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11. ($★$)一个数的平方根是$\pm8$，则这个数的立方根是。
答案
∵一个数的平方根是$\pm8$，
∴这个数为$(\pm8)^{2} = 64$，
$64$的立方根为$\sqrt[3]{64} = 4$，
故答案为$4$。
∴这个数为$(\pm8)^{2} = 64$，
$64$的立方根为$\sqrt[3]{64} = 4$，
故答案为$4$。
12. ($★$)一个数的立方根等于它本身，则这个数是。
答案
$-1$，$0$，$1$
解析
设这个数为$x$，根据题意可得$\sqrt[3]{x}=x$。
两边同时立方，得$x = x^3$，即$x^3 - x = 0$，$x(x^2 - 1) = 0$，$x(x - 1)(x + 1) = 0$。
解得$x = 0$或$x = 1$或$x = -1$。
经检验，$0$的立方根是$0$，$1$的立方根是$1$，$-1$的立方根是$-1$，均符合题意。
两边同时立方，得$x = x^3$，即$x^3 - x = 0$，$x(x^2 - 1) = 0$，$x(x - 1)(x + 1) = 0$。
解得$x = 0$或$x = 1$或$x = -1$。
经检验，$0$的立方根是$0$，$1$的立方根是$1$，$-1$的立方根是$-1$，均符合题意。
13. ($★$)如果一个正方体的体积是$125\mathrm{cm}^{3}$，那么这个正方体的棱长为$\mathrm{cm}$；如果一个正方体的体积是$10\mathrm{cm}^{3}$，那么这个正方体的棱长为$\mathrm{cm}$。
答案
设正方体的棱长为 $a$ cm，则正方体的体积为 $a^3$ $\mathrm{cm}^3$。
对于体积为 $125\mathrm{cm}^3$ 的正方体，有：
$a^3 = 125$，
解得$a = \sqrt[3]{125} = 5$，
对于体积为 $10 \mathrm{cm}^3$ 的正方体，有：
$a^3 = 10$，
解得$a = \sqrt[3]{10}$。
故答案为：$5$；$\sqrt[3]{10}$。
对于体积为 $125\mathrm{cm}^3$ 的正方体，有：
$a^3 = 125$，
解得$a = \sqrt[3]{125} = 5$，
对于体积为 $10 \mathrm{cm}^3$ 的正方体，有：
$a^3 = 10$，
解得$a = \sqrt[3]{10}$。
故答案为：$5$；$\sqrt[3]{10}$。
14. ($★★$)求下列各式中$x$的值：
(1)$x^{3}=-0.125$；
(2)$x^{3}+3=-\dfrac{3}{8}$；
(3)$(x-1)^{3}=64$；
(4)$3(x-1)^{3}+81=0$。
(1)$x^{3}=-0.125$；
(2)$x^{3}+3=-\dfrac{3}{8}$；
(3)$(x-1)^{3}=64$；
(4)$3(x-1)^{3}+81=0$。
答案
(1)
方程 $x^3 = -0.125$，
直接应用立方根的定义，得：
$x = \sqrt[3]{-0.125} = -0.5$
(2)
方程 $x^3 + 3 = -\frac{3}{8}$，
移项，得：
$x^3 = -\frac{3}{8} - 3 = -\frac{3}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{27}{8}$
再应用立方根的定义，得：
$x = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}$
(3)
方程 $(x - 1)^3 = 64$，
直接应用立方根的定义，得：
$x - 1 = \sqrt[3]{64} = 4$
解得：
$x = 5$
(4)
方程 $3(x - 1)^3 + 81 = 0$，
移项并化简，得：
$3(x - 1)^3 = -81$
$(x - 1)^3 = -27$
直接应用立方根的定义，得：
$x - 1 = \sqrt[3]{-27} = -3$
解得：
$x = -2$
方程 $x^3 = -0.125$，
直接应用立方根的定义，得：
$x = \sqrt[3]{-0.125} = -0.5$
(2)
方程 $x^3 + 3 = -\frac{3}{8}$，
移项，得：
$x^3 = -\frac{3}{8} - 3 = -\frac{3}{8} - \frac{24}{8} = -\frac{27}{8}$
再应用立方根的定义，得：
$x = \sqrt[3]{-\frac{27}{8}} = -\frac{3}{2}$
