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7. (★★)若在四边形ABCD中,AB:BC:CD:AD的长度之比是2:1:2:1,则四边形ABCD是平行四边形,判定的依据是.
答案
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
解析
已知四边形ABCD中，AB:BC:CD:AD=2:1:2:1，设AB=2k，BC=k，CD=2k，AD=k（k＞0），则AB=CD，AD=BC。根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD是平行四边形。
8. (★★)如图,在△ABC中,过点C作CD//AB,E是AC的中点,连接DE并延长,交AB于点F,连接AD,CF.求证:四边形AFCD是平行四边形.
答案
证明：
∵ CD//AB，
∴ ∠AFE=∠CDE（两直线平行，内错角相等）。
∵ E是AC的中点，
∴ AE=CE。
在△AFE和△CDE中，
∠AFE=∠CDE，
∠AEF=∠CED（对顶角相等），
AE=CE，
∴ △AFE≌△CDE（AAS）。
∴ EF=DE。
又∵ AE=CE，
∴ 四边形AFCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
∵ CD//AB，
∴ ∠AFE=∠CDE（两直线平行，内错角相等）。
∵ E是AC的中点，
∴ AE=CE。
在△AFE和△CDE中，
∠AFE=∠CDE，
∠AEF=∠CED（对顶角相等），
AE=CE，
∴ △AFE≌△CDE（AAS）。
∴ EF=DE。
又∵ AE=CE，
∴ 四边形AFCD是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
9. (★★)在四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OC,OB=OD,则下列结论不成立的是【 】
A.AB=AC
B.AB//CD
C.∠BAD=∠BCD
D.AD=BC
A.AB=AC
B.AB//CD
C.∠BAD=∠BCD
D.AD=BC
答案
A
解析
由题目条件 $OA = OC$，$OB = OD$，可知四边形 $ABCD$ 是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）。
根据平行四边形的性质：
对边相等，即 $AB = CD$，$AD = BC$。
对边平行，即 $AB // CD$，$AD // BC$。
$∠ BAD=∠ BCD$，$∠ ABC=∠ ADC$。
然而，无法由平行四边形的性质得出 $AB = AC$。
所以选项A不成立。
根据平行四边形的性质：
对边相等，即 $AB = CD$，$AD = BC$。
对边平行，即 $AB // CD$，$AD // BC$。
$∠ BAD=∠ BCD$，$∠ ABC=∠ ADC$。
然而，无法由平行四边形的性质得出 $AB = AC$。
所以选项A不成立。
10. (★★)如图,在▱ABCD中,过点B作BM⊥AC于点E,交CD于点M,过点D作DN⊥AC于点F,交AB于点N.
(1)求证:四边形BMDN是平行四边形;
(2)已知AF=12,EM=5,求AN的长.
(1)求证:四边形BMDN是平行四边形;
(2)已知AF=12,EM=5,求AN的长.
答案
1. （1）证明四边形$BMDN$是平行四边形：
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$CD// AB$，即$DM// BN$。
又因为$BM⊥ AC$，$DN⊥ AC$，所以$BM// DN$。
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$BMDN$是平行四边形。
2. （2）求$AN$的长：
因为四边形$BMDN$是平行四边形，所以$DM = BN$。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$CD = AB$，$CD// AB$，则$CM=AN$。
因为$AB// CD$，所以$∠ MCE=∠ NAF$。
因为$BM⊥ AC$，$DN⊥ AC$，所以$∠ MEC=∠ NFA = 90^{\circ}$。
在$△ CEM$和$△ AFN$中：
$\{\begin{array}{l}∠ MEC=∠ NFA\\∠ MCE=∠ NAF\\CM = AN\end{array} $，所以$△ CEM≌△ AFN(AAS)$。
所以$FN = EM = 5$。
在$Rt△ AFN$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = FN$，$b = AF$，$c = AN$），则$AN=\sqrt{AF^{2}+FN^{2}}$。
已知$AF = 12$，$FN = 5$，所以$AN=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
