登录
1. ($★$)下列结论正确的是 【 】
A.$64$的立方根是$\pm4$
B.$-\dfrac{1}{9}$没有立方根
C.若$\sqrt{a}=\sqrt[3]{a}$，则$a = 1$
D.$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}$
A.$64$的立方根是$\pm4$
B.$-\dfrac{1}{9}$没有立方根
C.若$\sqrt{a}=\sqrt[3]{a}$，则$a = 1$
D.$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}$
答案
D
解析
A. $64$的立方根是$4$，而不是$\pm4$，因为$4^3 = 64$，而$(-4)^3 = -64$，所以A错误。
B. 任何实数都有立方根，$-\dfrac{1}{9}$的立方根是$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{9}}$，所以B错误。
C. 若$\sqrt{a} = \sqrt[3]{a}$，则$a$可以是$0$或$1$，因为$\sqrt{0} = \sqrt[3]{0} = 0$，$\sqrt{1} = \sqrt[3]{1} = 1$，所以C错误。
D. $\sqrt[3]{-27} = -3$，$-\sqrt[3]{27} = -3$，两者相等，所以D正确。
B. 任何实数都有立方根，$-\dfrac{1}{9}$的立方根是$\sqrt[3]{-\dfrac{1}{9}}$，所以B错误。
C. 若$\sqrt{a} = \sqrt[3]{a}$，则$a$可以是$0$或$1$，因为$\sqrt{0} = \sqrt[3]{0} = 0$，$\sqrt{1} = \sqrt[3]{1} = 1$，所以C错误。
D. $\sqrt[3]{-27} = -3$，$-\sqrt[3]{27} = -3$，两者相等，所以D正确。
2. ($★$)比较大小(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)：$\sqrt[3]{-a}\_\_\_\_\_\_-\sqrt[3]{a}$。
答案
设$x = \sqrt[3]{-a}$，则$x^3=-a$。
设$y = -\sqrt[3]{a}$，则$y=-\sqrt[3]{a}$，两边立方得$y^3=(-\sqrt[3]{a})^3=-(\sqrt[3]{a})^3=-a$。
因为$x^3 = y^3$，且立方根具有唯一性，所以$x=y$，即$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。
$=$
设$y = -\sqrt[3]{a}$，则$y=-\sqrt[3]{a}$，两边立方得$y^3=(-\sqrt[3]{a})^3=-(\sqrt[3]{a})^3=-a$。
因为$x^3 = y^3$，且立方根具有唯一性，所以$x=y$，即$\sqrt[3]{-a}=-\sqrt[3]{a}$。
$=$
3. ($★$)$36$的平方根是，$\sqrt[3]{-64}$的立方根是。
答案
±6；-2
4. ($★$)比较大小(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)：$\sqrt[3]{28}\_\_\_\_\_\_3$。
答案
因为 $3^3 = 27$，而 $28 ＞ 27$，所以 $\sqrt[3]{28} ＞ \sqrt[3]{27}$，即 $\sqrt[3]{28} ＞ 3$。
$＞$
$＞$
5. ($★$)下列计算正确的是 【 】
A.$\sqrt[3]{(-2)^{3}}=2$
B.$\sqrt[3]{-0.064}=-0.4$
C.$(\sqrt[3]{-21})^{3}=21$
D.$-\sqrt[3]{8\dfrac{1}{8}}=-2$
A.$\sqrt[3]{(-2)^{3}}=2$
B.$\sqrt[3]{-0.064}=-0.4$
C.$(\sqrt[3]{-21})^{3}=21$
D.$-\sqrt[3]{8\dfrac{1}{8}}=-2$
答案
B
解析
A. 根据立方根的定义，$\sqrt[3]{(-2)^{3}} = \sqrt[3]{-8} = -2$，与选项A中的2不符，故A错误；
B. 计算$\sqrt[3]{-0.064}$，由于$(-0.4)^{3} = -0.064$，所以$\sqrt[3]{-0.064} = -0.4$，与选项B一致，故B正确；
C. 根据立方根的定义，$(\sqrt[3]{-21})^{3} = -21$，与选项C中的21不符，故C错误；
D. 计算$-\sqrt[3]{8\frac{1}{8}}$，首先转换混合数为真分数，$8\frac{1}{8} = \frac{65}{8}$，然后求立方根，$\sqrt[3]{\frac{65}{8}} ≠ 2$（实际上，$\sqrt[3]{\frac{65}{8}}$的值略大于2但小于$\sqrt[3]{64/8}= \sqrt[3]{8}=2$的稍大值，且不为整数），所以$-\sqrt[3]{8\frac{1}{8}} ≠ -2$，故D错误。
B. 计算$\sqrt[3]{-0.064}$，由于$(-0.4)^{3} = -0.064$，所以$\sqrt[3]{-0.064} = -0.4$，与选项B一致，故B正确；
C. 根据立方根的定义，$(\sqrt[3]{-21})^{3} = -21$，与选项C中的21不符，故C错误；
