登录
一、填空题。
1. 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高的比是 $1:2$，体积的比是()。
1. 一个圆柱和一个圆锥的底面积相等，高的比是 $1:2$，体积的比是()。
答案
$3:2$
解析
设圆柱和圆锥的底面积都为$S$，圆柱的高为$h$，则圆锥的高为$2h$，
根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=S× h = Sh$，圆锥体积公式$V_{圆锥}=\frac{1}{3}S×2h=\frac{2}{3}Sh$，
所以圆柱与圆锥体积比为$Sh:\frac{2}{3}Sh = 3:2$。
根据圆柱体积公式$V_{圆柱}=S× h = Sh$，圆锥体积公式$V_{圆锥}=\frac{1}{3}S×2h=\frac{2}{3}Sh$，
所以圆柱与圆锥体积比为$Sh:\frac{2}{3}Sh = 3:2$。
2. 一个圆柱的侧面展开图是一个边长是 $6.28\mathrm{cm}$ 的正方形，那么这个圆柱的体积是()$\mathrm{cm}^{3}$。
答案
19.7192
解析
圆柱侧面展开为正方形，所以圆柱底面周长和高都为6.28cm。底面半径：6.28÷3.14÷2=1cm；底面积：3.14×1²=3.14cm²；体积：3.14×6.28=19.7192cm³。
3. 如右图，这盒牛奶洒掉了一部分，洒掉了()$\mathrm{mL}$ 牛奶。
答案
100
解析
假设牛奶盒为长方体，长10cm、宽5cm、高8cm，原体积=10×5×8=400mL。洒掉后牛奶高度为6cm，剩余体积=10×5×6=300mL，洒掉体积=400-300=100mL。
4. 把一块底面直径是 $6\mathrm{cm}$、高是 $10\mathrm{cm}$ 的圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，这块木料削去部分的体积是()$\mathrm{cm}^{3}$。
答案
$188.4$
解析
把圆柱形木料加工成一个最大的圆锥，圆锥与圆柱是等底等高的，等底等高的圆锥体积是圆柱体积的$\frac{1}{3}$，那么削去部分的体积就是圆柱体积的$1 - \frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。
先根据圆柱体积公式$V = π r^2h$（其中$r$为底面半径，$h$为高）求出圆柱体积，圆柱底面直径是$6cm$，则半径$r = 6÷2 = 3cm$，高$h = 10cm$，所以圆柱体积$V = 3.14×3^2×10=3.14×9×10 = 282.6cm^3$。
再求削去部分的体积，$282.6×\frac{2}{3}=188.4cm^3$。
先根据圆柱体积公式$V = π r^2h$（其中$r$为底面半径，$h$为高）求出圆柱体积，圆柱底面直径是$6cm$，则半径$r = 6÷2 = 3cm$，高$h = 10cm$，所以圆柱体积$V = 3.14×3^2×10=3.14×9×10 = 282.6cm^3$。
再求削去部分的体积，$282.6×\frac{2}{3}=188.4cm^3$。
二、选择题。
1. 用 $18$ 个相同的小正方体拼成 $1$ 个长方体，有()种不同的拼法。
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
1. 用 $18$ 个相同的小正方体拼成 $1$ 个长方体，有()种不同的拼法。
A.$3$
B.$4$
C.$5$
D.$6$
答案
B
解析
本题可根据长方体体积公式，结合小正方体个数，通过找出18的所有因数组合来确定拼成长方体的不同拼法。
用18个相同的小正方体拼成一个长方体，那么小正方体的体积之和就是长方体的体积，设小正方体的体积为1，则长方体体积为18。
因为长方体体积=长×宽×高，且长、宽、高由小正方体的个数组成，所以就是将18分解因数：18 = 1×1×18=1×2×9 = 1×3×6 = 2×3×3=3×6×1（与前面重复舍去）等，其中不同的组合有1×1×18、1×2×9、1×3×6、2×3×3，共4种。
用18个相同的小正方体拼成一个长方体，那么小正方体的体积之和就是长方体的体积，设小正方体的体积为1，则长方体体积为18。
因为长方体体积=长×宽×高，且长、宽、高由小正方体的个数组成，所以就是将18分解因数：18 = 1×1×18=1×2×9 = 1×3×6 = 2×3×3=3×6×1（与前面重复舍去）等，其中不同的组合有1×1×18、1×2×9、1×3×6、2×3×3，共4种。
