5. 等腰三角形一腰的高为1,这条高与底边的夹角为$60^{\circ}$,则此三角形的面积为()

A.$2\sqrt{3}$
B.$\frac{\sqrt{3}}{3}$
C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$
D.$2$

5. B

设等腰三角形为$△ ABC$，$AB = AC$，$BD$是腰$AC$上的高，$BD = 1$，$∠ DBC = 60°$。
在$Rt△ BDC$中，$∠ BDC = 90°$，$∠ DBC = 60°$，则$∠ C = 30°$。
$\cos 60°=\frac{BD}{BC}$，即$\frac{1}{2}=\frac{1}{BC}$，解得$BC = 2$。
$\sin 60°=\frac{DC}{BC}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{DC}{2}$，解得$DC=\sqrt{3}$。
因为$AB = AC$，$∠ C = 30°$，在$Rt△ ABD$中，$∠ ADB = 90°$，$∠ A = 180° - 2×30°=120°$，所以$∠ BAD = 60°$。
$\sin 60°=\frac{BD}{AB}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{AB}$，解得$AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}$，则$AC = AB=\frac{2\sqrt{3}}{3}$。
三角形面积$S=\frac{1}{2}× AC× BD=\frac{1}{2}×\frac{2\sqrt{3}}{3}×1=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
答案：B

6. 如图,已知在正方形网格中,每个小方格都是边长为1的正方形,$A,B$两点在小方格的顶点上,点$C$也在小方格的顶点上,且以$A,B,C$为顶点的三角形的面积为1,则满足条件的点$C$有()

A.$3$个
B.$4$个
C.$5$个
D.$6$个

6. D

以A为原点建立坐标系，设A(0,0)，则B(1,1)。
1. 当AB为底时，AB长度为√2，高需为√2。在AB两侧各有2个点满足条件。
2. 当AB为腰时，分别过A、B作与AB平行的直线，每条直线上有1个点满足条件。
综上，满足条件的点C共有6个。
D

7. 如图,$△ ABC$和$△ DCE$都是边长为4的等边三角形,点$B,C,E$在同一条直线上,连接$BD$,则$BD$的长为()

A.$\sqrt{3}$
B.$2\sqrt{3}$
C.$3\sqrt{3}$
D.$4\sqrt{3}$

7. D

证明：
∵△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形，
∴BC=CD=4，∠ACB=∠DCE=60°，
∵点B，C，E在同一条直线上，
∴∠BCD=180°-∠DCE=120°，
在△BCD中，由余弦定理得：
BD²=BC²+CD²-2·BC·CD·cos∠BCD
=4²+4²-2×4×4×cos120°
=16+16-32×(-$\frac{1}{2}$)
=32+16=48，
∴BD=$\sqrt{48}$=4$\sqrt{3}$。
D

8. 如图,已知在$△ ABC$中,$∠ ABC = 90^{\circ},AB = BC$,三角形的顶点在相互平行的三条直线$l_{1},l_{2},l_{3}$上,且$l_{1},l_{2}$之间的距离为2,$l_{2},l_{3}$之间的距离为3,则$AC$的长是()

A.$2\sqrt{17}$
B.$2\sqrt{5}$
C.$4\sqrt{2}$
D.$7$

8. A

9. 如图,在$2×2$的方格中,小正方形的边长是1,点$A,B,C$都在格点上,求:
(1)$AB$的长;
(2)边$AB$上的高.
]

9. 解: (1) 由题图可得, $ AB = \sqrt{1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} $, 即 $ AB $ 的长为 $ \sqrt{5} $. (2) 由题图可得, $ S_{△ ABC} = 2 × 2 - \frac{1 × 1}{2} - \frac{1 × 2}{2} - \frac{1 × 2}{2} = \frac{3}{2} $, 设边 $ AB $ 上的高为 $ x $, 则 $ \frac{AB · x}{2} = \frac{3}{2} $, 即 $ \frac{\sqrt{5}x}{2} = \frac{3}{2} $, 解得 $ x = \frac{3\sqrt{5}}{5} $, 即边 $ AB $ 上的高为 $ \frac{3\sqrt{5}}{5} $.

1. 如图,在矩形$ABCD$中,$AB = 8,BC = 10,E$是$AB$上一点(不与点$A,B$重合),将矩形$ABCD$沿$CE$折叠后,点$B$落在边$AD$上的点$F$处,则$DF$的长为.
]

1. 6

解：
∵四边形$ABCD$是矩形，
$\therefore CD=AB=8$，$AD=BC=10$，$∠ D=90°$。
由折叠性质得：$CF=BC=10$。
在$Rt△ CDF$中，$DF=\sqrt{CF^2 - CD^2}=\sqrt{10^2 - 8^2}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6$。
故$DF$的长为$6$。

2. 已知以线段$a$作长为$\sqrt{13}a$的线段时,只要分别以长为和的线段为直角边,作直角三角形,则这个直角三角形的斜边长就是$\sqrt{13}a$.

2. $ 2a $ $ 3a $