登录
3. 如图，在$ △ ABC $中，$ BE ⊥ AD $于$ E $，$ CF ⊥ AD $于$ F $，且$ BE = CF $，那么$ BD $与$ DC $相等吗？你能说明理由吗？
答案
3. 解:因为 BE⊥AD,CF⊥AD(已知)
所以∠BED=∠CFD=90°(垂直的定义)
又因为∠BDE=∠CDF(对顶角相等)
在△BDE 和△CDF 中
{∠BDE=∠CDF(已证)
∠BED=∠CFD(已证)
BE=CF(已知)
所以△BDE≌△CDF(AAS)
又因为△BDE≌△CDF(已证)
所以 BD=DC(全等三角形对应边相等)
所以∠BED=∠CFD=90°(垂直的定义)
又因为∠BDE=∠CDF(对顶角相等)
在△BDE 和△CDF 中
{∠BDE=∠CDF(已证)
∠BED=∠CFD(已证)
BE=CF(已知)
所以△BDE≌△CDF(AAS)
又因为△BDE≌△CDF(已证)
所以 BD=DC(全等三角形对应边相等)
解析
【分析】
要判断BD与DC是否相等，可通过证明△BDE和△CDF全等，再利用全等三角形对应边相等得出结论。首先根据垂直的定义得到两个直角相等，再结合对顶角相等，加上已知的BE=CF，满足AAS的全等判定条件，从而证明两个三角形全等，进而得到BD=DC。
【解析】
解：因为$ BE⊥AD $，$ CF⊥AD $（已知）
所以$ ∠BED=∠CFD=90° $（垂直的定义）
又因为$ ∠BDE=∠CDF $（对顶角相等）
在$ △BDE $和$ △CDF $中
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF（已证）\\∠BED=∠CFD（已证）\\BE=CF（已知）\end{cases}$
所以$ △BDE≌△CDF $（AAS）
所以$ BD=DC $（全等三角形对应边相等）
【答案】
$ BD $与$ DC $相等，理由如上。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是结合垂直的定义、对顶角相等找到三角形全等的条件，通过全等三角形对应边相等得出结论，属于基础几何证明题，有助于培养逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
要判断BD与DC是否相等，可通过证明△BDE和△CDF全等，再利用全等三角形对应边相等得出结论。首先根据垂直的定义得到两个直角相等，再结合对顶角相等，加上已知的BE=CF，满足AAS的全等判定条件，从而证明两个三角形全等，进而得到BD=DC。
【解析】
解：因为$ BE⊥AD $，$ CF⊥AD $（已知）
所以$ ∠BED=∠CFD=90° $（垂直的定义）
又因为$ ∠BDE=∠CDF $（对顶角相等）
在$ △BDE $和$ △CDF $中
$\begin{cases}∠BDE=∠CDF（已证）\\∠BED=∠CFD（已证）\\BE=CF（已知）\end{cases}$
所以$ △BDE≌△CDF $（AAS）
所以$ BD=DC $（全等三角形对应边相等）
【答案】
$ BD $与$ DC $相等，理由如上。
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、垂直的定义
【点评】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是结合垂直的定义、对顶角相等找到三角形全等的条件，通过全等三角形对应边相等得出结论，属于基础几何证明题，有助于培养逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$ AB // CD $，$ ∠ A = ∠ D $，$ BF = CE $，$ ∠ AEB = 110° $，求$ ∠ DFC $的度数。
答案
4. 解:因为 AB//CD,
所以∠B=∠C,
又因为 BF=CE,
BF - EF=CE - EF,
所以 BE=CF,
又因为∠A=∠D,
所以△ABE≌△DCF(AAS),
所以∠DFC=∠AEB=110°
所以∠B=∠C,
又因为 BF=CE,
BF - EF=CE - EF,
所以 BE=CF,
又因为∠A=∠D,
所以△ABE≌△DCF(AAS),
所以∠DFC=∠AEB=110°
解析
【分析】
要解决这个问题，我们的思路是先利用平行线的性质得到角相等，再通过线段的和差关系推导出相等的边，接着利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形的对应角相等求出∠DFC的度数。具体来说：
1. 由$AB//CD$，根据平行线的内错角相等，可得到$∠B=∠C$；
2. 已知$BF=CE$，两边同时减去$EF$，就能得到$BE=CF$；
3. 结合已知的$∠A=∠D$，利用AAS判定定理可证明$△ ABE≌△ DCF$；
4. 根据全等三角形对应角相等，$∠DFC$就等于已知的$∠AEB$，从而得出结果。
【解析】
解：因为$AB // CD$，
所以$∠ B = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$BF = CE$，
所以$BF - EF = CE - EF$（等式的性质），
即$BE = CF$。
又因为$∠ A = ∠ D$，
在$△ ABE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ D \\∠ B = ∠ C \\BE = CF\end{cases}$
所以$△ ABE ≌ △ DCF$（AAS）。
