1. 三角形三个内角中，锐角最多可以是()

A.0 个
B.1 个
C.2 个
D.3 个

1. D

【分析】
首先，我们需要明确两个关键概念：一是锐角的定义（小于90°的角），二是三角形内角和为180°。解题思路是依次分析每个选项是否符合三角形内角和的要求，找出锐角数量最多的情况：
1. 分析选项A：0个锐角意味着三个角都是钝角或直角，钝角大于90°，三个钝角的和会超过180°，两个直角的和就是180°，第三个角为0°，不符合三角形的定义，所以A错误。
2. 分析选项B：1个锐角，另外两个角为钝角或直角，两个钝角的和已经超过180°，直角加钝角也超过180°，不符合内角和定理，所以B错误。
3. 分析选项C：2个锐角是存在的（比如直角三角形，一个直角90°，两个锐角和为90°），但这不是最多的情况。
4. 分析选项D：3个锐角，比如等边三角形，每个角都是60°，三个角的和为180°，完全符合三角形内角和定理，所以是可行的，且是数量最多的情况。
【解析】
1. 明确概念：锐角是指小于90°的角，三角形内角和为180°。
2. 逐一验证选项：
A选项：0个锐角，即三个角≥90°，则内角和≥270°，远超180°，不符合三角形内角和定理，排除。
B选项：1个锐角，另外两个角≥90°，则内角和≥90°+90°+0°=180°，但此时另外两个角的和≥180°，锐角≤0°，不符合锐角定义，排除。
C选项：2个锐角是合理的（如直角三角形），但不是锐角数量最多的情况。
D选项：3个锐角，例如等边三角形，每个内角为60°，60°×3=180°，符合三角形内角和定理，成立。
因此，三角形三个内角中锐角最多可以是3个。
【答案】
D
【知识点】
三角形内角和定理、锐角的定义
【点评】
本题主要考查对三角形内角和定理及锐角概念的理解，解题的关键是结合内角和定理逐一验证选项，容易出错的点是误以为三角形最多只能有2个锐角，需要牢记等边三角形这类特殊三角形的内角情况。
【难度系数】
0.9

2. 一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形?
(1)$30°$和$50°$()；
(2)$70°$和$70°$()；
(3)$60°$和$30°$()；
(4)$35°$和$45°$().

2. (1)钝角三角形
(2)锐角三角形
(3)直角三角形
(4)钝角三角形

【分析】
解题思路：首先明确三角形内角和为180°，对于每个小题，先通过内角和计算出第三个内角的度数，再根据三角形按角分类的标准判断类型：①三个角均为锐角（小于90°）的是锐角三角形；②有一个角为直角（等于90°）的是直角三角形；③有一个角为钝角（大于90°）的是钝角三角形。具体步骤为：先算第三个角，再看这个角属于哪种角，进而确定三角形类型。
【解析】
(1) 计算第三个内角的度数：$180° - 30° - 50° = 100°$，因为$100° ＞ 90°$，是钝角，所以该三角形是钝角三角形；
(2) 计算第三个内角的度数：$180° - 70° - 70° = 40°$，三个内角$70°$、$70°$、$40°$均为锐角，所以该三角形是锐角三角形；
(3) 计算第三个内角的度数：$180° - 60° - 30° = 90°$，因为$90°$是直角，所以该三角形是直角三角形；
(4) 计算第三个内角的度数：$180° - 35° - 45° = 100°$，因为$100° ＞ 90°$，是钝角，所以该三角形是钝角三角形。
【答案】
(1)钝角三角形；(2)锐角三角形；(3)直角三角形；(4)钝角三角形
【知识点】
三角形内角和定理、三角形按角分类
【点评】
本题考查三角形内角和定理的应用与三角形的分类，属于基础题型，要求学生熟练掌握三角形内角和为180°，并能根据内角的大小准确判断三角形的类型，侧重对基础知识的巩固与应用。
【难度系数】
0.8

3. 在$△ ABC$中，
(1)$∠ C = 70°$，$∠ A = 50°$，则$∠ B =$度；
(2)$∠ B = 100°$，$∠ A = ∠ C$，则$∠ C =$度；
(3)$2∠ A=∠ B+∠ C$，则$∠ A=$度.

3. (1)60 (2)40 (3)60

【分析】
本题考查三角形内角和定理的应用，解题思路围绕“三角形内角和为180°”展开：
(1) 已知三角形的两个内角，直接用内角和减去这两个角的度数，即可求出第三个角的度数；
(2) 已知一个内角且另外两个内角相等，可设相等的角为未知数，根据内角和定理列方程求解；
(3) 已知∠B+∠C与∠A的数量关系，将∠B+∠C用∠A表示后代入内角和公式，即可求出∠A的度数。
【解析】
(1) 根据三角形内角和定理，△ABC中∠A+∠B+∠C=180°，
已知∠C=70°，∠A=50°，则：
∠B=180°-∠A-∠C=180°-50°-70°=60°；
(2) 设∠C=x，因为∠A=∠C，所以∠A=x，
根据三角形内角和定理：∠A+∠B+∠C=180°，
代入∠B=100°得：x+100°+x=180°，
整理得：2x=80°，解得x=40°，即∠C=40°；
(3) 根据三角形内角和定理，∠A+∠B+∠C=180°，
又已知2∠A=∠B+∠C，将其代入上式得：
∠A+2∠A=180°，即3∠A=180°，
解得∠A=60°。
【答案】
(1)60；(2)40；(3)60
【知识点】
1. 三角形内角和定理
2. 一元一次方程的应用
【点评】
本题是三角形内角和定理的基础题型，包含直接计算、方程求解、整体代入三种常见解题方法，全面考查了对三角形内角和核心知识点的理解与应用，题目难度较低，适合学生巩固基础。
【难度系数】
0.9

