1. ($★$)$2^{3}=$，$(-2)^{3}=$。

8；-8

2. ($★$)一般地，如果一个数$x$的立方等于$a$，即$x^{3}=a$，那么这个数$x$叫作$a$的或。正数的立方根是，负数的立方根是，$0$的立方根是。一个数$a$的立方根用符号表示，读作。

立方根；三次方根；正数；负数；0；$\sqrt[3]{a}$；三次根号a

3. ($★$)因为$(\quad)^{3}=27$，所以$27$的立方根是，即$\sqrt[3]{27}=$。

因为 $3^{3} = 3 × 3 × 3 = 27$，
所以$27$的立方根是$3$，
即$\sqrt[3]{27} = 3$，
故答案为$3$；$3$。

4. ($★$)下列说法错误的是 【 】

A.因为$5^{3}=125$，所以$125$的立方根是$5$
B.因为$(-\dfrac{1}{3})^{3}=-\dfrac{1}{27}$，所以$-\dfrac{1}{3}$是$-\dfrac{1}{27}$的立方根
C.$\sqrt[3]{-4}$的根指数是$3$，被开方数是$-4$
D.$2$的立方根记作$\pm\sqrt[3]{2}$

D

立方根的定义是若$x^{3}=a$，那么$x$是$a$的立方根，一个数的立方根用符号$\sqrt[3]{a}$表示，其中根指数是$3$，被开方数是$a$，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，$a$的立方根表示为$\sqrt[3]{a}$。
选项A，因为$5^{3}=125$，根据立方根的定义，$125$的立方根是$5$，该说法正确。
选项B，因为$(-\frac{1}{3})^{3}=-\frac{1}{27}$，根据立方根的定义，$-\frac{1}{3}$是$-\frac{1}{27}$的立方根，该说法正确。
选项C，根据立方根的表示方法，$\sqrt[3]{-4}$的根指数是$3$，被开方数是$-4$，该说法正确。
选项D，$2$的立方根应该记作$\sqrt[3]{2}$，而不是$\pm\sqrt[3]{2}$，该说法错误。

5. ($★$)下列说法正确的是 【 】

A.$-4$没有立方根
B.$1$的立方根是$\pm1$
C.$\dfrac{1}{36}$的立方根是$\dfrac{1}{6}$
D.$-5$的立方根是$\sqrt[3]{-5}$

D

A选项，任何实数都有立方根，所以-4有立方根，A错；
B选项，$1$的立方根是$1$，不是$\pm1$，因为$(-1)^3=-1≠1$，所以B错；
C选项，因为$(\frac{1}{6})^3=\frac{1}{216}≠\frac{1}{36}$，所以$\frac{1}{36}$的立方根不是$\frac{1}{6}$，C错；
D选项，$-5$的立方根是$\sqrt[3]{-5}$，符合立方根的定义，D正确。

6. ($★$)$\sqrt{64}$的立方根是。

首先，我们计算$\sqrt{64}$：
$\sqrt{64} = 8$，
接着，我们要求出8的立方根，根据立方根的定义，我们需要找到一个数$a$，使得$a^3 = 8$，
显然，这个数是2，因为$2^3 = 8$，
所以，$\sqrt{64}$的立方根是2。
故答案为：2。

7. ($★$)下列计算错误的是 【 】

A.$-\sqrt[3]{-\dfrac{8}{125}}=-\dfrac{2}{5}$
B.$\sqrt[3]{0.125}=0.5$
C.$\sqrt[3]{3\dfrac{3}{8}}=1\dfrac{1}{2}$
D.$\sqrt[3]{-\dfrac{27}{64}}=-\dfrac{3}{4}$

A

选项A中，根据立方根的性质，$-\sqrt[3]{-\frac{8}{125}}$，因为$\sqrt[3]{-\frac{8}{125}}=-\frac{2}{5}$，所以$-\sqrt[3]{-\frac{8}{125}} = -(-\frac{2}{5})=\frac{2}{5}$，而选项中$-\sqrt[3]{-\frac{8}{125}}=-\frac{2}{5}$，所以A计算错误。
选项B中，因为$0.5^3 = 0.125$，所以$\sqrt[3]{0.125}=0.5$，B计算正确。
选项C中，$3\frac{3}{8}=\frac{27}{8}$，因为$(1\frac{1}{2})^3=\frac{27}{8}$，所以$\sqrt[3]{3\frac{3}{8}}=1\frac{1}{2}$，C计算正确。
选项D中，因为$(-\frac{3}{4})^3=-\frac{27}{64}$，所以$\sqrt[3]{-\frac{27}{64}}=-\frac{3}{4}$，D计算正确。

8. ($★$)$-0.512$的立方根是，$-\sqrt[3]{-\dfrac{1}{216}}=$。

第一问：
设$x$为$-0.512$的立方根，则有$x^3 = -0.512$。
因为$(-0.8)^3 = -0.512$，
所以，$-0.512$的立方根是$-0.8$。
第二问：
因为$(\frac{1}{6})^3 = \frac{1}{216}$，
所以$\sqrt[3]{-\frac{1}{216}} = -\frac{1}{6},$
则$-\sqrt[3]{-\frac{1}{216}} = -(-\frac{1}{6}) = \frac{1}{6}$。
答案为：$-0.8$；$\frac{1}{6}$。

9. ($★$)求下列各数的立方根：
(1)$729$；
(2)$0.343$；
(3)$-\dfrac{8}{125}$；
(4)$-1\dfrac{61}{64}$；
(5)$4+\dfrac{17}{27}$。

(1)设$x$为729的立方根，即$x^3 = 729$，
因为$9^3 = 729$，
所以$\sqrt[3]{729} = 9$。
(2)设$x$为$0.343$的立方根，即$x^3 = 0.343$，
因为$0.7^3 = 0.343$，
所以$\sqrt[3]{0.343} = 0.7$。
(3)设$x$为$-\frac{8}{125}$的立方根，即$x^3 = -\frac{8}{125}$，
因为$(-\frac{2}{5})^3 = -\frac{8}{125}$，
所以$\sqrt[3]{-\frac{8}{125}} = -\frac{2}{5}$。
(4)首先将混合数转为真分数：$-1\frac{61}{64} = -\frac{125}{64}$，
设$x$为$-\frac{125}{64}$的立方根，即$x^3 = -\frac{125}{64}$，
因为$(-\frac{5}{4})^3 = -\frac{125}{64}$，
所以$\sqrt[3]{-1\frac{61}{64}} = -\frac{5}{4}$。
(5)首先将表达式转为真分数：$4 + \frac{17}{27} = \frac{125}{27}$，
设$x$为$\frac{125}{27}$的立方根，即$x^3 = \frac{125}{27}$，
因为$(\frac{5}{3})^3 = \frac{125}{27}$，
所以$\sqrt[3]{4+\frac{17}{27}} = \frac{5}{3}$。

10. ($★$)下列命题是假命题的是 【 】

A.$9$的算术平方根是$3$
B.$\sqrt{16}$的平方根是$\pm2$
C.$64$的立方根是$\pm4$
D.$(-5)^{3}$的立方根是$-5$

C

A. $9$的算术平方根是$3$，该命题是真命题，不符合题意；
B. $\sqrt{16}=4$，$4$的平方根是$\pm2$，该命题是真命题，不符合题意；
C. $64$的立方根是$\sqrt[3]{64} =4$，而不是$\pm4$，所以该命题是假命题，符合题意；
D. $(-5)^{3}=-125$，$-125$的立方根是$-5$，该命题是真命题，不符合题意。