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1. 利用勾股定理的逆定理可以证明两条线段的
垂直
关系，从而实现由数向形的转化，为解决有关问题架起桥梁.答案
1.垂直
2. 运用勾股定理可知，在等腰直角三角形中斜边是直角边的
$\sqrt{2}$
倍，从而为证明形如$a = \sqrt{2}b$或$m + n = \sqrt{2}c$提供了一种途径.答案
2.$\sqrt{2}$
1. 如图，在$△ ABC$中，$D$为边$BC$上一点，且$AB = 10$，$BD = 6$，$AD = 8$，$AC = 17$，求$CD$的长.
答案
1.解:
∵AD²+BD²=100=AB²,
∴△ABD为直角三角形.
∵在Rt△ACD中,CD²+AD²=AC²,
∴CD=15.
∵AD²+BD²=100=AB²,
∴△ABD为直角三角形.
∵在Rt△ACD中,CD²+AD²=AC²,
∴CD=15.
2. 如图，每个小正方形的边长为$1$，$A$，$B$，$C$是小正方形的顶点.
(1) 求$AB$和$BC$的长；
(2) 求$∠ ABC$的度数.
(1) 求$AB$和$BC$的长；
(2) 求$∠ ABC$的度数.
答案
2.解:(1)根据勾股定理，得AB²=1² + 3² = 10，BC²=1² + 2² = 5，
∴AB=$\sqrt{10}$,BC=$\sqrt{5}$.
(2)如图，连接AC.
∵AB²=1² + 3² = 10，AC²=BC²=1² + 2² = 5，
∴5 + 5 = 10，即AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°.
3. 如图，在$△ ABC$中，$D$是边$AB$的中点，$DE ⊥ AB$于点$D$，交$AC$于点$E$，且$AE^{2} - CE^{2} = BC^{2}$，
(1) 求证：$∠ C = 90^{\circ}$；
(2) 若$DE = 6$，$BD = 8$，求$CE$的长.
(1) 求证：$∠ C = 90^{\circ}$；
(2) 若$DE = 6$，$BD = 8$，求$CE$的长.
答案
3.(1)证明:如图,连接BE,
∵D是边AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE=BE.又
∵AE²−CE²=BC²，
∴BE²−CE²=BC²，
∴△BCE是直角三角形，∠C = 90°.
(2)解:
∵在Rt△BDE中，BE=$\sqrt{DE²+BD²}$=$\sqrt{6²+8²}$=10，
∴AE=10.设CE=x，AC=10 + x，AB=2BD=16.
∵在Rt△ABC中，BC²=AB²−AC²=16²−(10 + x)²，在Rt△BCE中，BC²=EB²−EC²=10²−x²，
∴16²−(10 + x)²=10²−x²，解得x = 2.8，
∴CE=2.8.