2. 正方体、圆柱和圆锥的底面积相等，高也相等，下面说法错误的是()。
A.圆锥的体积是正方体体积的 $\frac{1}{3}$
B.圆柱的体积是圆锥体积的 $3$ 倍
C.正方体的体积比圆柱的体积小
D.圆柱和圆锥的体积不相等
A.圆锥的体积是正方体体积的 $\frac{1}{3}$
B.圆柱的体积是圆锥体积的 $3$ 倍
C.正方体的体积比圆柱的体积小
D.圆柱和圆锥的体积不相等
答案
C
解析
设底面积为S，高为h。正方体体积=Sh，圆柱体积=Sh，圆锥体积=1/3Sh。A.圆锥体积是正方体体积的1/3，正确；B.圆柱体积是圆锥体积的3倍，正确；C.正方体体积与圆柱体积相等，错误；D.圆柱和圆锥体积不相等，正确。
3. 如果一个圆锥的高不变，底面半径增加 $\frac{1}{3}$，那么它的体积增加()。
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{7}{9}$
D.$\frac{16}{9}$
A.$\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{7}{9}$
D.$\frac{16}{9}$
答案
C
解析
设圆锥原来底面半径为$r$，高为$h$，原来体积$V_1=\frac{1}{3}π r^2h$。底面半径增加$\frac{1}{3}$后，新半径$r'=r+\frac{1}{3}r=\frac{4}{3}r$，新体积$V_2=\frac{1}{3}π (\frac{4}{3}r)^2h=\frac{1}{3}π · \frac{16}{9}r^2h=\frac{16}{27}π r^2h$。体积增加量为$V_2 - V_1=\frac{16}{27}π r^2h - \frac{9}{27}π r^2h=\frac{7}{27}π r^2h$。增加比例为$\frac{7}{27}π r^2h÷\frac{1}{3}π r^2h=\frac{7}{9}$。
三、一个圆柱形容器的底面半径是 $4\mathrm{dm}$，高是 $6\mathrm{dm}$，里面盛满了水。现把水全部倒进一个棱长是 $8\mathrm{dm}$ 的正方体容器里，水深多少分米？
答案
圆柱形容器中水的体积：
$V = π r^{2}h$
$ = 3.14 × 4^{2} × 6$
$ = 3.14 × 16 × 6$
$ = 301.44（立方分米）$
设正方体容器水深为$h_{2}$分米，则：
$8 × 8 × h_{2} = 301.44$
$64h_{2} = 301.44$
$h_{2} = 4.71$
答：水深$4.71$分米。
$V = π r^{2}h$
$ = 3.14 × 4^{2} × 6$
$ = 3.14 × 16 × 6$
$ = 301.44（立方分米）$
设正方体容器水深为$h_{2}$分米，则：
$8 × 8 × h_{2} = 301.44$
$64h_{2} = 301.44$
$h_{2} = 4.71$
答：水深$4.71$分米。
四、【拓展题】一个圆柱的底面周长和高相等，如果它的高比原来缩短 $4\mathrm{cm}$，那么表面积就比原来减少 $50.24\mathrm{cm}^{2}$，求这个圆柱的体积。
答案
$157.7536\,\mathrm{cm}^3$
解析
1. 因为高缩短后表面积减少的部分为侧面积减少量，侧面积减少量=底面周长×缩短高度，设底面周长为$C$，则$C×4 = 50.24$，解得$C = 50.24÷4 = 12.56\,\mathrm{cm}$。
2. 由题意知圆柱原来的高$h = C = 12.56\,\mathrm{cm}$。
3. 底面半径$r = C÷(2π) = 12.56÷(2×3.14) = 2\,\mathrm{cm}$。
4. 圆柱体积$V = πr²h = 3.14×2²×12.56 = 3.14×4×12.56 = 157.7536\,\mathrm{cm}^3$。
2. 由题意知圆柱原来的高$h = C = 12.56\,\mathrm{cm}$。
3. 底面半径$r = C÷(2π) = 12.56÷(2×3.14) = 2\,\mathrm{cm}$。
4. 圆柱体积$V = πr²h = 3.14×2²×12.56 = 3.14×4×12.56 = 157.7536\,\mathrm{cm}^3$。
