AB和AC的长度比，代入AB和AC的长度化简即可得到结果。
【解析】
过点D作$DE⊥AB$于点E，$DF⊥AC$于点F。
因为AD是△ABC的角平分线，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$DE=DF$。
根据三角形面积公式：
$S_{△ABD}=\frac{1}{2}×AB×DE$，
$S_{△ACD}=\frac{1}{2}×AC×DF$，
因为$DE=DF$，所以$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ACD}}=\frac{\frac{1}{2}×AB×DE}{\frac{1}{2}×AC×DF}=\frac{AB}{AC}$。
已知$AB=8cm$，$AC=6cm$，代入得：
$\frac{AB}{AC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$，即$S_{△ABD}:S_{△ACD}=4:3$。
【答案】
$4:3$
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题通过角平分线的性质得出两个三角形的高相等，将面积比转化为底的长度比，巧妙利用转化思想简化计算，考查了对基础性质和公式的灵活运用。
【难度系数】
0.8
5. 如图，在△ABC 中，BD 是∠ABC 的角平分线，DE⊥AB 于 E，△ABC 的面积是 27 cm²，AB=8 cm，BC=10 cm，则 DE=
3
cm。答案
5. 3
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以利用角平分线的性质和三角形面积的计算来推导：
1. 首先，BD是∠ABC的角平分线，且DE⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以我们可以过D作DF⊥BC于F，得到DE=DF；
2. 其次，△ABC的面积等于△ABD和△BCD的面积之和，我们可以设DE的长度为x，分别表示出两个小三角形的面积，再根据总面积列出方程，进而求解x的值。
【解析】
过点D作DF⊥BC于点F。
∵ BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设DE=DF=x cm，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 8 × x = 4x$，
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BC × DF = \frac{1}{2} × 10 × x = 5x$。
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = 27$，
∴ $4x + 5x = 27$，
解得 $x = 3$，即DE=3 cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题结合角平分线的性质与三角形面积公式，通过将大三角形的面积拆分为两个小三角形面积之和，利用方程思想求解线段长度，关键是灵活运用角平分线的性质得到DE与DF的等量关系，建立方程求解。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，我们可以利用角平分线的性质和三角形面积的计算来推导：
1. 首先，BD是∠ABC的角平分线，且DE⊥AB，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以我们可以过D作DF⊥BC于F，得到DE=DF；
2. 其次，△ABC的面积等于△ABD和△BCD的面积之和，我们可以设DE的长度为x，分别表示出两个小三角形的面积，再根据总面积列出方程，进而求解x的值。
【解析】
过点D作DF⊥BC于点F。
∵ BD是∠ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴ DE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）。
设DE=DF=x cm，
根据三角形面积公式：
$S_{△ ABD} = \frac{1}{2} × AB × DE = \frac{1}{2} × 8 × x = 4x$，
$S_{△ BCD} = \frac{1}{2} × BC × DF = \frac{1}{2} × 10 × x = 5x$。
∵ $S_{△ ABC} = S_{△ ABD} + S_{△ BCD} = 27$，
∴ $4x + 5x = 27$，
解得 $x = 3$，即DE=3 cm。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质，三角形面积公式
【点评】
本题结合角平分线的性质与三角形面积公式，通过将大三角形的面积拆分为两个小三角形面积之和，利用方程思想求解线段长度，关键是灵活运用角平分线的性质得到DE与DF的等量关系，建立方程求解。
【难度系数】
0.6
6. 如图，两条公路 OA 和 OB 相交于点 O，在∠AOB 的内部有工厂 C 和 D。现要建一个货站 P，使货站 P 到两条公路 OA，OB 的距离相等，且到两工厂 C，D 的距离也相等。用尺规作出货站 P 的位置（不写作法，保留作图痕迹）。
答案
6. 解:如图所示,点P在∠AOB的角平分线与线段CD的垂直平分线的交点处.
