1. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，添加下列条件仍不能判断四边形 $ABCD$ 是菱形的是()


A.$AO^{2}+BO^{2}=AB^{2}$
B.$AB = AD$
C.$OA = OD$
D.$∠ ABO=∠ OBC$

1. C.

2. 下列说法中错误的是()

A.一组邻边相等的平行四边形是菱形
B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形
C.四条边相等的四边形是菱形
D.对角线相等且互相平分的四边形是菱形

2. D.

3. 已知平行四边形的一边长为 $25$，两条对角线的长分别为 $30$ 和 $40$，则这个平行四边形是(选填“矩形”“菱形”或“一般平行四边形”).

3. 菱形.

4. 如图，$□ ABCD$ 的对角线 $AC$，$BD$ 相交于点 $O$，过点 $O$ 作 $EF⊥ AC$，分别交 $AB$，$DC$ 于点 $E$，$F$，连接 $AF$，$CE$.
(1) 若 $OE=\frac{3}{2}$，求 $EF$ 的长；

(2) 判断四边形 $AECF$ 的形状，并说明理由.

4. （1）$\because$四边形$ABCD$是平行四边形，$\therefore AB// CD$，$AO = CO$，$\therefore∠ FCO=∠ EAO$. 又$\because∠ AOE=∠ COF$，$\therefore△ AOE≌△ COF(ASA)$. $\therefore OE = OF=\frac{3}{2}$. $\therefore EF = OE + OF=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}=3$. （2）四边形$AECF$是菱形. 理由：$\because△ AOE≌△ COF$，$\therefore AE = CF$. $\because AE// CF$，$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形. 又$\because EF⊥ AC$，$\therefore$四边形$AECF$是菱形.

问题 如图，在 $Rt△ ABC$ 中，$∠ B = 90°$，点 $E$ 是 $AC$ 的中点，$AC = 2AB$，$∠ BAC$ 的平分线 $AD$ 交 $BC$ 于点 $D$，作 $AF// BC$，连接 $DE$ 并延长交 $AF$ 于点 $F$，连接 $FC$.求证：四边形 $ADCF$ 是菱形.

名师指导
本题考查菱形的判定、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题.① 利用 $AAS$ 证明 $△ AEF≌△ CED$；② 利用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证出四边形 $ADCF$ 是平行四边形；③ 通过计算出角的度数证明 $∠ DAC=∠ ACB$；④ 利用“等角对等边”证出 $DA = DC$；⑤ 利用“一组邻边相等的平行四边形是菱形”证出四边形 $ADCF$ 是菱形.
解题示范 （学生在教师指导下，独立完成）
证明：

1. 首先证明$△ AEF≌△ CED$：
因为$AF// BC$，所以$∠ AFE=∠ CDE$（两直线平行，内错角相等）。
又因为点$E$是$AC$的中点，所以$AE = CE$。
且$∠ AEF=∠ CED$（对顶角相等）。
在$△ AEF$和$△ CED$中，$\{\begin{array}{l}∠ AFE=∠ CDE\\∠ AEF=∠ CED\\AE = CE\end{array} $，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$△ AEF≌△ CED$。
由全等三角形的性质可知$AF = CD$。
2. 然后证明四边形$ADCF$是平行四边形：
因为$AF// CD$（已知$AF// BC$，$CD$在$BC$上）且$AF = CD$，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，所以四边形$ADCF$是平行四边形。
3. 接着求$∠ ACB$的度数：
在$Rt△ ABC$中，$∠ B = 90^{\circ}$，$AC = 2AB$，根据直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于$30^{\circ}$，所以$∠ ACB = 30^{\circ}$，则$∠ BAC=60^{\circ}$。
因为$AD$是$∠ BAC$的平分线，所以$∠ DAC=\frac{1}{2}∠ BAC$。
那么$∠ DAC=\frac{1}{2}×60^{\circ}=30^{\circ}$。
4. 再证明$DA = DC$：
因为$∠ DAC = 30^{\circ}$，$∠ ACB = 30^{\circ}$，所以$∠ DAC=∠ ACB$。
根据“等角对等边”，可得$DA = DC$。
5. 最后证明四边形$ADCF$是菱形：
因为四边形$ADCF$是平行四边形，且$DA = DC$，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”，所以四边形$ADCF$是菱形。
综上，四边形$ADCF$是菱形得证。