(3)
方程 $(x - 1)^3 = 64$，
直接应用立方根的定义，得：
$x - 1 = \sqrt[3]{64} = 4$
解得：
$x = 5$
(4)
方程 $3(x - 1)^3 + 81 = 0$，
移项并化简，得：
$3(x - 1)^3 = -81$
$(x - 1)^3 = -27$
直接应用立方根的定义，得：
$x - 1 = \sqrt[3]{-27} = -3$
解得：
$x = -2$
15. ($★★$)已知$\sqrt{x - 2026}+(y + 2025)^{2}+|z + 9|=0$，求$x + y + z$的立方根。
答案
$\because \sqrt{x - 2026} ≥ 0$，$(y + 2025)^2 ≥ 0$，$|z + 9| ≥ 0$，
且 $\sqrt{x - 2026} + (y + 2025)^2 + |z + 9| = 0$，
$\therefore \sqrt{x - 2026} = 0$，即 $x - 2026 = 0$，解得 $x = 2026$；
$(y + 2025)^2 = 0$，即 $y + 2025 = 0$，解得 $y = -2025$；
$|z + 9| = 0$，即 $z + 9 = 0$，解得 $z = -9$。
$\therefore x + y + z = 2026 - 2025 - 9 = -8$，
$\sqrt[3]{x + y + z} = \sqrt[3]{-8} = -2$。
且 $\sqrt{x - 2026} + (y + 2025)^2 + |z + 9| = 0$，
$\therefore \sqrt{x - 2026} = 0$，即 $x - 2026 = 0$，解得 $x = 2026$；
$(y + 2025)^2 = 0$，即 $y + 2025 = 0$，解得 $y = -2025$；
$|z + 9| = 0$，即 $z + 9 = 0$，解得 $z = -9$。
$\therefore x + y + z = 2026 - 2025 - 9 = -8$，
$\sqrt[3]{x + y + z} = \sqrt[3]{-8} = -2$。
16. ($★★$)已知一个正数的两个平方根分别为$3 - a$和$2a + 7$。
(1)求$a$的值，并求这个数。
(2)求$36 - a^{2}$的立方根。
(1)求$a$的值，并求这个数。
(2)求$36 - a^{2}$的立方根。
答案
（1）
因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以$3 - a+2a + 7 = 0$，
$3-a+2a+7=0$，
$a+10=0$，
解得$a = - 10$。
$3 - a=3-(-10)=13$，
则这个正数为$13^{2}=169$。
（2）
当$a = - 10$时，$36 - a^{2}=36-(-10)^{2}=36 - 100=-64$。
因为$( - 4)^{3}=-64$，所以$36 - a^{2}$的立方根为$-4$。
因为一个正数的两个平方根互为相反数，所以$3 - a+2a + 7 = 0$，
$3-a+2a+7=0$，
$a+10=0$，
解得$a = - 10$。
$3 - a=3-(-10)=13$，
则这个正数为$13^{2}=169$。
（2）
当$a = - 10$时，$36 - a^{2}=36-(-10)^{2}=36 - 100=-64$。
因为$( - 4)^{3}=-64$，所以$36 - a^{2}$的立方根为$-4$。
17. ($★★$)为了生产某城市雕塑，需要把平行于底面的截面面积为$56\mathrm{cm}^{2}$、高为$32\mathrm{cm}$的长方体钢体，铸成两个正方体，其中大正方体的棱长是小正方体的$3$倍。求这两个正方体的棱长。
答案
设小正方体的棱长为$x\ \mathrm{cm}$，则大正方体的棱长为$3x\ \mathrm{cm}$。
长方体体积为：$56×32 = 1792\ \mathrm{cm}^3$。
两个正方体体积之和等于长方体体积，可得方程：
$x^3+(3x)^3=1792$
$x^3 + 27x^3=1792$
$28x^3=1792$
$x^3=64$
$x=\sqrt[3]{64}=4$
大正方体棱长为：$3x=3×4=12\ \mathrm{cm}$。
小正方体棱长为$4\ \mathrm{cm}$，大正方体棱长为$12\ \mathrm{cm}$。
长方体体积为：$56×32 = 1792\ \mathrm{cm}^3$。
两个正方体体积之和等于长方体体积，可得方程：
$x^3+(3x)^3=1792$