解析
【分析】
要确定货站P的位置，需结合两个条件逐步分析：
1. 货站P到两条公路OA、OB的距离相等，根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此P点必在∠AOB的角平分线上；
2. 货站P到工厂C、D的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此P点必在线段CD的垂直平分线上。
综上，P点是∠AOB的角平分线与线段CD的垂直平分线的交点，只需用尺规作出这两条线，找到交点即可。
【解析】
1. 用尺规作∠AOB的角平分线；
2. 用尺规作线段CD的垂直平分线；
3. 两条线的交点即为所求的货站P的位置（保留作图痕迹）。
【答案】
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、尺规作图
【点评】
本题综合考查了角平分线和线段垂直平分线的性质，需要学生理解并运用这两个几何图形的性质来确定点的位置，同时掌握基本的尺规作图方法，是对几何性质与作图能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
要确定货站P的位置，需结合两个条件逐步分析：
1. 货站P到两条公路OA、OB的距离相等，根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在该角的平分线上，因此P点必在∠AOB的角平分线上；
2. 货站P到工厂C、D的距离相等，根据线段垂直平分线的性质，到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，因此P点必在线段CD的垂直平分线上。
综上，P点是∠AOB的角平分线与线段CD的垂直平分线的交点，只需用尺规作出这两条线，找到交点即可。
【解析】
1. 用尺规作∠AOB的角平分线；
2. 用尺规作线段CD的垂直平分线；
3. 两条线的交点即为所求的货站P的位置（保留作图痕迹）。
【答案】
【知识点】
角平分线的性质、线段垂直平分线的性质、尺规作图
【点评】
本题综合考查了角平分线和线段垂直平分线的性质，需要学生理解并运用这两个几何图形的性质来确定点的位置，同时掌握基本的尺规作图方法，是对几何性质与作图能力的基础考查。
【难度系数】
0.8
7. 如图，∠B=∠C=90°，M 是 BC 上一点，且 DM 平分∠ADC，AM 平分∠DAB。
求证：（1）M 是 CB 的中点；
（2）AD=AB+CD。
求证：（1）M 是 CB 的中点；
（2）AD=AB+CD。
答案
7. 证明:过点M作MN⊥AD于点N
(1)因为DM平分∠ADC,
∠C=90°,MN⊥DA
所以MC=MN
又因为AM平分∠DAB,
MN⊥AD,∠B=90°
所以MN=MB
所以MC=MB(等量代换)
所以点M是CB的中点
(2)因为DM平分∠ADC
所以∠CDM=∠NDM
又因为MN⊥AD,∠C=90°
所以∠DNM=∠C=90°
在△DNM和△DCM中
{∠NDM=∠CDM(已证)
∠DNM=∠C(已证)
DM=DM(公共边)
所以△DMN≌△DCM(AAS)
所以DC=DN
同理可得:△NAM≌△BAM
所以AN=AB
所以AD=AN+ND=AB+CD
解析
【分析】
要解决这两个问题，我们可以结合角平分线的性质和全等三角形的知识来推导：
1. 证明M是CB的中点：已知DM、AM分别为角平分线，且∠B、∠C为直角，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可通过作辅助线MN⊥AD，得到MC=MN、MB=MN，再通过等量代换得出MC=MB，从而证明M是CB中点。
2. 证明AD=AB+CD：通过证明三角形全等，将AB、CD转化为AD上的线段AN、DN，利用全等三角形对应边相等得到AN=AB、DN=CD，再根据线段和的关系AD=AN+DN，即可推导出结论。
【解析】
证明:过点M作MN⊥AD于点N
(1)因为DM平分∠ADC，∠C=90°，MN⊥DA
所以MC=MN（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又因为AM平分∠DAB，MN⊥AD，∠B=90°
所以MN=MB（角平分线上的点到角两边的距离相等）
所以MC=MB(等量代换)
所以点M是CB的中点
(2)因为DM平分∠ADC
所以∠CDM=∠NDM
又因为MN⊥AD，∠C=90°
所以∠DNM=∠C=90°
在△DNM和△DCM中
$\{\begin{array}{l}∠NDM=∠CDM(已证)\\∠DNM=∠C(已证)\\DM=DM(公共边)\end{array} $
所以△DMN≌△DCM(AAS)
所以DC=DN（全等三角形对应边相等）
同理可得:△NAM≌△BAM(AAS)
所以AN=AB（全等三角形对应边相等）
所以AD=AN+ND=AB+CD
【答案】
证明:过点M作MN⊥AD于点N
(1)因为DM平分∠ADC,
∠C=90°,MN⊥DA
所以MC=MN
又因为AM平分∠DAB,
MN⊥AD,∠B=90°
所以MN=MB
所以MC=MB(等量代换)
所以点M是CB的中点
(2)因为DM平分∠ADC
