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1. 下列各组数为勾股数的是(
A.$ 3,4,5 $
B.$ 5,10,12 $
C.$ 0.6,0.6,1 $
D.$ 8,15,16 $
A
)A.$ 3,4,5 $
B.$ 5,10,12 $
C.$ 0.6,0.6,1 $
D.$ 8,15,16 $
答案
1. A
2. 下列各组数据中，三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是(
A.$ \sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5} $
B.$ 1,\sqrt{2},\sqrt{3} $
C.$ 6,7,8 $
D.$ 2,3,4 $
B
)A.$ \sqrt{3},\sqrt{4},\sqrt{5} $
B.$ 1,\sqrt{2},\sqrt{3} $
C.$ 6,7,8 $
D.$ 2,3,4 $
答案
2. B
解析
A. $(\sqrt{3})^2 + (\sqrt{4})^2 = 3 + 4 = 7$，$(\sqrt{5})^2 = 5$，$7 ≠ 5$，不能构成直角三角形；
B. $1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$，$(\sqrt{3})^2 = 3$，$3 = 3$，能构成直角三角形；
C. $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$，$8^2 = 64$，$85 ≠ 64$，不能构成直角三角形；
D. $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不能构成直角三角形。
B
B. $1^2 + (\sqrt{2})^2 = 1 + 2 = 3$，$(\sqrt{3})^2 = 3$，$3 = 3$，能构成直角三角形；
C. $6^2 + 7^2 = 36 + 49 = 85$，$8^2 = 64$，$85 ≠ 64$，不能构成直角三角形；
D. $2^2 + 3^2 = 4 + 9 = 13$，$4^2 = 16$，$13 ≠ 16$，不能构成直角三角形。
B
3. 已知在 $ △ ABC $ 中，$ AB:BC:AC = 1:\sqrt{2}:1 $，则 $ ∠ ABC $ 的度数为(
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $
B
)A.$ 30^{\circ} $
B.$ 45^{\circ} $
C.$ 60^{\circ} $
D.$ 90^{\circ} $
答案
3. B
解析
设 $ AB = k $，$ BC = \sqrt{2}k $，$ AC = k $（$ k ＞ 0 $）。
在 $ △ ABC $ 中，$ AB^2 + AC^2 = k^2 + k^2 = 2k^2 $，$ BC^2 = (\sqrt{2}k)^2 = 2k^2 $。
因为 $ AB^2 + AC^2 = BC^2 $，所以 $ △ ABC $ 是直角三角形，且 $ ∠ BAC = 90° $。
又因为 $ AB = AC = k $，所以 $ △ ABC $ 是等腰直角三角形，故 $ ∠ ABC = 45° $。
B
在 $ △ ABC $ 中，$ AB^2 + AC^2 = k^2 + k^2 = 2k^2 $，$ BC^2 = (\sqrt{2}k)^2 = 2k^2 $。
因为 $ AB^2 + AC^2 = BC^2 $，所以 $ △ ABC $ 是直角三角形，且 $ ∠ BAC = 90° $。
又因为 $ AB = AC = k $，所以 $ △ ABC $ 是等腰直角三角形，故 $ ∠ ABC = 45° $。
B
4. 如图，正方形网格中的 $ △ ABC $ 是(
A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
A
)A.直角三角形
B.锐角三角形
C.钝角三角形
D.锐角三角形或钝角三角形
答案
4. A
5. 已知在 $ △ ABC $ 中，$ ∠ A,∠ B,∠ C $ 的对边分别是 $ a,b,c $，下列说法中错误的是(
A.如果 $ ∠ C-∠ B=∠ A $，那么 $ ∠ C = 90^{\circ} $
B.如果 $ ∠ C = 90^{\circ} $，那么 $ c^{2}-b^{2}=a^{2} $
C.如果 $ (a + b)(a - b)=c^{2} $，那么 $ ∠ A = 90^{\circ} $
D.如果 $ ∠ A = 30^{\circ},∠ B = 60^{\circ} $，那么 $ AB = 2AC $
D
)A.如果 $ ∠ C-∠ B=∠ A $，那么 $ ∠ C = 90^{\circ} $
B.如果 $ ∠ C = 90^{\circ} $，那么 $ c^{2}-b^{2}=a^{2} $
C.如果 $ (a + b)(a - b)=c^{2} $，那么 $ ∠ A = 90^{\circ} $
D.如果 $ ∠ A = 30^{\circ},∠ B = 60^{\circ} $，那么 $ AB = 2AC $
答案
5. D
解析
A.