所以$∠ DFC = ∠ AEB = 110°$（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
$\boxed{110°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 全等三角形的判定（AAS）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题主要考查平行线的性质与全等三角形的判定及性质的综合应用，解题的关键是通过线段的和差关系得到全等所需的边相等条件，属于基础几何题，需要熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们的思路是先利用平行线的性质得到角相等，再通过线段的和差关系推导出相等的边，接着利用全等三角形的判定定理证明两个三角形全等，最后根据全等三角形的对应角相等求出∠DFC的度数。具体来说：
1. 由$AB//CD$，根据平行线的内错角相等，可得到$∠B=∠C$；
2. 已知$BF=CE$，两边同时减去$EF$，就能得到$BE=CF$；
3. 结合已知的$∠A=∠D$，利用AAS判定定理可证明$△ ABE≌△ DCF$；
4. 根据全等三角形对应角相等，$∠DFC$就等于已知的$∠AEB$，从而得出结果。
【解析】
解：因为$AB // CD$，
所以$∠ B = ∠ C$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$BF = CE$，
所以$BF - EF = CE - EF$（等式的性质），
即$BE = CF$。
又因为$∠ A = ∠ D$，
在$△ ABE$和$△ DCF$中：
$\begin{cases}∠ A = ∠ D \\∠ B = ∠ C \\BE = CF\end{cases}$
所以$△ ABE ≌ △ DCF$（AAS）。
所以$∠ DFC = ∠ AEB = 110°$（全等三角形的对应角相等）。
【答案】
$\boxed{110°}$
【知识点】
1. 平行线的性质
2. 全等三角形的判定（AAS）
3. 全等三角形的性质
【点评】
本题主要考查平行线的性质与全等三角形的判定及性质的综合应用，解题的关键是通过线段的和差关系得到全等所需的边相等条件，属于基础几何题，需要熟练掌握相关定理的应用。
【难度系数】
0.7
5. 如图，在$ △ ABC $和$ △ ADE $中，$ AB = AD $，$ ∠ B = ∠ D $，$ ∠ 1 = ∠ 2 $，试说明：$ BC = DE $。
答案
5. 解:因为∠1=∠2,
所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC,
即∠BAC=∠DAE,
在△ABC 和△ADE 中,
{∠B=∠D(已知)
{AB=AD(已知)
∠BAC=∠DAE(已证)
所以△ABC≌△ADE(ASA),
所以 BC=DE.
解析
【分析】
要证明$BC=DE$，可通过证明$△ ABC$和$△ ADE$全等，利用全等三角形对应边相等得出结论。已知$AB=AD$，$∠ B=∠ D$，还需一组对应角相等；由$∠ 1=∠ 2$，根据角的和差关系，给两边同时加上$∠ DAC$，可得到$∠ BAC=∠ DAE$，这样就满足ASA的全等判定条件，进而证明三角形全等，最终推出$BC=DE$。
【解析】
因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC$，
即$∠ BAC=∠ DAE$，
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ D(\mathrm{已知}) \\AB=AD(\mathrm{已知}) \\∠ BAC=∠ DAE(\mathrm{已证})\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{ASA})$，
所以$BC=DE$。
【答案】
因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC$，
即$∠ BAC=∠ DAE$，
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ D(\mathrm{已知}) \\AB=AD(\mathrm{已知}) \\∠ BAC=∠ DAE(\mathrm{已证})\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{ASA})$，
所以$BC=DE$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（ASA）
2. 全等三角形的性质
3. 角的和差运算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是通过角的和差关系推导出全等所需的对应角相等，属于基础几何证明题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
要证明$BC=DE$，可通过证明$△ ABC$和$△ ADE$全等，利用全等三角形对应边相等得出结论。已知$AB=AD$，$∠ B=∠ D$，还需一组对应角相等；由$∠ 1=∠ 2$，根据角的和差关系，给两边同时加上$∠ DAC$，可得到$∠ BAC=∠ DAE$，这样就满足ASA的全等判定条件，进而证明三角形全等，最终推出$BC=DE$。
【解析】
因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC$，
即$∠ BAC=∠ DAE$，