所以∠CDM=∠NDM
又因为MN⊥AD,∠C=90°
所以∠DNM=∠C=90°
在△DNM和△DCM中
{∠NDM=∠CDM(已证)
∠DNM=∠C(已证)
DM=DM(公共边)
所以△DMN≌△DCM(AAS)
所以DC=DN
同理可得:△NAM≌△BAM
所以AN=AB
所以AD=AN+ND=AB+CD
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题的解题核心是通过作辅助线MN⊥AD，将角平分线的性质与全等三角形的判定相结合，实现线段和角的关系转化，考查了对几何基本定理的综合运用能力，是角平分线与全等三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
要解决这两个问题，我们可以结合角平分线的性质和全等三角形的知识来推导：
1. 证明M是CB的中点：已知DM、AM分别为角平分线，且∠B、∠C为直角，根据角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可通过作辅助线MN⊥AD，得到MC=MN、MB=MN，再通过等量代换得出MC=MB，从而证明M是CB中点。
2. 证明AD=AB+CD：通过证明三角形全等，将AB、CD转化为AD上的线段AN、DN，利用全等三角形对应边相等得到AN=AB、DN=CD，再根据线段和的关系AD=AN+DN，即可推导出结论。
【解析】
证明:过点M作MN⊥AD于点N
(1)因为DM平分∠ADC，∠C=90°，MN⊥DA
所以MC=MN（角平分线上的点到角两边的距离相等）
又因为AM平分∠DAB，MN⊥AD，∠B=90°
所以MN=MB（角平分线上的点到角两边的距离相等）
所以MC=MB(等量代换)
所以点M是CB的中点
(2)因为DM平分∠ADC
所以∠CDM=∠NDM
又因为MN⊥AD，∠C=90°
所以∠DNM=∠C=90°
在△DNM和△DCM中
$\{\begin{array}{l}∠NDM=∠CDM(已证)\\∠DNM=∠C(已证)\\DM=DM(公共边)\end{array} $
所以△DMN≌△DCM(AAS)
所以DC=DN（全等三角形对应边相等）
同理可得:△NAM≌△BAM(AAS)
所以AN=AB（全等三角形对应边相等）
所以AD=AN+ND=AB+CD
【答案】
证明:过点M作MN⊥AD于点N
(1)因为DM平分∠ADC,
∠C=90°,MN⊥DA
所以MC=MN
又因为AM平分∠DAB,
MN⊥AD,∠B=90°
所以MN=MB
所以MC=MB(等量代换)
所以点M是CB的中点
(2)因为DM平分∠ADC
所以∠CDM=∠NDM
又因为MN⊥AD,∠C=90°
所以∠DNM=∠C=90°
在△DNM和△DCM中
{∠NDM=∠CDM(已证)
∠DNM=∠C(已证)
DM=DM(公共边)
所以△DMN≌△DCM(AAS)
所以DC=DN
同理可得:△NAM≌△BAM
所以AN=AB
所以AD=AN+ND=AB+CD
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质
【点评】
本题的解题核心是通过作辅助线MN⊥AD，将角平分线的性质与全等三角形的判定相结合，实现线段和角的关系转化，考查了对几何基本定理的综合运用能力，是角平分线与全等三角形结合的典型题型。
【难度系数】
0.6
如图，点 E 是∠AOB 的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为 C，D。
（1）∠ECD 和∠EDC 相等吗？为什么？
（2）OC 和 OD 相等吗？为什么？
（3）OE 是否垂直平分线段 CD，请说明理由。
（1）∠ECD 和∠EDC 相等吗？为什么？
（2）OC 和 OD 相等吗？为什么？
（3）OE 是否垂直平分线段 CD，请说明理由。
答案
解:(1)∠ECD=∠EDC,理由如下
由题意可得:
OE平分∠AOB,ED⊥OB,EC⊥OA
所以ED=EC
所以∠EDC=∠ECD(等边对等角)
(2)OC=OD,理由如下:
因为OE平分∠AOB
所以∠DOE=∠COE
又因为ED⊥OB,EC⊥OA
所以∠EDO=∠ECO=90°
在△ODE和△OCE中
{∠DOE=∠COE(已证)
∠EDO=∠ECO(已证)
OE=OE(公共边)
所以△ODE≌△OCE(AAS)
所以OC=OD
(3)OE垂直平分CD,理由如下
在△DOC中,OD=OC,OE平分∠DOC
所以OE垂直平分DC(三线合一)
由题意可得:
OE平分∠AOB,ED⊥OB,EC⊥OA
所以ED=EC
所以∠EDC=∠ECD(等边对等角)
(2)OC=OD,理由如下:
因为OE平分∠AOB
所以∠DOE=∠COE
又因为ED⊥OB,EC⊥OA
所以∠EDO=∠ECO=90°
在△ODE和△OCE中
{∠DOE=∠COE(已证)
∠EDO=∠ECO(已证)
OE=OE(公共边)
所以△ODE≌△OCE(AAS)
所以OC=OD
(3)OE垂直平分CD,理由如下
在△DOC中,OD=OC,OE平分∠DOC
所以OE垂直平分DC(三线合一)
解析
【分析】
