登录
【例 2】计算：
（1）$ ( \sqrt{\dfrac{4}{7}} )^2 $； （2）$ (4\sqrt{3})^2 $；
（3）$ \sqrt{(-7)^2} $； （4）$ -\sqrt{( -\dfrac{1}{5} )^2} $.
解：
【规律方法】
（1）应用 $ (\sqrt{a})^2 = a $ 时，要注意必须满足 $ a ≥ 0 $.
（2）对形如 $ \sqrt{a^2} $ 的式子计算或化简时，一般先化成 $ |a| $ 的形式，再根据 $ a $ 的符号去掉绝对值符号.
（3）对于二次根式和数轴相结合的题目，解题关键是先根据数轴判断字母的取值范围，再利用二次根式的性质求解.
变式训练
3. 计算：
（1）$ (\sqrt{0.3})^2 $； （2）$ ( -3\sqrt{\dfrac{2}{3}} )^2 $；
（3）$ -\sqrt{( -\dfrac{2}{7} )^2} $； （4）$ \sqrt{2^{-2}} $.
4. 数轴上表示实数 $ a $ 的点的位置如图所示，化简：$ |a - 2| + \sqrt{(a - 4)^2} $.
（1）$ ( \sqrt{\dfrac{4}{7}} )^2 $； （2）$ (4\sqrt{3})^2 $；
（3）$ \sqrt{(-7)^2} $； （4）$ -\sqrt{( -\dfrac{1}{5} )^2} $.
解：
【规律方法】
（1）应用 $ (\sqrt{a})^2 = a $ 时，要注意必须满足 $ a ≥ 0 $.
（2）对形如 $ \sqrt{a^2} $ 的式子计算或化简时，一般先化成 $ |a| $ 的形式，再根据 $ a $ 的符号去掉绝对值符号.
（3）对于二次根式和数轴相结合的题目，解题关键是先根据数轴判断字母的取值范围，再利用二次根式的性质求解.
变式训练
3. 计算：
（1）$ (\sqrt{0.3})^2 $； （2）$ ( -3\sqrt{\dfrac{2}{3}} )^2 $；
（3）$ -\sqrt{( -\dfrac{2}{7} )^2} $； （4）$ \sqrt{2^{-2}} $.
4. 数轴上表示实数 $ a $ 的点的位置如图所示，化简：$ |a - 2| + \sqrt{(a - 4)^2} $.
答案
【例2】解:(1)$\frac{4}{7}$. (2)48. (3)7. (4)$-\frac{1}{5}$.
变式训练
3.解:(1)0.3. (2)6. (3)$-\frac{2}{7}$. (4)$\frac{1}{2}$.
4.解:原式$=2$.
变式训练
3.解:(1)0.3. (2)6. (3)$-\frac{2}{7}$. (4)$\frac{1}{2}$.
4.解:原式$=2$.
解析
【解析】
例2
（1）根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{\dfrac{4}{7}})^2=\dfrac{4}{7}$；
（2）根据积的乘方运算及二次根式性质，$(4\sqrt{3})^2=4^2×(\sqrt{3})^2=16×3=48$；
（3）根据$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$；
（4）先计算$\sqrt{(-\dfrac{1}{5})^2}=|-\dfrac{1}{5}|=\dfrac{1}{5}$，再取负值得$-\sqrt{( -\dfrac{1}{5} )^2}=-\dfrac{1}{5}$。
变式训练3
（1）由$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，得$(\sqrt{0.3})^2=0.3$；
（2）根据积的乘方运算，$(-3\sqrt{\dfrac{2}{3}})^2=(-3)^2×(\sqrt{\dfrac{2}{3}})^2=9×\dfrac{2}{3}=6$；
（3）先算$\sqrt{(-\dfrac{2}{7})^2}=|-\dfrac{2}{7}|=\dfrac{2}{7}$，则$-\sqrt{( -\dfrac{2}{7} )^2}=-\dfrac{2}{7}$；
（4）先计算$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$，再根据二次根式性质得$\sqrt{2^{-2}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$。
变式训练4
由数轴可知$2＜a＜4$，则$a-2＞0$，$a-4＜0$。
根据绝对值和二次根式性质：$|a-2|=a-2$，$\sqrt{(a-4)^2}=|a-4|=4-a$，
所以原式$=(a-2)+(4-a)=2$。
【答案】
例2
（1）$\boldsymbol{\dfrac{4}{7}}$；（2）$\boldsymbol{48}$；（3）$\boldsymbol{7}$；（4）$\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}}$
变式训练3
