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1. 判断三条线段 $ a,b,c $ 是否能构成直角三角形.
① 首先确定最长的边(设为 $ c $)；② 验证 $ c^{2} $ 与 $ a^{2}+b^{2} $ 是否具有
① 首先确定最长的边(设为 $ c $)；② 验证 $ c^{2} $ 与 $ a^{2}+b^{2} $ 是否具有
相等
关系. 若 $ c^{2}=a^{2}+b^{2} $，则 $ △ ABC $ 是以$∠C$
为直角的直角三角形；若 $ c^{2}≠ a^{2}+b^{2} $，则 $ △ ABC $不是直角三角形
.答案
1. 相等 ∠C 不是直角三角形
1. 下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是(
A.$ 5,7,10 $
B.$ 3,4,5 $
C.$ 6,8,10 $
D.$ 1,2,\sqrt{3} $
A
)A.$ 5,7,10 $
B.$ 3,4,5 $
C.$ 6,8,10 $
D.$ 1,2,\sqrt{3} $
答案
1. A
2. 下列条件中，满足 $ △ ABC $ 是直角三角形的是(
A.$ ∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5 $
B.$ a:b:c=1:\sqrt{3}:1 $
C.$ (a + b)^{2}=c^{2}+2ab $
D.$ a=\frac{1}{5},b=\frac{1}{12},c=\frac{1}{13} $
C
)A.$ ∠ A:∠ B:∠ C=3:4:5 $
B.$ a:b:c=1:\sqrt{3}:1 $
C.$ (a + b)^{2}=c^{2}+2ab $
D.$ a=\frac{1}{5},b=\frac{1}{12},c=\frac{1}{13} $
答案
2. C
解析
A. 设∠A=3x，∠B=4x，∠C=5x，3x+4x+5x=180°，x=15°，∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，不是直角三角形。
B. 设a=k，b=√3k，c=k，a²+c²=k²+k²=2k²，b²=3k²，a²+c²≠b²，不是直角三角形。
C. (a+b)²=c²+2ab，a²+2ab+b²=c²+2ab，a²+b²=c²，是直角三角形。
D. a=1/5，b=1/12，c=1/13，a²+b²=(1/25)+(1/144)=169/3600，c²=1/169，a²+b²≠c²，不是直角三角形。
C
B. 设a=k，b=√3k，c=k，a²+c²=k²+k²=2k²，b²=3k²，a²+c²≠b²，不是直角三角形。
C. (a+b)²=c²+2ab，a²+2ab+b²=c²+2ab，a²+b²=c²，是直角三角形。
D. a=1/5，b=1/12，c=1/13，a²+b²=(1/25)+(1/144)=169/3600，c²=1/169，a²+b²≠c²，不是直角三角形。
C
3. 已知 $ M,N $ 是线段 $ AB $ 上的两点，$ AM = MN = 2,NB = 1 $，以点 $ A $ 为圆心，$ AN $ 长为半径画弧；再以点 $ B $ 为圆心，$ BM $ 长为半径画弧，两弧交于点 $ C $，连接 $ AC,BC $，则 $ △ ABC $ 一定是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
B
)A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
答案
3. B
解析
∵AM=MN=2，NB=1，
∴AB=AM+MN+NB=2+2+1=5，
AN=AM+MN=2+2=4，
BM=MN+NB=2+1=3，
由题意得AC=AN=4，BC=BM=3，
∵AC²+BC²=4²+3²=16+9=25，AB²=5²=25，
∴AC²+BC²=AB²，
∴△ABC是直角三角形。
4. 已知三角形的三边长分别为 $ 6,8,10 $，则它的最长边上的高是(
A.$ 6 $
B.$ 8 $
C.$ 2.4 $
D.$ 4.8 $
D
)A.$ 6 $
B.$ 8 $
C.$ 2.4 $
D.$ 4.8 $
答案
4. D
解析
因为$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，所以该三角形是直角三角形，两条直角边为$6$和$8$，斜边（最长边）为$10$。
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式，直角三角形面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
又因为面积也可表示为$\frac{1}{2} × 10 × h$，所以$\frac{1}{2} × 10 × h = 24$，解得$h = \frac{24 × 2}{10} = 4.8$。
D
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式，直角三角形面积为$\frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
又因为面积也可表示为$\frac{1}{2} × 10 × h$，所以$\frac{1}{2} × 10 × h = 24$，解得$h = \frac{24 × 2}{10} = 4.8$。
D
5. 下面几组数：① $ 7,8,9 $；② $ 12,9,15 $；③ $ m^{2}+n^{2},m^{2}-n^{2},2mn $($ m,n $ 均为正整数，$ m ＞ n $)；④ $ a^{2},a^{2}+1,a^{2}+2 $. 其中能组成直角三角形的三边长的是(
A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
B
)A.①②
B.②③
C.①③
D.③④
答案
5. B
解析
①$7^2+8^2=49+64=113$，$9^2=81$，$113≠81$，不能组成直角三角形；
②$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，$225=225$，能组成直角三角形；