1. 对于问题（1）：要判断∠ECD和∠EDC是否相等，先利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，得出ED=EC，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，即可推出两个角相等。
2. 对于问题（2）：要判断OC和OD是否相等，可通过证明三角形全等实现。已知OE是角平分线，可得∠DOE=∠COE，结合ED⊥OB、EC⊥OA得到两个直角相等，再加上公共边OE，利用AAS可证明△ODE≌△OCE，根据全等三角形对应边相等得出OC=OD。
3. 对于问题（3）：要判断OE是否垂直平分CD，由（2）知OD=OC，△DOC是等腰三角形，OE平分∠DOC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可得出OE垂直平分CD。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ECD=∠EDC}$，理由如下：
因为OE平分∠AOB，$ED⊥OB$，$EC⊥OA$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$ED=EC$。
根据等腰三角形的性质：等边对等角，可得$∠EDC=∠ECD$。
(2) $\boldsymbol{OC=OD}$，理由如下：
因为OE平分∠AOB，所以$∠DOE=∠COE$。
又因为$ED⊥OB$，$EC⊥OA$，所以$∠EDO=∠ECO=90°$。
在$△ ODE$和$△ OCE$中：
$\begin{cases}∠DOE=∠COE \\∠EDO=∠ECO \\OE=OE\end{cases}$
所以$△ ODE≌△ OCE$（AAS）。
根据全等三角形对应边相等，可得$OC=OD$。
(3) $\boldsymbol{OE}$垂直平分线段$\boldsymbol{CD}$，理由如下：
由(2)知$OD=OC$，所以$△ DOC$是等腰三角形。
又因为OE平分∠DOC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知OE垂直平分DC。
【答案】
(1) $∠ECD=∠EDC$，理由见解析；
(2) $OC=OD$，理由见解析；
(3) OE垂直平分线段CD，理由见解析。
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，是一道基础综合题，需要熟练掌握相关性质并灵活运用，理清各知识点之间的联系是解题关键。
【难度系数】
0.6
1. 对于问题（1）：要判断∠ECD和∠EDC是否相等，先利用角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，得出ED=EC，再根据等腰三角形“等边对等角”的性质，即可推出两个角相等。
2. 对于问题（2）：要判断OC和OD是否相等，可通过证明三角形全等实现。已知OE是角平分线，可得∠DOE=∠COE，结合ED⊥OB、EC⊥OA得到两个直角相等，再加上公共边OE，利用AAS可证明△ODE≌△OCE，根据全等三角形对应边相等得出OC=OD。
3. 对于问题（3）：要判断OE是否垂直平分CD，由（2）知OD=OC，△DOC是等腰三角形，OE平分∠DOC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，即可得出OE垂直平分CD。
【解析】
(1) $\boldsymbol{∠ECD=∠EDC}$，理由如下：
因为OE平分∠AOB，$ED⊥OB$，$EC⊥OA$，
根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$ED=EC$。
根据等腰三角形的性质：等边对等角，可得$∠EDC=∠ECD$。
(2) $\boldsymbol{OC=OD}$，理由如下：
因为OE平分∠AOB，所以$∠DOE=∠COE$。
又因为$ED⊥OB$，$EC⊥OA$，所以$∠EDO=∠ECO=90°$。
在$△ ODE$和$△ OCE$中：
$\begin{cases}∠DOE=∠COE \\∠EDO=∠ECO \\OE=OE\end{cases}$
所以$△ ODE≌△ OCE$（AAS）。
根据全等三角形对应边相等，可得$OC=OD$。
(3) $\boldsymbol{OE}$垂直平分线段$\boldsymbol{CD}$，理由如下：
由(2)知$OD=OC$，所以$△ DOC$是等腰三角形。
又因为OE平分∠DOC，根据等腰三角形“三线合一”的性质，可知OE垂直平分DC。
【答案】
(1) $∠ECD=∠EDC$，理由见解析；
(2) $OC=OD$，理由见解析；
(3) OE垂直平分线段CD，理由见解析。
【知识点】
角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质
【点评】
本题综合考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，是一道基础综合题，需要熟练掌握相关性质并灵活运用，理清各知识点之间的联系是解题关键。
【难度系数】
0.6
