5. 某工程队准备从点$A$到点$B$修建一条隧道，测量员在直线$AB$的同一侧选定$C$，$D$两个观测点，如图，测得$AC$长为$\frac{3\sqrt{2}}{2}$km，$CD$长为$\frac{3}{4}(\sqrt{2} + \sqrt{6})$km，$BD$长为$\frac{3}{2}$km，$∠ ACD = 60^{\circ}$，$∠ CDB = 135^{\circ}$(点$A$，$B$，$C$，$D$在同一水平面内).
(1) 求$A$，$D$两点之间的距离；
(2) 求隧道$AB$的长度.

5.解:(1)如图，过点A作AE⊥CD于点E，则∠AEC = ∠AED = 90°，
∵∠ACD = 60°，
∴∠CAE = 90° - 60° = 30°，
∴CE = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{3}{4}\sqrt{2}$(km)，AE = $\sqrt{3}$CE = $\frac{3}{4}\sqrt{6}$(km)，
∴DE = CD - CE = $\frac{3}{4}$($\sqrt{2}$ + $\sqrt{6}$) - $\frac{3}{4}\sqrt{2}$ = $\frac{3}{4}\sqrt{6}$(km)，
∴AE = DE，
∴△ADE是等腰直角三角形，
∴AD = $\sqrt{2}$AE = $\sqrt{2}$×$\frac{3}{4}\sqrt{6}$ = $\frac{3\sqrt{3}}{2}$(km).
(2)由(1)得△ADE是等腰直角三角形，∠ADE = 45°，
∵∠CDB = 135°，
∴∠ADB = 135° - 45° = 90°，
∴AB = $\sqrt{AD²+BD²}$ = $\sqrt{(\frac{3\sqrt{3}}{2})²+(\frac{3}{2})²}$ = 3(km)，即隧道AB的长度为3km.

6. 如图，已知$∠ BCD = ∠ 90^{\circ}$，$∠ BAD = 90^{\circ}$，$CB = CD$. 求证：$AB + AD = \sqrt{2}AC$.

6.证明:延长AB至点E，使BE = AD，连接CE.证得△CBE≌△CDA，△ACE为等腰直角三角形，
∴AB + AD = AE = $\sqrt{2}$AC.

7. 阅读下列一段文字，回答问题.
【材料阅读】平面内两点$M(x_{1}, y_{1})$，$N(x_{2}, y_{2})$，则由勾股定理可得，这两点间的距离$MN = \sqrt{(x_{1} - x_{2})^{2} + (y_{1} - y_{2})^{2}}$.
例如，如图①，$M(3,1)$，$N(1, - 2)$，则$MN = \sqrt{(3 - 1)^{2} + (1 + 2)^{2}} = \sqrt{13}$.
【直接应用】
(1) 已知$P(2, - 3)$，$Q( - 1,3)$，求$P$，$Q$两点间的距离；
(2) 如图②，在平面直角坐标系中，$A( - 1, - 3)$，$OB = \sqrt{2}$，$OB$与$x$轴正半轴的夹角是$45^{\circ}$.
① 求点$B$的坐标；
② 试判断$△ ABO$的形状.

7.解:(1)
∵P(2， - 3)，Q( - 1，3)，
∴PQ = $\sqrt{(2 + 1)²+( - 3 - 3)²}$ = 3$\sqrt{5}$.
(2)①过点B作BF⊥y轴于点F，
∵OB与x轴正半轴的夹角是45°，
∴∠FOB = ∠OBF = 45°.
∵OB = $\sqrt{2}$，
∴OF = BF = 1，
∴B(1， - 1).
②
∵A( - 1， - 3)，B(1， - 1)，
∴OA = $\sqrt{1²+3²}$ = $\sqrt{10}$，AB = $\sqrt{( - 1 - 1)²+( - 3 + 1)²}$ = 2$\sqrt{2}$.
∵AB²+OB² = 8 + 2 = 10，OA² = 10，
∴AB²+OB² = OA²，
∴△ABO是直角三角形.