1. 如图，在$△ ABC$中，$BC = 8$，$∠ A = 45^{\circ}$. 点$D$是$AC$边上一点，连接$BD$，若$CD = 6$，$BD = 10$，则线段$AD =$.

1.2

解：在$△ BCD$中，$BC=8$，$CD=6$，$BD=10$，
因为$6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$，
所以$△ BCD$是直角三角形，$∠ C = 90°$。
在$△ ABC$中，$∠ A = 45°$，$∠ C = 90°$，
所以$∠ ABC = 45°$，则$AC = BC = 8$。
因为$CD = 6$，
所以$AD = AC - CD = 8 - 6 = 2$。
故答案为：$2$

2. 如图，在$4×4$的网格中，每个小正方形的边长均为$1$，点$A$，$B$，$C$都在格点上，则下列结论：①$AB = 2\sqrt{5}$；②$∠ ABC = 90^{\circ}$；③$△ ABC$的面积为$10$；④点$A$到直线$BC$的距离是$2$，其中正确的是.(填序号)

2.①④

①由勾股定理得，$AB=\sqrt{(4-2)^2+(4-0)^2}=\sqrt{2^2+4^2}=\sqrt{4+16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，故①正确；
②由勾股定理得，$BC=\sqrt{(4-0)^2+(4-1)^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$，$AC=\sqrt{(2-0)^2+(0-1)^2}=\sqrt{2^2+(-1)^2}=\sqrt{4+1}=\sqrt{5}$，因为$AB^2 + AC^2=(2\sqrt{5})^2+(\sqrt{5})^2=20 + 5=25$，$BC^2=5^2=25$，所以$AB^2 + AC^2=BC^2$，则$∠ BAC=90^{\circ}$，故②错误；
③$△ ABC$的面积为$\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}× 2\sqrt{5}×\sqrt{5}=\frac{1}{2}× 2× 5=5$，故③错误；
④设点$A$到直线$BC$的距离是$h$，由三角形面积公式得，$\frac{1}{2}× BC× h=5$，即$\frac{1}{2}× 5× h=5$，解得$h=2$，故④正确。
正确的是①④。

3. 如图，已知$△ ABC$中，$AB = 10$，$AC = 8$，$BC = 6$，$AB$的垂直平分线分别交$AC$，$AB$于点$D$，$E$. 连接$BD$，求$CD$的长.

3.解:
∵在△ABC中，AB = 10，AC = 8，BC = 6，
∴AB²=AC² + BC²，
∴△ABC是直角三角形.
∵AB的垂直平分线分别交AC，AB于点D，E，
∴AD = DB.设CD为x，AD = DB = 8 - x，在Rt△CDB中，CD²+BC²=DB²，即x²+6²=(8 - x)²，解得x = $\frac{7}{4}$.即CD = $\frac{7}{4}$.故答案为:$\frac{7}{4}$.

4. 如图，在$△ ABC$中，$AD$为边$BC$上的中线，$AB = 5$，$AD = 6$，$AC = 13$，求$BC$的长.

4.解:延长AD至点E，使DE = AD，连接CE，易证△ABD≌△ECD，则AE = 2AD = 12，CE = AB = 5.
∵AE²+CE²=AC²，
∴∠E = ∠BAD = 90°，BD = $\sqrt{5²+6²}$=$\sqrt{61}$，BC = 2$\sqrt{61}$.