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ D(\mathrm{已知}) \\AB=AD(\mathrm{已知}) \\∠ BAC=∠ DAE(\mathrm{已证})\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{ASA})$，
所以$BC=DE$。
【答案】
因为$∠ 1=∠ 2$，
所以$∠ 1+∠ DAC=∠ 2+∠ DAC$，
即$∠ BAC=∠ DAE$，
在$△ ABC$和$△ ADE$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ D(\mathrm{已知}) \\AB=AD(\mathrm{已知}) \\∠ BAC=∠ DAE(\mathrm{已证})\end{cases}$
所以$△ ABC≌△ ADE(\mathrm{ASA})$，
所以$BC=DE$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定（ASA）
2. 全等三角形的性质
3. 角的和差运算
【点评】
本题考查全等三角形的判定与性质，解题关键是通过角的和差关系推导出全等所需的对应角相等，属于基础几何证明题，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的核心。
【难度系数】
0.7
1. 如图，$ CD ⊥ AB $，$ BE ⊥ AC $，垂足分别为$ D $，$ E $，$ BE $交$ CD $于$ F $，且$ AD = DF $，试说明：$ AC = BF $。
答案
1. 如图,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为 D、E,BE 交 CD 于 F,且 AD=DF,试说明:AC=BF.
解:因为 CD⊥AB,BE⊥AC
所以∠BDF=∠ADC=90°,∠CEF=90°
又因为∠CFE=∠BFD(对顶角相等)
所以∠B=∠C
在△BDF 和△CDA 中
{∠C=∠B
{∠ADC=∠BDF=90°
AD=DF
所以△CAD≌△BFD(AAS)
所以 AC=BF(全等三角形的对应边相等)
解析
【分析】
要说明$AC=BF$，可通过证明$AC$和$BF$所在的三角形全等实现。首先由$CD⊥AB$，$BE⊥AC$可得两个直角相等；再利用对顶角相等和直角三角形两锐角互余的性质，推导出$∠B=∠C$；结合已知$AD=DF$，即可利用AAS证明$△CAD$和$△BFD$全等，进而根据全等三角形对应边相等得到$AC=BF$。
【解析】
解：因为$ CD ⊥ AB $，$ BE ⊥ AC $，
所以$∠BDF=∠ADC=90°$，$∠CEF=90°$。
又因为$∠CFE=∠BFD$（对顶角相等），
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠C=90°-∠CFE$，$∠B=90°-∠BFD$，所以$∠B=∠C$。
在$△BDF$和$△CDA$中，
$\begin{cases}∠C=∠B \\∠ADC=∠BDF=90° \\AD=DF\end{cases}$
所以$△CAD≌△BFD$（AAS）。
所以$AC=BF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$AC=BF$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、直角三角形性质
【点评】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是通过垂直关系和对顶角相等找到全等所需的角相等条件，将线段相等的问题转化为三角形全等的问题，锻炼逻辑推理与转化思想。
【难度系数】
0.6
要说明$AC=BF$，可通过证明$AC$和$BF$所在的三角形全等实现。首先由$CD⊥AB$，$BE⊥AC$可得两个直角相等；再利用对顶角相等和直角三角形两锐角互余的性质，推导出$∠B=∠C$；结合已知$AD=DF$，即可利用AAS证明$△CAD$和$△BFD$全等，进而根据全等三角形对应边相等得到$AC=BF$。
【解析】
解：因为$ CD ⊥ AB $，$ BE ⊥ AC $，
所以$∠BDF=∠ADC=90°$，$∠CEF=90°$。
又因为$∠CFE=∠BFD$（对顶角相等），
根据直角三角形两锐角互余，可得$∠C=90°-∠CFE$，$∠B=90°-∠BFD$，所以$∠B=∠C$。
在$△BDF$和$△CDA$中，
$\begin{cases}∠C=∠B \\∠ADC=∠BDF=90° \\AD=DF\end{cases}$
所以$△CAD≌△BFD$（AAS）。
所以$AC=BF$（全等三角形的对应边相等）。
【答案】
$AC=BF$
【知识点】
全等三角形的判定（AAS）、全等三角形的性质、直角三角形性质
【点评】
本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题关键是通过垂直关系和对顶角相等找到全等所需的角相等条件，将线段相等的问题转化为三角形全等的问题，锻炼逻辑推理与转化思想。
【难度系数】
0.6
2. 如图所示，已知$ AB = CD $，$ BE = DF $，$ AE = CF $，$ AC $，$ BD $相交于点$ O $，试说明$ EO = FO $。
答案
2. 在△ABE 和△CDF 中,{AB=CD
BE=DF,
AE=CF
所以△ABE≌△CDF(SSS),
所以∠AEB=∠CFD,
所以∠AEO=CFO,
在△AOE 和△COF 中,
{∠AEO=∠CFO
{∠AOE=∠COF.
