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1. (★)一组数据 1,3,5,12,3,则该组数据的平均数是，中位数是，众数是。
答案
4.8,3,3
解析
平均数：(1+3+5+12+3)÷5=24÷5=4.8；将数据从小到大排列为1,3,3,5,12，中位数是3；众数是3。
2. (★)一般地，有 n 个数据 $ x_{1},x_{2},···,x_{n} $，用 $ \overline{x} $ 表示它们的平均数。
(1) 我们把叫作 $ x_{i} $ 关于平均数 $ \overline{x} $ 的离差或偏差。
(2) 我们把叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“”。把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“”。
(1) 我们把叫作 $ x_{i} $ 关于平均数 $ \overline{x} $ 的离差或偏差。
(2) 我们把叫作这 n 个数据关于平均数的离差平方和，记作“”。把离差的平方的平均数叫作这组数据的方差，记作“”。
答案
(1)$x_i - \overline{x}$；
(2)$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$，$Q$（离差平方和记法不唯一，按题目暗示形式填），$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$，$s^2$。
(2)$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$，$Q$（离差平方和记法不唯一，按题目暗示形式填），$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2$，$s^2$。
解析
(1) 根据离差的定义，$x_i - \overline{x}$ 表示 $x_i$关于平均数 $\overline{x}$ 的离差。
(2) 根据离差平方和的定义，$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$ 表示 $n$ 个数据关于平均数的离差平方和，记作 $s^2（或Q）$（在此题中记作后面填空内容要求为符号，一般常用$s^2$表示方差相关符号，离差平方和常记为$Q$等情况，根据本题填空需求应填$Q$之类的（题目有特定记作要求按题目暗示），而后面方差记作$s^2$）。而离差的平方的平均数即$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$叫作这组数据的方差，记作$s^2$。
(2) 根据离差平方和的定义，$\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$ 表示 $n$ 个数据关于平均数的离差平方和，记作 $s^2（或Q）$（在此题中记作后面填空内容要求为符号，一般常用$s^2$表示方差相关符号，离差平方和常记为$Q$等情况，根据本题填空需求应填$Q$之类的（题目有特定记作要求按题目暗示），而后面方差记作$s^2$）。而离差的平方的平均数即$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2$叫作这组数据的方差，记作$s^2$。
3. (★)(1) 一组数据的离差和总是，因此平均离差无法刻画一组数据与平均数的差异。
(2) 反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的，是刻画数据离散程度最常用的统计量。方差越大，数据的离散程度越；方差越小，数据的离散程度越。
(2) 反映了每个数据与平均数的平均差异程度，能较好地反映出数据的，是刻画数据离散程度最常用的统计量。方差越大，数据的离散程度越；方差越小，数据的离散程度越。
答案
(1)0；(2)方差；离散程度；大；小
解析
(1)设数据为$x_1,x_2,···,x_n$，平均数为$\bar{x}$，离差和为$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x}) = \sum_{i=1}^{n}x_i - n\bar{x}$，因为$\bar{x}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$，所以$n\bar{x}=\sum_{i=1}^{n}x_i$，离差和为$0$。(2)方差的定义为每个数据与平均数差的平方的平均数，能反映离散程度，方差越大离散程度越大，越小离散程度越小。
4. (★)在计算某组数据的方差时，$ s^{2}=\frac{1}{20}[(x_{1}-30)^{2}+(x_{2}-30)^{2}+···+(x_{n}-30)^{2}] $，数字 20 和 30 分别表示【 】
A.数据的个数、平均数
B.数据的个数、众数
C.数据的众数、平均数
D.数据的中位数、方差
A.数据的个数、平均数
B.数据的个数、众数
C.数据的众数、平均数
D.数据的中位数、方差
答案
A
解析
方差的计算公式是$s^2=\frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$，其中$n$表示数据的个数，$\bar{x}$表示这组数据的平均数。
在$s^{2}=\frac{1}{20}[(x_{1}-30)^{2}+(x_{2}-30)^{2}+···+(x_{n}-30)^{2}]$中，根据方差公式可知$20$是数据的个数$n$，$30$是这组数据的平均数$\bar{x}$。
在$s^{2}=\frac{1}{20}[(x_{1}-30)^{2}+(x_{2}-30)^{2}+···+(x_{n}-30)^{2}]$中，根据方差公式可知$20$是数据的个数$n$，$30$是这组数据的平均数$\bar{x}$。
5. (★)一组数据 2,4,7,5,2 的离差平方和是【 】
A.3.6
B.4
C.18
D.20
A.3.6
B.4
C.18
D.20
答案
C
解析
首先计算这组数据的平均数：(2+4+7+5+2)÷5=20÷5=4；然后计算各数据与平均数的离差：2-4=-2，4-4=0，7-4=3，5-4=1，2-4=-2；接着计算离差平方：(-2)²=4，0²=0，3²=9，1²=1，(-2)²=4；最后求和：4+0+9+1+4=18。
6. (★)淇淇在计算一组数据的离差平方和时，列得没有化简的算式：$ d^{2}=(5-\overline{x})^{2}+(2-\overline{x})^{2}+(5-\overline{x})^{2}+(4-\overline{x})^{2} $。关于这组数据，有下列结论：①平均数是 4；②离差平方和是 1.5；③众数是 5；④这组数据共有 3 个数据。其中不正确的有【 】
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个
答案
B
解析
由离差平方和算式可知数据为5,2,5,4（共4个数据），故④错误；数据总和为5+2+5+4=16，平均数$\overline{x}=16÷4=4$，①正确；5出现2次，众数是5，③正确；离差平方和$d^2=(5-4)^2+(2-4)^2+(5-4)^2+(4-4)^2=1+4+1+0=6$，②错误。不正确的有②④，共2个。
7. (★★)已知一组数据 $ x_{1},x_{2},···,x_{n} $ 的离差平方和为 6，则另一组数据 $ x_{1}+1,x_{2}+1,···,x_{n}+1 $ 的离差平方和为。
答案
6
解析
设原数据的平均数为$\overline{x}$，则新数据的平均数为$\overline{x} + 1$。
原离差平方和为$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 = 6$。
新数据的离差平方和为$\sum_{i=1}^{n}[(x_i + 1) - (\overline{x} + 1)]^2 = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 = 6$。
原离差平方和为$\sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 = 6$。
新数据的离差平方和为$\sum_{i=1}^{n}[(x_i + 1) - (\overline{x} + 1)]^2 = \sum_{i=1}^{n}(x_i - \overline{x})^2 = 6$。
8. (★)从甲、乙、丙、丁四名射击运动员中选一人参加射击比赛，已知他们以往的平均成绩都是 9 环，他们的方差分别是 $ s_{甲}^{2}=0.32 $，$ s_{乙}^{2}=0.27 $，$ s_{丙}^{2}=0.22 $，$ s_{丁}^{2}=0.37 $，则更适合参加比赛的是【 】
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
答案
C
解析
方差是用来衡量一组数据波动大小的指标，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定。已知四人平均成绩相同，比较方差大小，选方差最小者即可。因为 $0.22＜0.27＜0.32＜0.37$，即丙的方差最小，所以丙的成绩最稳定，更适合参加比赛。
