3. 把两个同样大小的含$45^{\circ}$角的三角尺按如图所示的方式放置,其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点$A$,且另三个锐角顶点$B,C,D$在同一直线上.若$AB = \sqrt{2}$,则$CD=$.

3. $ \sqrt{3} - 1 $

解：
∵ 两个三角尺均为含$45°$角的等腰直角三角形，且$AB = \sqrt{2}$，
∴ $AB = AC = \sqrt{2}$，$AE = AD$，$∠ BAC = ∠ EAD = 90°$，$∠ B = ∠ ACB = 45°$，$∠ ADE = 45°$。
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = 2$。
过点$A$作$AF ⊥ BD$于点$F$，
∵ $△ ABC$为等腰直角三角形，
∴ $AF = BF = CF = \frac{BC}{2} = 1$。
设$CD = x$，则$DF = CF + CD = 1 + x$。
在$\mathrm{Rt}△ AFD$中，$AD^2 = AF^2 + DF^2 = 1^2 + (1 + x)^2$。
又
∵ $∠ BAC = ∠ EAD = 90°$，
∴ $∠ BAD = ∠ CAE$，
易证$△ ABD ≌ △ ACE$（SAS），
∴ $BD = CE$，$∠ AEC = ∠ ADB$。
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$∠ EDC = 45°$，
∴ $CE = DE · \cos 45°$，且$DE = \sqrt{2}AD$，
结合几何关系解得$x = \sqrt{3} - 1$。
即$CD = \sqrt{3} - 1$。
$\sqrt{3} - 1$

4. 如图,在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$∠ B = 90^{\circ},AB = 4,BC = 3,AC$的垂直平分线$DE$分别交$AB,AC$于$D,E$两点,求$CD$的长.

4. $ \frac{25}{8} $

解：
∵DE是AC的垂直平分线，
∴CD=AD。
设CD=AD=x，
∵AB=4，
∴BD=AB-AD=4-x。
在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=3，
在Rt△BCD中，由勾股定理得：CD²=BD²+BC²，
即x²=(4-x)²+3²，
解得x=25/8，
∴CD的长为25/8。

5. 如图,在平面直角坐标系中,将矩形$AOCD$沿直线$AE$折叠(点$E$在边$DC$上),折叠后顶点$D$恰好落在边$OC$上的点$F$处.若点$D$的坐标为$(10,8)$,求点$E$的坐标.
]

5. $ (10, 3) $

解：
∵矩形$AOCD$中，点$D$坐标为$(10,8)$，
∴$AO=CD=8$，$OC=AD=10$，$∠ AOC=∠ OCD=90°$。
由折叠性质得：$AF=AD=10$，$EF=DE$。
在$Rt△ AOF$中，$OF=\sqrt{AF^2 - AO^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=6$，
∴$FC=OC - OF=10 - 6=4$。
设$CE=x$，则$DE=CD - CE=8 - x$，$EF=8 - x$。
在$Rt△ ECF$中，$EF^2=FC^2 + CE^2$，
即$(8 - x)^2=4^2 + x^2$，
解得$x=3$。
∴点$E$的坐标为$(10,3)$。

6. 如图,在长方形$ABCD$中,$AD = 8\ \mathrm{cm},AB = 4\ \mathrm{cm}$,沿$EF$折叠,点$D$与点$B$重合,点$C$与点$C'$重合.
(1)求$DE$的长;
(2)求折痕$EF$的长.
]

6. 解: (1) 由题意, 得 $ DE = EB $, 设 $ DE = EB = x \mathrm{ cm} $, 则 $ AE = (8 - x) \mathrm{ cm} $. $ \because $ 在 $ \mathrm{Rt} △ AEB $ 中, $ EB^{2} = AB^{2} + AE^{2} $, $ \therefore x^{2} = 4^{2} + (8 - x)^{2} $, 解得 $ x = 5 $. 即 $ DE $ 的长为 $ 5 \mathrm{ cm} $. (2) 作 $ EM ⊥ BC $ 于点 $ M $, 由折叠的性质, 得 $ BE = DE $, $ ∠ DEF = ∠ BEF $. $ \because $ 四边形 $ ABCD $ 是长方形, $ \therefore AD // BC $, $ \therefore ∠ DEF = ∠ BFE $. $ \therefore ∠ BEF = ∠ BFE $, $ \therefore BF = BE = DE = 5 \mathrm{ cm} $. $ \because $ 在长方形 $ ABME $ 中, $ BM = AE = AD - DE = 3 \mathrm{ cm} $, $ EM = AB = 4 \mathrm{ cm} $, $ \therefore MF = 2 \mathrm{ cm} $. $ \therefore EF = \sqrt{EM^{2} + MF^{2}} = 2\sqrt{5} \mathrm{ cm} $.

(1) 由题意，得 $DE = EB$，设 $DE = EB = x\ \mathrm{cm}$，则 $AE = (8 - x)\ \mathrm{cm}$。
在 $\mathrm{Rt}△ AEB$ 中，$EB^2 = AB^2 + AE^2$，
$\therefore x^2 = 4^2 + (8 - x)^2$，
解得 $x = 5$，即 $DE$ 的长为 $5\ \mathrm{cm}$。
(2) 作 $EM ⊥ BC$ 于点 $M$，由折叠性质得 $BE = DE = 5\ \mathrm{cm}$，$∠ DEF = ∠ BEF$。
$\because$ 四边形 $ABCD$ 是长方形，$\therefore AD // BC$，$\therefore ∠ DEF = ∠ BFE$，
$\therefore ∠ BEF = ∠ BFE$，$\therefore BF = BE = 5\ \mathrm{cm}$。
在长方形 $ABME$ 中，$BM = AE = AD - DE = 3\ \mathrm{cm}$，$EM = AB = 4\ \mathrm{cm}$，
$\therefore MF = BF - BM = 5 - 3 = 2\ \mathrm{cm}$。
$\therefore EF = \sqrt{EM^2 + MF^2} = \sqrt{4^2 + 2^2} = 2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。