AE=CF
所以△AOE≌△COF(AAS),
所以 EO=FO.
BE=DF,
AE=CF
所以△ABE≌△CDF(SSS),
所以∠AEB=∠CFD,
所以∠AEO=CFO,
在△AOE 和△COF 中,
{∠AEO=∠CFO
{∠AOE=∠COF.
AE=CF
所以△AOE≌△COF(AAS),
所以 EO=FO.
解析
【分析】
要说明$EO=FO$，可通过证明$EO$和$FO$所在的$△ AOE$与$△ COF$全等。首先观察已知条件，先利用SSS证明$△ ABE≌△ CDF$，得到$∠ AEB=∠ CFD$，进而推出它们的补角$∠ AEO=∠ CFO$；再结合已知的$AE=CF$和对顶角$∠ AOE=∠ COF$，利用AAS证明$△ AOE≌△ COF$，即可得出$EO=FO$。
【解析】
1. 证明$△ ABE≌△ CDF$：
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}AB = CD \\BE = DF \\AE = CF\end{cases}$
根据SSS（边边边）全等判定定理，可得$△ ABE≌△ CDF$。
2. 推导角相等：
由$△ ABE≌△ CDF$，根据全等三角形的对应角相等，得$∠ AEB = ∠ CFD$。
因为$∠ AEB + ∠ AEO = 180°$，$∠ CFD + ∠ CFO = 180°$，所以$∠ AEO = ∠ CFO$（等角的补角相等）。
3. 证明$△ AOE≌△ COF$：
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}∠ AEO = ∠ CFO \\∠ AOE = ∠ COF \\AE = CF\end{cases}$
根据AAS（角角边）全等判定定理，可得$△ AOE≌△ COF$。
4. 得出结论：
由$△ AOE≌△ COF$，根据全等三角形的对应边相等，得$EO = FO$。
【答案】
$EO=FO$
【知识点】
三角形全等的判定（SSS、AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题通过两次全等三角形的证明来推导结论，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，解题的关键是通过第一次全等得到所需的角相等条件，为第二次全等证明铺垫。
【难度系数】
0.6
要说明$EO=FO$，可通过证明$EO$和$FO$所在的$△ AOE$与$△ COF$全等。首先观察已知条件，先利用SSS证明$△ ABE≌△ CDF$，得到$∠ AEB=∠ CFD$，进而推出它们的补角$∠ AEO=∠ CFO$；再结合已知的$AE=CF$和对顶角$∠ AOE=∠ COF$，利用AAS证明$△ AOE≌△ COF$，即可得出$EO=FO$。
【解析】
1. 证明$△ ABE≌△ CDF$：
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}AB = CD \\BE = DF \\AE = CF\end{cases}$
根据SSS（边边边）全等判定定理，可得$△ ABE≌△ CDF$。
2. 推导角相等：
由$△ ABE≌△ CDF$，根据全等三角形的对应角相等，得$∠ AEB = ∠ CFD$。
因为$∠ AEB + ∠ AEO = 180°$，$∠ CFD + ∠ CFO = 180°$，所以$∠ AEO = ∠ CFO$（等角的补角相等）。
3. 证明$△ AOE≌△ COF$：
在$△ AOE$和$△ COF$中，
$\begin{cases}∠ AEO = ∠ CFO \\∠ AOE = ∠ COF \\AE = CF\end{cases}$
根据AAS（角角边）全等判定定理，可得$△ AOE≌△ COF$。
4. 得出结论：
由$△ AOE≌△ COF$，根据全等三角形的对应边相等，得$EO = FO$。
【答案】
$EO=FO$
【知识点】
三角形全等的判定（SSS、AAS）；全等三角形的性质
【点评】
本题通过两次全等三角形的证明来推导结论，需要熟练掌握全等三角形的判定定理和性质，解题的关键是通过第一次全等得到所需的角相等条件，为第二次全等证明铺垫。
【难度系数】
0.6