$x^3 + 27x^3=1792$
$28x^3=1792$
$x^3=64$
$x=\sqrt[3]{64}=4$
大正方体棱长为：$3x=3×4=12\ \mathrm{cm}$。
小正方体棱长为$4\ \mathrm{cm}$，大正方体棱长为$12\ \mathrm{cm}$。
18. ($★★$)已知$a$是$64$的立方根，$2b - 3$是$a$的平方根，则$\dfrac{11}{4}a - 4b$的算术平方根为。
答案
解：因为$a$是$64$的立方根，
所以$a = \sqrt[3]{64} = 4$，
因为$2b - 3$是$a$的平方根，
所以$2b - 3 = \pm \sqrt{4} = \pm 2$，
当$2b - 3 = 2$时，$b = \frac{5}{2}$，
当$2b - 3 = -2$时，$b = \frac{1}{2}$，
当$a = 4$，$b = \frac{5}{2}$时，
$\frac{11}{4}a - 4b = \frac{11}{4} × 4 - 4 × \frac{5}{2} = 11 - 10 = 1$，
算术平方根为$1$，
当$a = 4$，$b = \frac{1}{2}$时，
$\frac{11}{4}a - 4b = \frac{11}{4} × 4 - 4 × \frac{1}{2} = 11 - 2 = 9$，
算术平方根为$3$，
综上所述，$\frac{11}{4}a - 4b$的算术平方根为$1$或$3$。
所以$a = \sqrt[3]{64} = 4$，
因为$2b - 3$是$a$的平方根，
所以$2b - 3 = \pm \sqrt{4} = \pm 2$，
当$2b - 3 = 2$时，$b = \frac{5}{2}$，
当$2b - 3 = -2$时，$b = \frac{1}{2}$，
当$a = 4$，$b = \frac{5}{2}$时，
$\frac{11}{4}a - 4b = \frac{11}{4} × 4 - 4 × \frac{5}{2} = 11 - 10 = 1$，
算术平方根为$1$，
当$a = 4$，$b = \frac{1}{2}$时，
$\frac{11}{4}a - 4b = \frac{11}{4} × 4 - 4 × \frac{1}{2} = 11 - 2 = 9$，
算术平方根为$3$，
综上所述，$\frac{11}{4}a - 4b$的算术平方根为$1$或$3$。
19. ($★★★$)已知$\sqrt[3]{x - 1}=x - 1$，则$x^{2} - 1$的值为 【 】
A.$0$和$1$
B.$0$和$2$
C.$0$，$-1$或$3$
D.$0$或$\pm1$
A.$0$和$1$
B.$0$和$2$
C.$0$，$-1$或$3$
D.$0$或$\pm1$
答案
C
解析
根据题意，立方根等于其本身的数满足 $\sqrt[3]{a} = a$，即 $a^3 = a$。
因此由 $\sqrt[3]{x - 1} = x - 1$ 可得：
$x - 1 = (x - 1)^3$$ 移项并提取公因式： $(x - 1)^3 - (x - 1) = 0
$(x - 1)[(x - 1)^2 - 1] = 0$$ 进一步分解： $(x - 1)(x^2 - 2x + 1 - 1) = 0
$(x - 1)(x^2 - 2x) = 0$$ $x(x - 1)(x - 2) = 0
解得 $x = 0$，$x = 1$ 或 $x = 2$。
对应 $x^2 - 1$ 的值分别为：
$x = 0$ 时，$0^2 - 1 = -1$；
$x = 1$ 时，$1^2 - 1 = 0$；
$x = 2$ 时，$2^2 - 1 = 3$。
故 $x^2 - 1$ 的可能值为 $0$，$-1$ 或 $3$，对应选项 C。
因此由 $\sqrt[3]{x - 1} = x - 1$ 可得：
$x - 1 = (x - 1)^3$$ 移项并提取公因式： $(x - 1)^3 - (x - 1) = 0
$(x - 1)[(x - 1)^2 - 1] = 0$$ 进一步分解： $(x - 1)(x^2 - 2x + 1 - 1) = 0
$(x - 1)(x^2 - 2x) = 0$$ $x(x - 1)(x - 2) = 0
解得 $x = 0$，$x = 1$ 或 $x = 2$。
对应 $x^2 - 1$ 的值分别为：
$x = 0$ 时，$0^2 - 1 = -1$；
$x = 1$ 时，$1^2 - 1 = 0$；
$x = 2$ 时，$2^2 - 1 = 3$。
故 $x^2 - 1$ 的可能值为 $0$，$-1$ 或 $3$，对应选项 C。
