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1. 下列命题中，属于假命题的是()
A.奇数的平方是奇数
B.如果$a^{2}=b^{2}$，那么$a = b$
C.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
D.同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
A.奇数的平方是奇数
B.如果$a^{2}=b^{2}$，那么$a = b$
C.如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余
D.同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行
答案
B
解析
A:设奇数为$2k + 1$（$k$为整数），其平方为$(2k + 1)^{2}=4k^{2}+4k + 1=2(2k^{2}+2k)+1$，是奇数，该命题为真命题。
B:当$a^{2}=b^{2}$时，$a=\pm b$，并不一定$a = b$，例如$2^{2}=(-2)^{2}$，但$2≠ - 2$，该命题为假命题。
C:根据直角三角形的性质，直角三角形两锐角之和为$90^{\circ}$，所以两锐角互余，该命题为真命题。
D:根据平行线的判定定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，该命题为真命题。
B:当$a^{2}=b^{2}$时，$a=\pm b$，并不一定$a = b$，例如$2^{2}=(-2)^{2}$，但$2≠ - 2$，该命题为假命题。
C:根据直角三角形的性质，直角三角形两锐角之和为$90^{\circ}$，所以两锐角互余，该命题为真命题。
D:根据平行线的判定定理，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，该命题为真命题。
2. 下列说法中，错误的是()
A.若多边形的边数增加 1，则内角和增加$180^{\circ}$
B.每个外角都是$36^{\circ}$的多边形是十边形
C.内角和是$900^{\circ}$的多边形只有七边形
D.某多边形内角和是$630^{\circ}$
A.若多边形的边数增加 1，则内角和增加$180^{\circ}$
B.每个外角都是$36^{\circ}$的多边形是十边形
C.内角和是$900^{\circ}$的多边形只有七边形
D.某多边形内角和是$630^{\circ}$
答案
D
解析
A. 设原边数为$n$，则原内角和为$(n - 2) × 180^{\circ}$，边数增加1后，新的内角和为$(n+1 - 2) × 180^{\circ} = (n - 1) × 180^{\circ}$。增加的内角和为$(n - 1) × 180^{\circ} - (n - 2) × 180^{\circ} = 180^{\circ}$，故A选项正确。
B. 多边形外角和为$360^{\circ}$，每个外角都是$36^{\circ}$，则边数为$360^{\circ} ÷ 36^{\circ} = 10$，故B选项正确。
C. 设多边形边数为$n$，则内角和为$(n - 2) × 180^{\circ} = 900^{\circ}$，解得$n = 7$，即只有七边形内角和为$900^{\circ}$，故C选项正确。
D. 设多边形边数为$n$，则内角和为$(n - 2) × 180^{\circ} = 630^{\circ}$，解得$n - 2 = \frac{7}{2}$，$n$不为整数，由于多边形边数必须为整数，故D选项错误。
B. 多边形外角和为$360^{\circ}$，每个外角都是$36^{\circ}$，则边数为$360^{\circ} ÷ 36^{\circ} = 10$，故B选项正确。
C. 设多边形边数为$n$，则内角和为$(n - 2) × 180^{\circ} = 900^{\circ}$，解得$n = 7$，即只有七边形内角和为$900^{\circ}$，故C选项正确。
D. 设多边形边数为$n$，则内角和为$(n - 2) × 180^{\circ} = 630^{\circ}$，解得$n - 2 = \frac{7}{2}$，$n$不为整数，由于多边形边数必须为整数，故D选项错误。
3. 如图，填空：
(1)如果$AB// CD$，那么$∠ 1 +\_\_\_\_\_\_= 180^{\circ}$，依据是；
(2)如果$∠ 2 =$，那么$EF// DG$，依据是；
(3)如果$EF// DG$，那么$∠ 3 =$，依据是。
(1)如果$AB// CD$，那么$∠ 1 +\_\_\_\_\_\_= 180^{\circ}$，依据是；
(2)如果$∠ 2 =$，那么$EF// DG$，依据是；
(3)如果$EF// DG$，那么$∠ 3 =$，依据是。
答案
(1)$∠3$，两直线平行，同旁内角互补；
(2)$∠D$，同位角相等，两直线平行；
(3)$∠D$，两直线平行，内错角相等。
(2)$∠D$，同位角相等，两直线平行；
(3)$∠D$，两直线平行，内错角相等。
解析
(1)因为$AB//CD$，$∠1$与$∠3$是同旁内角，依据两直线平行，同旁内角互补，所以$∠1 + ∠3 = 180^{\circ}$。
(2)若$EF//DG$，$∠2$与$∠D$是同位角，依据同位角相等，两直线平行，所以当$∠2 = ∠D$时，$EF//DG$。
(3)因为$EF//DG$，$∠3$与$∠D$是内错角，依据两直线平行，内错角相等，所以$∠3 = ∠D$。
