12. (★★)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,E,F分别是BC,AD上的点,且AE//CF.
(1)求证:四边形AECF是平行四边形.
(2)若∠BAE=∠DCF,求证:四边形ABCD是平行四边形.

(1) ∵AD//BC，∴AF//EC，又∵AE//CF，∴四边形AECF是平行四边形。
(2) 由(1)知四边形AECF是平行四边形，∴AE=CF，∠AEC=∠AFC。∵AD//BC，∴∠AFE+∠FEC=180°，∠AFC+∠CFD=180°，又∵∠AEC=∠AFC，∴∠AEB=∠CFD。在△ABE和△CDF中，∠BAE=∠DCF，∠AEB=∠CFD，AE=CF，∴△ABE≌△CDF(AAS)，∴AB=CD，∠B=∠D。∵AD//BC，∴∠B+∠BAD=180°，∠D+∠BCD=180°，又∵∠B=∠D，∴∠BAD=∠BCD，∴四边形ABCD是平行四边形。

13. (★★)如图,在▱ABCD中,E,F为对角线BD上两点,给出以下条件:①AE=CF;②BE=DF;③∠BAE=∠DCF.其中能判定四边形AECF为平行四边形的是【 】


A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

B

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD，BO=DO（O为BD中点）。
条件②：BE=DF，∴BO-BE=DO-DF，即EO=FO。又∵AO=CO（平行四边形对角线互相平分），∴四边形AECF对角线互相平分，故为平行四边形。
条件③：∠BAE=∠DCF，AB//CD⇒∠ABE=∠CDF。又AB=CD，∴△ABE≌△CDF（ASA），∴AE=CF，∠AEB=∠CFD⇒∠AEO=∠CFO⇒AE//CF。∴AE=CF且AE//CF，故四边形AECF为平行四边形。
条件①：AE=CF，仅线段相等无法判定平行或另一组对边关系，不能判定。
综上，②③可判定。

14. (★★)如图,在四边形ABCD中,AB//CD,AD//BC,且∠BAD的平分线AE与∠ADC的平分线DF分别交BC于点E,F.若EF=2,AB=5,则AD的长为.

8

因为AB//CD，AD//BC，所以四边形ABCD是平行四边形，故AD=BC，AB=CD=5，AD//BC。
AE平分∠BAD，所以∠BAE=∠DAE。又AD//BC，得∠DAE=∠AEB（内错角相等），故∠BAE=∠AEB，所以△ABE为等腰三角形，BE=AB=5。
DF平分∠ADC，所以∠ADF=∠CDF。又AD//BC，得∠ADF=∠DFC（内错角相等），故∠CDF=∠DFC，所以△CDF为等腰三角形，CF=CD=5。
设AD=BC=x，点E、F在BC上，且EF=2。由图形位置知BC=BE+CF-EF，即x=5+5-2=8。

15. (★★)如图,在△ABC中,D是AB边上任意一点,F是AC的中点,过点C作CE//AB交DF的延长线于点E,连接AE,CD.
(1)求证:四边形ADCE是平行四边形;
(2)若∠B=30°,∠CAB=45°,CD=BD=2,求AD的长.

(1)见证明；(2)AD=1+$\sqrt{3}$。

(1) 证明：
∵F是AC中点，∴AF=CF。
∵CE//AB，∴∠EFC=∠AFD，∠ECF=∠DAF。
在△EFC和△DFA中，
$\{\begin{array}{l} ∠ECF=∠DAF\\ CF=AF\\ ∠EFC=∠AFD\end{array} $，
∴△EFC≌△DFA(ASA)，∴CE=AD。
∵CE//AD，∴四边形ADCE是平行四边形。
(2) 解：
∵CD=BD=2，∴∠BCD=∠B=30°，
∴∠CDB=180°-30°-30°=120°，
∴∠ADC=180°-120°=60°。
在△ADC中，∠CAD=45°，∠ADC=60°，
∴∠ACD=180°-45°-60°=75°。
过C作CH⊥AD于H，设AD=x。
在Rt△CHD中，DH=CD·cos60°=2×$\frac{1}{2}$=1，CH=CD·sin60°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$。
在Rt△AHC中，∠CAD=45°，∴AH=CH=$\sqrt{3}$。
∵AH+HD=AD，∴$\sqrt{3}$+1=x，即AD=1+$\sqrt{3}$。

16. (★★★)四边形ABCD为平行四边形,∠BAD的平分线AE交CD于点F,交BC的延长线于点E.
(1)求证:BE=CD;
(2)连接BF,AC,DE,当BF⊥AE时,求证:四边形ACED是平行四边形.

(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB=CD，AD//BC。
∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE。
∵AD//BC，∴∠DAE=∠AEB。
∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE。
∵AB=CD，∴BE=CD。
(2)证明：∵AB=BE，BF⊥AE，∴AF=EF（等腰三角形三线合一）。
∵AD//BC，∴∠DAF=∠CEF，∠ADF=∠ECF。
在△AFD和△EFC中，
$\{\begin{array}{l} ∠DAF=∠CEF \\ ∠ADF=∠ECF \\ AF=EF\end{array} $
∴△AFD≌△EFC（AAS），∴AD=CE。
∵AD//CE，∴四边形ACED是平行四边形。