D. 计算$-\sqrt[3]{8\frac{1}{8}}$，首先转换混合数为真分数，$8\frac{1}{8} = \frac{65}{8}$，然后求立方根，$\sqrt[3]{\frac{65}{8}} ≠ 2$（实际上，$\sqrt[3]{\frac{65}{8}}$的值略大于2但小于$\sqrt[3]{64/8}= \sqrt[3]{8}=2$的稍大值，且不为整数），所以$-\sqrt[3]{8\frac{1}{8}} ≠ -2$，故D错误。
6. ($★$)求下列各式的值：
(1)$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}}$；
(2)$-\sqrt[3]{-1\dfrac{91}{125}}$；
(3)$-\sqrt[3]{-0.064}$；
(4)$-\sqrt[3]{5-\dfrac{10}{27}}$；
(5)$\sqrt[3]{(-2)^{3}+3^{2}}$；
(6)$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{125}}+\sqrt{1\dfrac{11}{25}}-\sqrt{16}$。
(1)$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}}$；
(2)$-\sqrt[3]{-1\dfrac{91}{125}}$；
(3)$-\sqrt[3]{-0.064}$；
(4)$-\sqrt[3]{5-\dfrac{10}{27}}$；
(5)$\sqrt[3]{(-2)^{3}+3^{2}}$；
(6)$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{125}}+\sqrt{1\dfrac{11}{25}}-\sqrt{16}$。
答案
(1)
$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}} = -\dfrac{4}{3}$。
(2)
$-\sqrt[3]{-1\dfrac{91}{125}} = -\sqrt[3]{-\dfrac{216}{125}} = -(-\dfrac{6}{5}) = \dfrac{6}{5}$。
(3)
$-\sqrt[3]{-0.064} = -(-0.4) = 0.4$。
(4)
$-\sqrt[3]{5 - \dfrac{10}{27}} = -\sqrt[3]{\dfrac{135}{27} - \dfrac{10}{27}} = -\sqrt[3]{\dfrac{125}{27}} = -\dfrac{5}{3}$。
(5)
$\sqrt[3]{(-2)^3 + 3^2} = \sqrt[3]{-8 + 9} = \sqrt[3]{1} = 1$。
(6)
$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{125}} + \sqrt{1\dfrac{11}{25}} - \sqrt{16} = -\dfrac{4}{5} + \sqrt{\dfrac{36}{25}} - 4 = -\dfrac{4}{5} + \dfrac{6}{5} - 4 = \dfrac{2}{5} - 4 = -\dfrac{18}{5} = -3.2$（或写为$-\dfrac{18}{5}$）。
$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{27}} = -\dfrac{4}{3}$。
(2)
$-\sqrt[3]{-1\dfrac{91}{125}} = -\sqrt[3]{-\dfrac{216}{125}} = -(-\dfrac{6}{5}) = \dfrac{6}{5}$。
(3)
$-\sqrt[3]{-0.064} = -(-0.4) = 0.4$。
(4)
$-\sqrt[3]{5 - \dfrac{10}{27}} = -\sqrt[3]{\dfrac{135}{27} - \dfrac{10}{27}} = -\sqrt[3]{\dfrac{125}{27}} = -\dfrac{5}{3}$。
(5)
$\sqrt[3]{(-2)^3 + 3^2} = \sqrt[3]{-8 + 9} = \sqrt[3]{1} = 1$。
(6)
$\sqrt[3]{-\dfrac{64}{125}} + \sqrt{1\dfrac{11}{25}} - \sqrt{16} = -\dfrac{4}{5} + \sqrt{\dfrac{36}{25}} - 4 = -\dfrac{4}{5} + \dfrac{6}{5} - 4 = \dfrac{2}{5} - 4 = -\dfrac{18}{5} = -3.2$（或写为$-\dfrac{18}{5}$）。
7. ($★$)已知$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 7}$互为相反数，则$x=$。
答案
6
解析
因为$\sqrt[3]{1 - 2x}$与$\sqrt[3]{3x - 7}$互为相反数，所以$\sqrt[3]{1 - 2x}=-\sqrt[3]{3x - 7}$。
两边同时立方，得$1 - 2x=-(3x - 7)$。
去括号，得$1 - 2x=-3x + 7$。
移项，得$-2x + 3x=7 - 1$。
合并同类项，得$x=6$。
两边同时立方，得$1 - 2x=-(3x - 7)$。
去括号，得$1 - 2x=-3x + 7$。
移项，得$-2x + 3x=7 - 1$。
合并同类项，得$x=6$。
8. ($★★$)比较大小(填“$＞$”或“$＜$”)：