(2)若$EF//DG$，$∠2$与$∠D$是同位角，依据同位角相等，两直线平行，所以当$∠2 = ∠D$时，$EF//DG$。
(3)因为$EF//DG$，$∠3$与$∠D$是内错角，依据两直线平行，内错角相等，所以$∠3 = ∠D$。
4. 将下列证明过程补充完整：
（1）$\because a ＞ 1$（已知），
$\therefore a + a ＞ 1 +$（）。
$\therefore 2a ＞ 1 + a$。
$\therefore a ＞ \frac{1 + a}{}$（）。
（2）$\because a ＜ b$（已知），
$\therefore a + b ＜ 2b$（）。
$\therefore \frac{a + b}{2} ＜$（）。
（1）$\because a ＞ 1$（已知），
$\therefore a + a ＞ 1 +$（）。
$\therefore 2a ＞ 1 + a$。
$\therefore a ＞ \frac{1 + a}{}$（）。
（2）$\because a ＜ b$（已知），
$\therefore a + b ＜ 2b$（）。
$\therefore \frac{a + b}{2} ＜$（）。
答案
（1）$a$；不等式的基本性质1；2；不等式的基本性质2
（2）不等式的基本性质1；$b$；不等式的基本性质2
（2）不等式的基本性质1；$b$；不等式的基本性质2
解析
（1）$\because a ＞ 1$（已知），
$\therefore a + a ＞ 1 + a$（不等式的基本性质1：不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变）。
$\therefore 2a ＞ 1 + a$。
$\therefore a ＞ \frac{1 + a}{2}$（不等式的基本性质2：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变）。
（2）$\because a ＜ b$（已知），
$\therefore a + b ＜ 2b$（不等式的基本性质1：不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变）。
$\therefore \frac{a + b}{2} ＜ b$（不等式的基本性质2：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变）。
$\therefore a + a ＞ 1 + a$（不等式的基本性质1：不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变）。
$\therefore 2a ＞ 1 + a$。
$\therefore a ＞ \frac{1 + a}{2}$（不等式的基本性质2：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变）。
（2）$\because a ＜ b$（已知），
$\therefore a + b ＜ 2b$（不等式的基本性质1：不等式两边同时加上同一个数，不等号方向不变）。
$\therefore \frac{a + b}{2} ＜ b$（不等式的基本性质2：不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变）。
5. 如图，在$△ ABC$中，点$D$，$F$在边$AB$上，点$G$，$E$分别在边$AC$，$BC$上，连接$DG$，$DC$，$EF$。
① $EF⊥ AB$，$CD⊥ AB$；② $∠ DGA =∠ BCA$；③ $DG$平分$∠ ADC$；④ $∠ B =∠ BEF$，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明。
你选择的条件：，结论：(填序号)。
① $EF⊥ AB$，$CD⊥ AB$；② $∠ DGA =∠ BCA$；③ $DG$平分$∠ ADC$；④ $∠ B =∠ BEF$，请你从上面四个选项中任选出三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并加以证明。
你选择的条件：，结论：(填序号)。
答案
条件：①②③，结论：④。
证明：
∵EF⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴EF//CD（垂直于同一条直线的两直线平行）。
∵∠DGA=∠BCA（已知），
∴DG//BC（同位角相等，两直线平行）。
∵DG平分∠ADC（已知），
∴∠ADG=∠CDG（角平分线定义）。
∵DG//BC，
∴∠ADG=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠CDG=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠B=∠BCD（等量代换）。
∵EF//CD，
∴∠BEF=∠BCD（两直线平行，同位角相等）。
∴∠B=∠BEF（等量代换）。
证明：
∵EF⊥AB，CD⊥AB（已知），
∴EF//CD（垂直于同一条直线的两直线平行）。
∵∠DGA=∠BCA（已知），
∴DG//BC（同位角相等，两直线平行）。
∵DG平分∠ADC（已知），
∴∠ADG=∠CDG（角平分线定义）。
∵DG//BC，
∴∠ADG=∠B（两直线平行，同位角相等），
∠CDG=∠BCD（两直线平行，内错角相等）。
∴∠B=∠BCD（等量代换）。
∵EF//CD，
∴∠BEF=∠BCD（两直线平行，同位角相等）。
∴∠B=∠BEF（等量代换）。