4. 在下面空格内分别填入“锐角”“钝角”或“直角”：
(1)在$△ ABC$中，$∠ A = 10°$，$∠ C = 70°$，则$△ ABC$是三角形；
(2)在$△ ABC$中，$∠ A = ∠ B = ∠ C$，则$△ ABC$是三角形；
(3)在$△ ABC$中，$∠ A = \frac{1}{2}∠ B = \frac{1}{3}∠ C$，则$△ ABC$是三角形.

4. (1)钝角 (2)锐角 (3)直角

【分析】
要判断三角形的类型，需先根据三角形内角和定理求出三角形中未知的内角，再根据最大内角的类型来确定三角形是锐角、钝角还是直角三角形。具体思路如下：
1. 第(1)问：已知两个内角的度数，直接用内角和180°减去这两个角的度数，求出第三个角，再看最大角的类型；
2. 第(2)问：三个角相等，用内角和除以3得到每个角的度数，根据角的大小判断；
3. 第(3)问：根据三个角的比例关系设未知数，利用内角和定理列方程求出各角的度数，再判断最大角的类型。
【解析】
(1) 在$△ABC$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 10° - 70° = 100°$
因为$100°$是钝角，所以$△ABC$是钝角三角形。
(2) 在$△ABC$中，$∠A = ∠B = ∠C$，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠A = ∠B = ∠C = 180°÷3 = 60°$
三个角都是锐角，所以$△ABC$是锐角三角形。
(3) 设$∠A = x$，由$∠A = \frac{1}{2}∠B = \frac{1}{3}∠C$可得：$∠B = 2x$，$∠C = 3x$。
根据三角形内角和为$180°$，列方程：
$x + 2x + 3x = 180°$
$6x = 180°$
解得$x = 30°$
则$∠C = 3x = 3×30° = 90°$，所以$△ABC$是直角三角形。
【答案】
(1) 钝角 (2) 锐角 (3) 直角
【知识点】
三角形内角和定理，三角形按角分类
【点评】
本题考查三角形内角和定理的应用以及三角形的分类，解题关键是通过内角和求出三角形的各个内角，再根据最大内角的类型判断三角形的类别，属于基础题型，掌握三角形内角和为180°是解题的核心。
【难度系数】
0.8

5. 已知$△ ABC$中，$∠ A:∠ B:∠ C = 1:3:5$，求$∠ A$、$∠ B$和$∠ C$的度数.它是什么三角形?

5. 解：20°，60°，100°，钝角三角形

【分析】
首先，我们明确三角形内角和为180°是解题的核心依据。题目给出三个角的度数比为1:3:5，我们可以通过设每份角度为未知数，将三个角用含同一未知数的式子表示，再结合内角和定理列方程求解。求出角度后，根据最大角的度数判断三角形类型：若最大角大于90°，则为钝角三角形。
【解析】
设$∠ A = x$，因为$∠ A:∠ B:∠ C = 1:3:5$，所以$∠ B = 3x$，$∠ C = 5x$。
根据三角形内角和定理，三角形内角和为180°，可列方程：
$x + 3x + 5x = 180°$
合并同类项得：$9x = 180°$
解得：$x = 20°$
因此：
$∠ A = 20°$，$∠ B = 3×20° = 60°$，$∠ C = 5×20° = 100°$。
由于$∠ C = 100° ＞ 90°$，所以该三角形是钝角三角形。
【答案】
∠A=20°，∠B=60°，∠C=100°，该三角形是钝角三角形
【知识点】
三角形内角和定理，三角形按角分类，比例分配问题
【点评】
本题是基础几何题，重点考查三角形内角和定理的应用及三角形的分类，通过设未知数结合比例关系建立方程是解题关键，有助于巩固学生对基础几何定理的理解与应用能力。
【难度系数】
0.8

1. 一副三角尺如图摆放(直角顶点$C$重合)，边$AB$与$CE$交于点$F$，$DE// BC$，则$∠ BFC$的度数为()

