8. 如图，分别以 $ △ ABC $ 的三边为直径向外作三个半圆，面积分别为 $ S_{1},S_{2},S_{3} $，若 $ S_{1}+S_{3}=S_{2} $，求证：$ ∠ ACB = 90^{\circ} $.

8. 证明：
∵S₁ + S₃ = $\frac{1}{8}$πAC² + $\frac{1}{8}$πBC² = $\frac{1}{8}$πAB² = S₂，
∴AC² + BC² = AB²。
∴∠ACB = 90°。

9. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ AB:BC:CD:DA = 2:2:3:1 $，且 $ ∠ B = 90^{\circ} $.
（1）求 $ ∠ DAB $ 的度数；
（2）若 $ AB = 1 $，求四边形 $ ABCD $ 的面积.

9. (1) 135° (2) $\frac{1}{2}$ + $\frac{\sqrt{2}}{4}$

（1）连接AC，设AB=2k，BC=2k，CD=3k，DA=k。
在Rt△ABC中，∠B=90°，AC²=AB²+BC²=(2k)²+(2k)²=8k²，AC=2√2k。
在△ADC中，AD²+AC²=k²+(2√2k)²=k²+8k²=9k²=CD²，故∠DAC=90°。
在Rt△ABC中，AB=BC，∠BAC=45°，∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°+45°=135°。
（2）AB=1，由AB:BC:CD:DA=2:2:3:1，得BC=1，AD=1/2，AC=√(1²+1²)=√2。
S△ABC=1/2×AB×BC=1/2×1×1=1/2。
S△ADC=1/2×AD×AC=1/2×(1/2)×√2=√2/4。
四边形ABCD面积=S△ABC+S△ADC=1/2+√2/4。
（1）135°
（2）$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{2}}{4}$

10. 如图，小彭同学每天乘坐地铁上学，他观察发现，地铁 $ D $ 出口和学校 $ O $ 在南北方向的街道的同一边，相距 $ 80\mathrm{m} $，地铁 $ A $ 出口在学校的正东方向 $ 60\mathrm{m} $ 处，地铁 $ B $ 出口离 $ D $ 出口 $ 100\mathrm{m} $，离 $ A $ 出口 $ 100\sqrt{2}\mathrm{m} $.
（1）求 $ ∠ ABD $ 的度数；
（2）求地铁 $ B $ 出口离学校 $ O $ 的距离.

10. 解：(1) 由题意，得OA ⊥ OD，
∴∠AOD = 90°，由勾股定理得AD = $\sqrt{OA² + OD²}$ = $\sqrt{60² + 80²}$ = 100(m)，
∴AD² + DB² = 100² + 100² = 20 000，
∵AB² = (100√2)² = 20 000，
∴AD² + DB² = AB²，
∴∠ADB = 90°。
∵DB = AD = 100(m)，
∴∠ABD = ∠DAB = 45°。 (2) 如图，过点B作BE ⊥ OD交OD的延长线于点E，由(1)知：∠ADB = 90°，
∴∠ADO + ∠BDE = 90°。
∵BD ⊥ DA，BE ⊥ OD，
∴∠ADB = ∠BED = 90°，
∴∠EBD + ∠BDE = 90°，
∴∠ADO = ∠EBD，AD = BD = 100(m)，
∴△AOD ≌ △DEB(AAS)，
∴BE = OD = 80(m)，DE = OA = 60(m)，
∴OE = OD + DE = 140(m)。在Rt△BEO中，由勾股定理，得OB = $\sqrt{BE² + OE²}$ = $\sqrt{80² + 140²}$ = 20√65(m)。