∵∠C-∠B=∠A，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C-∠B+∠B+∠C=180°，2∠C=180°，∠C=90°，正确；
B.
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²，
∴c²-b²=a²，正确；
C.
∵(a+b)(a-b)=c²，
∴a²-b²=c²，即a²=b²+c²，
∴∠A=90°，正确；
D.
∵∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=90°，AB为斜边，AC为∠B的对边，
∴AB=2BC，错误。
答案：D
∵∠C-∠B=∠A，∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠C-∠B+∠B+∠C=180°，2∠C=180°，∠C=90°，正确；
B.
∵∠C=90°，
∴a²+b²=c²，
∴c²-b²=a²，正确；
C.
∵(a+b)(a-b)=c²，
∴a²-b²=c²，即a²=b²+c²，
∴∠A=90°，正确；
D.
∵∠A=30°，∠B=60°，
∴∠C=90°，AB为斜边，AC为∠B的对边，
∴AB=2BC，错误。
答案：D
6. 如图，已知四边形 $ ABCD $ 中，$ ∠ ABC = 90^{\circ},AB = 3,BC = 4 $，$ CD = 13,DA = 12 $，则四边形 $ ABCD $ 的面积等于
36
.答案
6. 36
解析
解：连接AC。
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
在$△ ACD$中，$AC=5$，$CD=13$，$DA=12$，
$\because 5^2+12^2=13^2$，即$AC^2+AD^2=CD^2$，
$\therefore △ ACD$是直角三角形，$∠ CAD=90°$。
四边形$ABCD$的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36$。
36
在$Rt△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，$AB=3$，$BC=4$，
由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
在$△ ACD$中，$AC=5$，$CD=13$，$DA=12$，
$\because 5^2+12^2=13^2$，即$AC^2+AD^2=CD^2$，
$\therefore △ ACD$是直角三角形，$∠ CAD=90°$。
四边形$ABCD$的面积$=S_{△ ABC}+S_{△ ACD}=\frac{1}{2}×3×4+\frac{1}{2}×5×12=6+30=36$。
36
7. 如图，在 $ 6×6 $ 网格中，每个小方格的边长都为 $ 1 $.
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点 $ A(2,2),B(4,4) $，若点 $ C $ 也在小方格的顶点上，且以 $ A,B,C $ 为顶点的三角形面积为 $ 4 $，请直接写出所有满足条件的点 $ C $ 的坐标；
（2）若点 $ D $ 的坐标为 $ (1,3) $，判断 $ △ ABD $ 是否为直角三角形，并说明理由.
（1）建立适当的平面直角坐标系后，若点 $ A(2,2),B(4,4) $，若点 $ C $ 也在小方格的顶点上，且以 $ A,B,C $ 为顶点的三角形面积为 $ 4 $，请直接写出所有满足条件的点 $ C $ 的坐标；
（2）若点 $ D $ 的坐标为 $ (1,3) $，判断 $ △ ABD $ 是否为直角三角形，并说明理由.
答案
7. (1) 如图，C₁(2,6)，C₂(6,2)，C₃(4,0)，C₄(1,5)，C₅(5,1)，C₆(0,4)。 (2) △ABD为直角三角形，理由：如图，
∵点D(1,3)，A(2,2)，B(4,4)，
∴AD = √2，AB = 2√2，BD = √10。
∵AD² + AB² = 2 + 8 = 10，BD² = 10，
∴AD² + AB² = BD²，
∴△ABD为直角三角形。