A.$105°$
B.$100°$
C.$75°$
D.$60°$

1. A

【分析】
首先明确一副三角尺的角度：等腰直角三角尺中∠E=45°，含30°角的三角尺中∠B=30°；接着利用平行线的性质，由DE//BC可得内错角∠ECB=∠E=45°；最后在△BFC中，根据三角形内角和为180°，用180°减去∠B和∠ECB的度数，即可求出∠BFC的度数。
【解析】
由三角尺的性质可知：∠E=45°，∠B=30°。
因为$DE// BC$，根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ ECB=∠ E=45°$。
在$△ BFC$中，根据三角形内角和定理：三角形内角和为$180°$，则
$∠ BFC=180°-∠ B-∠ ECB=180°-30°-45°=105°$。
【答案】
A
【知识点】
平行线的性质，三角形内角和定理，三角尺角度特征
【点评】
本题结合三角尺考查平行线性质与三角形内角和定理的应用，解题关键是熟练掌握平行线的性质及三角尺的角度，准确找到相关角的关系进行计算，属于基础几何题，有助于巩固基础知识点。
【难度系数】
0.7

2. 如图，已知$∠ AON = 40°$，$OA = 6$，$P$是射线$ON$上一动点，当$△ AOP$为直角三角形时，$∠ A$的度数为.

2. 50°或 90°

【分析】
要确定△AOP为直角三角形时∠A的度数，需根据直角三角形的直角顶点位置进行分类讨论：
1. 已知∠AON=40°，因此∠O不可能为直角，只需考虑另外两种情况；
2. 情况一：直角顶点为P，利用三角形内角和定理计算∠A的度数；
3. 情况二：直角顶点为A，此时∠A直接为90°。
【解析】
分两种情况讨论：
① 当$\boldsymbol{∠APO=90°}$时：
在$△ AOP$中，根据三角形内角和为$180°$，已知$∠AON=40°$，$∠APO=90°$，则：
$∠OAP=180°-∠AON-∠APO=180°-40°-90°=50°$；
② 当$\boldsymbol{∠OAP=90°}$时：
此时$△ AOP$的直角顶点为A，$∠A=90°$，符合直角三角形的条件。
综上，$∠A$的度数为$50°$或$90°$。
【答案】
$50°$或$90°$
【知识点】
直角三角形性质、三角形内角和定理、分类讨论思想
【点评】
本题考查直角三角形的相关性质，解题核心是通过分类讨论确定直角顶点的所有可能位置，避免漏解，培养严谨的逻辑思维。
【难度系数】
0.7

3. 一副三角板叠在一起如图放置，最小锐角的顶点好放在等腰直角三角板的斜边$AB$上，$BC$与$DE$交于点$M$，$∠ ADF = 100°$，那么$∠ BMD =$.

3. 85°

【分析】
首先明确两个三角板的固定角度：等腰直角三角板的锐角为45°，含30°的三角板最小锐角为30°。已知∠ADF=100°，先根据平角的定义（平角为180°）求出∠BDM的度数，再利用三角形内角和定理（三角形内角和为180°），结合∠B的度数计算∠BMD的度数。
具体思考步骤：
1. 确定三角板的角度：等腰直角三角板∠B=45°，含30°的三角板∠FDE=30°；
2. 利用平角∠ADB=180°，计算∠BDM=180°-∠ADF-∠FDE；
3. 在△BDM中，根据内角和定理计算∠BMD=180°-∠B-∠BDM。
【解析】
已知∠ADF=100°，含30°的三角板中∠FDE=30°，∠ADB为平角，即∠ADB=180°，则：
$∠ BDM = ∠ ADB - ∠ ADF - ∠ FDE = 180° - 100° - 30° = 50°$
等腰直角三角板中$∠ B=45°$，在$△ BDM$中，根据三角形内角和为$180°$，可得：
$∠ BMD = 180° - ∠ B - ∠ BDM = 180° - 45° - 50° = 85°$
【答案】
85°
【知识点】
平角的定义、三角形内角和定理
【点评】
本题考查三角板角度特征与角度计算的结合应用，解题关键是牢记三角板的固定角度，灵活运用平角和三角形内角和的性质进行推导计算。
【难度系数】
0.6

4. 如图，$DA// BC$，$AB$、$CD$相交于$O$，$∠ AOD = 100°$，$∠ D = 55°$，求$∠ B$的度数为多少?

4. 解：在△AOD 中
因为∠AOD + ∠D + ∠A = 180°
所以∠A = 180° - (∠AOD + ∠D)
= 180° - (100° + 55°)
= 25°
又因为 DA // BC，
所以∠B = ∠A = 25°

【分析】
首先，观察图形可知∠AOD、∠D和∠A是△AOD的三个内角，根据三角形内角和定理可先求出∠A的度数；其次，题目给出$DA// BC$，根据平行线内错角相等的性质，∠B和∠A是内错角，因此∠B=∠A，进而可求出∠B的度数。
【解析】
在△AOD中
因为$∠ AOD + ∠ D + ∠ A = 180°$（三角形内角和为$180°$）
所以$∠ A = 180° - (∠ AOD + ∠ D)$
$= 180° - (100° + 55°)$
$= 25°$
又因为$DA // BC$（已知），
所以$∠ B = ∠ A = 25°$（两直线平行，内错角相等）
【答案】
$∠ B$的度数为$25°$
【知识点】
三角形内角和定理、平行线的性质
【点评】
本题主要考查三角形内角和定理与平行线性质的综合运用，解题关键是先利用三角形内角和求出相关角的度数，再结合平行线性质完成求解，属于基础题型。
【难度系数】
0.8