(1)$-\sqrt[3]{65}\_\_\_\_\_\_-4$；
(2)$\sqrt{26}\_\_\_\_\_\_\sqrt[3]{123}$。
(1)$-\sqrt[3]{65}\_\_\_\_\_\_-4$；
(2)$\sqrt{26}\_\_\_\_\_\_\sqrt[3]{123}$。
答案
(1) 因为 $4^3 = 64$，所以 $\sqrt[3]{64} = 4$。由于 $65 ＞ 64$，则 $\sqrt[3]{65} ＞ \sqrt[3]{64} = 4$，两边同乘$-1$得$-\sqrt[3]{65} ＜ -4$。
(2) 计算 $(\sqrt{26})^6 = (26^3) = 17576$，$(\sqrt[3]{123})^6 = (123^2) = 15129$。因为 $17576 ＞ 15129$，所以 $\sqrt{26} ＞ \sqrt[3]{123}$。
(1) $＜$；(2) $＞$
(2) 计算 $(\sqrt{26})^6 = (26^3) = 17576$，$(\sqrt[3]{123})^6 = (123^2) = 15129$。因为 $17576 ＞ 15129$，所以 $\sqrt{26} ＞ \sqrt[3]{123}$。
(1) $＜$；(2) $＞$
9. ($★★$)利用计算器计算，将结果填入表中：
(1)想一想：表中数$a$的小数点的移动与它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点的移动之间有何规律？
(2)根据你发现的规律解答：
①已知$\sqrt[3]{0.214}\approx0.5981$，$\sqrt[3]{2.14}\approx1.289$，$\sqrt[3]{21.4}\approx2.776$，则$\sqrt[3]{2140}$介于哪两个相邻整数之间？
②已知$\sqrt[3]{0.001843}\approx0.1226$，则$\sqrt[3]{1843}\approx$。
(3)用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是$1.843\mathrm{m}^{3}$，问：需要多大面积的铁皮？(结果精确到$0.01\mathrm{m}^{2}$，接缝处忽略不计)
(1)想一想：表中数$a$的小数点的移动与它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点的移动之间有何规律？
(2)根据你发现的规律解答：
①已知$\sqrt[3]{0.214}\approx0.5981$，$\sqrt[3]{2.14}\approx1.289$，$\sqrt[3]{21.4}\approx2.776$，则$\sqrt[3]{2140}$介于哪两个相邻整数之间？
②已知$\sqrt[3]{0.001843}\approx0.1226$，则$\sqrt[3]{1843}\approx$。
(3)用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是$1.843\mathrm{m}^{3}$，问：需要多大面积的铁皮？(结果精确到$0.01\mathrm{m}^{2}$，接缝处忽略不计)
答案
表格依次为0.06，0.6，60；(1)规律见上；(2)①12和13；②12.26；(3)9.02$\mathrm{m}^2$。
解析
表格填空：0.06；0.6；60
(1)规律：被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点相应地向右（或向左）移动1位。
(2)①
$2140 = 2.14×10^3$，$\sqrt[3]{2140}=\sqrt[3]{2.14×10^3}=\sqrt[3]{2.14}×10\approx1.289×10=12.89$，故介于12和13之间。
②
$1843 = 0.001843×10^6$，$\sqrt[3]{1843}=\sqrt[3]{0.001843×10^6}=\sqrt[3]{0.001843}×10^2\approx0.1226×100=12.26$。
(3)
正方体棱长$=\sqrt[3]{1.843}$，$1.843 = 0.001843×10^3$，$\sqrt[3]{1.843}=\sqrt[3]{0.001843}×10\approx0.1226×10=1.226\,\mathrm{m}$，表面积$=6×(1.226)^2\approx6×1.503=9.02\,\mathrm{m}^2$。
(1)规律：被开方数$a$的小数点每向右（或向左）移动3位，它的立方根$\sqrt[3]{a}$的小数点相应地向右（或向左）移动1位。
(2)①
$2140 = 2.14×10^3$，$\sqrt[3]{2140}=\sqrt[3]{2.14×10^3}=\sqrt[3]{2.14}×10\approx1.289×10=12.89$，故介于12和13之间。
②
$1843 = 0.001843×10^6$，$\sqrt[3]{1843}=\sqrt[3]{0.001843×10^6}=\sqrt[3]{0.001843}×10^2\approx0.1226×100=12.26$。
(3)
正方体棱长$=\sqrt[3]{1.843}$，$1.843 = 0.001843×10^3$，$\sqrt[3]{1.843}=\sqrt[3]{0.001843}×10\approx0.1226×10=1.226\,\mathrm{m}$，表面积$=6×(1.226)^2\approx6×1.503=9.02\,\mathrm{m}^2$。
