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16. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90^{\circ}$,$AC=6\ \mathrm{cm}$,$BC=8\ \mathrm{cm}$,$P$是$AB$的中点.点$M$从点$A$出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$C$运动,点$N$从$C$点出发以$2\ \mathrm{cm/s}$的速度向点$B$运动,$Q$是$MN$的中点,连接$PQ$.点$M$,$N$同时出发,当其中一个点到达终点时,另一点随之停止运动.当$PQ$的长是$2\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$时,点$M$的运动时间为$\mathrm{s}$;$PQ$长的最小值为$\mathrm{cm}$.
答案
2 - √2；2√2
解析
以C为原点，BC为x轴，AC为y轴建立坐标系。则A(0,6)，B(8,0)，C(0,0)。P是AB中点，坐标为(4,3)。设运动时间为t秒，M(0,6-2t)，N(2t,0)，Q为MN中点，坐标为(t,3-t)。PQ距离公式：√[(t-4)²+(-t)²]=√(2t²-8t+16)。
当PQ=2√3时，√(2t²-8t+16)=2√3，平方得2t²-8t+4=0，解得t=2±√2，t=2+√2(＞3舍去)，故t=2-√2。
PQ最小值：2t²-8t+16对称轴t=2，最小值8，PQ=√8=2√2。
当PQ=2√3时，√(2t²-8t+16)=2√3，平方得2t²-8t+4=0，解得t=2±√2，t=2+√2(＞3舍去)，故t=2-√2。
PQ最小值：2t²-8t+16对称轴t=2，最小值8，PQ=√8=2√2。
三、解答题(本大题共9小题,共98分)
17. (本小题满分10分)
(1) 计算:$(-3)^2+(-2025)^0-(\dfrac{1}{2})^{-2}$;
(2) 先化简,再求值:$(m-2)^2+(m^2-4m)÷ m$,其中$m=-3$.
17. (本小题满分10分)
(1) 计算:$(-3)^2+(-2025)^0-(\dfrac{1}{2})^{-2}$;
(2) 先化简,再求值:$(m-2)^2+(m^2-4m)÷ m$,其中$m=-3$.
答案
(1)
$(-3)^2 = 9$；
任何非零数的0次幂都等于1，所以$(-2 0 2 5)^0 = 1$；
$(\frac{1}{2})^{-2} = 4$。
所以$(-3)^2+(-2025)^0-(\dfrac{1}{2})^{-2}$
$= 9 + 1 - 4$
$= 6$
(2)
$(m - 2)^2+(m^2 - 4m)÷ m$
$= m^2 - 4m + 4+(m^2 - 4m)×\frac{1}{m}$
$= m^2 - 4m + 4 + m - 4$
$= m^2 - 3m$
当$m = - 3$时，
$m^2 - 3m$
$=(- 3)^2 - 3×(- 3)$
$= 9 + 9$
$= 18$
$(-3)^2 = 9$；
任何非零数的0次幂都等于1，所以$(-2 0 2 5)^0 = 1$；
$(\frac{1}{2})^{-2} = 4$。
所以$(-3)^2+(-2025)^0-(\dfrac{1}{2})^{-2}$
$= 9 + 1 - 4$
$= 6$
(2)
$(m - 2)^2+(m^2 - 4m)÷ m$
$= m^2 - 4m + 4+(m^2 - 4m)×\frac{1}{m}$
$= m^2 - 4m + 4 + m - 4$
$= m^2 - 3m$
当$m = - 3$时，
$m^2 - 3m$
$=(- 3)^2 - 3×(- 3)$
$= 9 + 9$
$= 18$