综上，（1）已证四边形$BMDN$是平行四边形；（2）$AN$的长为$13$。
因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$CD// AB$，即$DM// BN$。
又因为$BM⊥ AC$，$DN⊥ AC$，所以$BM// DN$。
根据平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以四边形$BMDN$是平行四边形。
2. （2）求$AN$的长：
因为四边形$BMDN$是平行四边形，所以$DM = BN$。
又因为四边形$ABCD$是平行四边形，所以$CD = AB$，$CD// AB$，则$CM=AN$。
因为$AB// CD$，所以$∠ MCE=∠ NAF$。
因为$BM⊥ AC$，$DN⊥ AC$，所以$∠ MEC=∠ NFA = 90^{\circ}$。
在$△ CEM$和$△ AFN$中：
$\{\begin{array}{l}∠ MEC=∠ NFA\\∠ MCE=∠ NAF\\CM = AN\end{array} $，所以$△ CEM≌△ AFN(AAS)$。
所以$FN = EM = 5$。
在$Rt△ AFN$中，根据勾股定理$a^{2}+b^{2}=c^{2}$（这里$a = FN$，$b = AF$，$c = AN$），则$AN=\sqrt{AF^{2}+FN^{2}}$。
已知$AF = 12$，$FN = 5$，所以$AN=\sqrt{12^{2}+5^{2}}=\sqrt{144 + 25}=\sqrt{169}=13$。
综上，（1）已证四边形$BMDN$是平行四边形；（2）$AN$的长为$13$。
11. (★★)在四边形ABCD中,下列条件不能判定四边形ABCD是平行四边形的是【 】
A.OA=3,OB=5,OC=3,OD=5
B.AB=4,BC=6,CD=4,AD=6
C.AB=4,CD=4,∠DAC=35°,∠ACB=35°
D.∠ABD=35°,∠ACB=50°,∠BDC=35°,∠DAC=50°
A.OA=3,OB=5,OC=3,OD=5
B.AB=4,BC=6,CD=4,AD=6
C.AB=4,CD=4,∠DAC=35°,∠ACB=35°
D.∠ABD=35°,∠ACB=50°,∠BDC=35°,∠DAC=50°
答案
C
解析
选项A，根据条件，四边形ABCD中，若$OA=3$，$OB=5$，$OC=3$，$OD=5$，则$OA=OC$，$OB=OD$，即四边形ABCD的两条对角线互相平分，根据平行四边形的判定定理，对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以A能判定；
选项B，根据条件，四边形ABCD中，若$AB=4$，$BC=6$，$CD=4$，$AD=6$，则$AB=CD$，$BC=AD$，即四边形ABCD的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以B能判定；
选项C，根据条件，虽然给出了$AB=CD$，$∠ DAC=∠ ACB$，但这两个条件并不能满足平行四边形判定定理中的任何一个（比如两组对边分别相等，或者两组对角分别相等，或者对角线互相平分等），且没有给出其他能与这两个条件结合判定平行四边形的信息，所以C不能判定；
选项D， 根据条件，四边形ABCD中，若$∠ ABD=35°$，$∠ ACB=50°$，$∠ BDC=35°$，$∠ DAC=50°$，则$∠ ABD=∠ BDC$，$∠ ACB=∠ DAC$，由等角定理，我们可以得出$AB// CD$，$AD// BC$，即四边形ABCD的两组对边分别平行，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以D能判定。
因为题目要求选择不能判定的选项，
选项B，根据条件，四边形ABCD中，若$AB=4$，$BC=6$，$CD=4$，$AD=6$，则$AB=CD$，$BC=AD$，即四边形ABCD的两组对边分别相等，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别相等的四边形是平行四边形，所以B能判定；
选项C，根据条件，虽然给出了$AB=CD$，$∠ DAC=∠ ACB$，但这两个条件并不能满足平行四边形判定定理中的任何一个（比如两组对边分别相等，或者两组对角分别相等，或者对角线互相平分等），且没有给出其他能与这两个条件结合判定平行四边形的信息，所以C不能判定；
选项D， 根据条件，四边形ABCD中，若$∠ ABD=35°$，$∠ ACB=50°$，$∠ BDC=35°$，$∠ DAC=50°$，则$∠ ABD=∠ BDC$，$∠ ACB=∠ DAC$，由等角定理，我们可以得出$AB// CD$，$AD// BC$，即四边形ABCD的两组对边分别平行，根据平行四边形的判定定理，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，所以D能判定。
因为题目要求选择不能判定的选项，