③$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$，能组成直角三角形；
④$a^2+(a^2+1)^2=a^2+a^4+2a^2+1=a^4+3a^2+1$，$(a^2+2)^2=a^4+4a^2+4$，$a^4+3a^2+1≠ a^4+4a^2+4$，不能组成直角三角形。
能组成直角三角形的是②③，答案选B。
②$9^2+12^2=81+144=225$，$15^2=225$，$225=225$，能组成直角三角形；
③$(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4-2m^2n^2+n^4+4m^2n^2=m^4+2m^2n^2+n^4=(m^2+n^2)^2$，能组成直角三角形；
④$a^2+(a^2+1)^2=a^2+a^4+2a^2+1=a^4+3a^2+1$，$(a^2+2)^2=a^4+4a^2+4$，$a^4+3a^2+1≠ a^4+4a^2+4$，不能组成直角三角形。
能组成直角三角形的是②③，答案选B。
6. 如果把直角三角形的两条直角边同时扩大到原来的 $ 2 $ 倍，那么斜边扩大到原来的(
A.$ 1 $ 倍
B.$ 2 $ 倍
C.$ 3 $ 倍
D.$ 4 $ 倍
B
)A.$ 1 $ 倍
B.$ 2 $ 倍
C.$ 3 $ 倍
D.$ 4 $ 倍
答案
6. B
解析
设原直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边为$c$，根据勾股定理可得$c = \sqrt{a^2 + b^2}$。
当两条直角边同时扩大到原来的$2$倍时，新直角边分别为$2a$、$2b$，新斜边为$c' = \sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = \sqrt{4(a^2 + b^2)} = 2\sqrt{a^2 + b^2} = 2c$。
所以斜边扩大到原来的$2$倍。
B
当两条直角边同时扩大到原来的$2$倍时，新直角边分别为$2a$、$2b$，新斜边为$c' = \sqrt{(2a)^2 + (2b)^2} = \sqrt{4a^2 + 4b^2} = \sqrt{4(a^2 + b^2)} = 2\sqrt{a^2 + b^2} = 2c$。
所以斜边扩大到原来的$2$倍。
B
7. 把命题“如果直角三角形的两直角边长分别为 $ a,b $，斜边长为 $ c $，那么 $ a^{2}+b^{2}=c^{2} $”的逆命题改写成“如果……那么……”的形式为
如果三角形的三边长a,b,c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形
.答案
7. 如果三角形的三边长a,b,c满足a² + b² = c²，那么这个三角形是直角三角形
8. 命题“对顶角相等”的逆命题是
相等的两个角是对顶角
，是假
(填“真”或“假”)命题.答案
8. 相等的两个角是对顶角 假
9. 请给假命题“两个锐角的和是锐角”举出一个反例
45° + 46° = 91°（答案不唯一）
.答案
9. 45° + 46° = 91°（答案不唯一）
10. 在 $ △ ABC $ 中，若 $ a^{2}+b^{2}=25,a^{2}-b^{2}=7,c = 5 $，则最长边上的高为
2.4
.答案
10. 2.4
解析
由题意得：
$\begin{cases}a^{2} + b^{2} = 25 \\a^{2} - b^{2} = 7\end{cases}$
两式相加得：$2a^{2} = 32$，解得$a^{2} = 16$，则$a = 4$（边长为正）。
将$a^{2} = 16$代入$a^{2} + b^{2} = 25$，得$16 + b^{2} = 25$，解得$b^{2} = 9$，则$b = 3$（边长为正）。
因为$a^{2} + b^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 = c^{2}$，所以$△ ABC$是直角三角形，最长边为$c = 5$。
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，即$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5h$，解得$h = \frac{12}{5} = 2.4$。
2.4
$\begin{cases}a^{2} + b^{2} = 25 \\a^{2} - b^{2} = 7\end{cases}$
两式相加得：$2a^{2} = 32$，解得$a^{2} = 16$，则$a = 4$（边长为正）。
将$a^{2} = 16$代入$a^{2} + b^{2} = 25$，得$16 + b^{2} = 25$，解得$b^{2} = 9$，则$b = 3$（边长为正）。
因为$a^{2} + b^{2} = 4^{2} + 3^{2} = 25 = c^{2}$，所以$△ ABC$是直角三角形，最长边为$c = 5$。
设最长边上的高为$h$，根据三角形面积公式：$\frac{1}{2}ab = \frac{1}{2}ch$，即$\frac{1}{2} × 3 × 4 = \frac{1}{2} × 5h$，解得$h = \frac{12}{5} = 2.4$。
2.4
11. 如果三角形的三边长为 $ 1.5,2,2.5 $，那么这个三角形最短边上的高为
2
.答案
11. 2
解析
因为$1.5^2 + 2^2 = 2.25 + 4 = 6.25 = 2.5^2$，所以该三角形是直角三角形，直角边为$1.5$和$2$，斜边为$2.5$。最短边为$1.5$，其对应的高为另一条直角边$2$。
2
2
12. 将勾股数 $ 3,4,5 $ 扩大到原来的 $ 2 $ 倍，$ 3 $ 倍，$ 4 $ 倍……可以得到勾股数 $ 6,8,10 $；$ 9,12,15 $；$ 12,16,20 $；…则我们把 $ 3,4,5 $ 这样的勾股数称为基本勾股数，请你也写出两组基本勾股数
5,12,13
，8,15,17（答案不唯一）
.答案
12. 5,12,13 8,15,17（答案不唯一）