（1）$\boldsymbol{0.3}$；（2）$\boldsymbol{6}$；（3）$\boldsymbol{-\dfrac{2}{7}}$；（4）$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$
变式训练4
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 积的乘方运算
3. 绝对值的化简
【点评】
本题主要考查二次根式的性质及运算，需注意$(\sqrt{a})^2=a$的适用条件为$a≥0$，$\sqrt{a^2}=|a|$，结合数轴判断字母取值范围再化简是关键，熟练掌握二次根式相关性质是解题核心。
【难度系数】
0.6
例2
（1）根据二次根式性质$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，可得$(\sqrt{\dfrac{4}{7}})^2=\dfrac{4}{7}$；
（2）根据积的乘方运算及二次根式性质，$(4\sqrt{3})^2=4^2×(\sqrt{3})^2=16×3=48$；
（3）根据$\sqrt{a^2}=|a|$，$\sqrt{(-7)^2}=|-7|=7$；
（4）先计算$\sqrt{(-\dfrac{1}{5})^2}=|-\dfrac{1}{5}|=\dfrac{1}{5}$，再取负值得$-\sqrt{( -\dfrac{1}{5} )^2}=-\dfrac{1}{5}$。
变式训练3
（1）由$(\sqrt{a})^2=a(a≥0)$，得$(\sqrt{0.3})^2=0.3$；
（2）根据积的乘方运算，$(-3\sqrt{\dfrac{2}{3}})^2=(-3)^2×(\sqrt{\dfrac{2}{3}})^2=9×\dfrac{2}{3}=6$；
（3）先算$\sqrt{(-\dfrac{2}{7})^2}=|-\dfrac{2}{7}|=\dfrac{2}{7}$，则$-\sqrt{( -\dfrac{2}{7} )^2}=-\dfrac{2}{7}$；
（4）先计算$2^{-2}=\dfrac{1}{4}$，再根据二次根式性质得$\sqrt{2^{-2}}=\sqrt{\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{2}$。
变式训练4
由数轴可知$2＜a＜4$，则$a-2＞0$，$a-4＜0$。
根据绝对值和二次根式性质：$|a-2|=a-2$，$\sqrt{(a-4)^2}=|a-4|=4-a$，
所以原式$=(a-2)+(4-a)=2$。
【答案】
例2
（1）$\boldsymbol{\dfrac{4}{7}}$；（2）$\boldsymbol{48}$；（3）$\boldsymbol{7}$；（4）$\boldsymbol{-\dfrac{1}{5}}$
变式训练3
（1）$\boldsymbol{0.3}$；（2）$\boldsymbol{6}$；（3）$\boldsymbol{-\dfrac{2}{7}}$；（4）$\boldsymbol{\dfrac{1}{2}}$
变式训练4
$\boldsymbol{2}$
【知识点】
1. 二次根式的性质
2. 积的乘方运算
3. 绝对值的化简
【点评】
本题主要考查二次根式的性质及运算，需注意$(\sqrt{a})^2=a$的适用条件为$a≥0$，$\sqrt{a^2}=|a|$，结合数轴判断字母取值范围再化简是关键，熟练掌握二次根式相关性质是解题核心。
【难度系数】
0.6
【例 3】若 $ a^2 + \sqrt{b - 2} = 4a - 4 $，求 $ \sqrt{ab} $ 的值.
思路分析
思考 1：把原式化为一边为 0 的形式是
思考 2：根据非负性可以得到关于 $ a $，$ b $ 的两个方程分别是
解：
【规律方法】
求解多个非负表达式的和为 0 的思路
若多个非负表达式的和为 0，则每一个非负表达式均为 0，可根据题意列方程(或方程组)求解.常见的非负表达式有二次根式、含绝对值的式子、偶次幂等.
变式训练
5. 若 $ \sqrt{a - b - 3} $ 与 $ |a + b + 1| $ 互为相反数，则 $ (a + b)^5 $ 的值是多少？
思路分析
思考 1：把原式化为一边为 0 的形式是
$a^{2}-4a+4+\sqrt{b-2}=0$
；思考 2：根据非负性可以得到关于 $ a $，$ b $ 的两个方程分别是
$a-2=0$
，$b-2=0$
.解：
【规律方法】
求解多个非负表达式的和为 0 的思路
若多个非负表达式的和为 0，则每一个非负表达式均为 0，可根据题意列方程(或方程组)求解.常见的非负表达式有二次根式、含绝对值的式子、偶次幂等.
变式训练
5. 若 $ \sqrt{a - b - 3} $ 与 $ |a + b + 1| $ 互为相反数，则 $ (a + b)^5 $ 的值是多少？
答案
【例3】
思路分析
思考1:$a^{2}-4a+4+\sqrt{b-2}=0$
思考2:$a-2=0$ $b-2=0$
解:2.
变式训练
5.解:$-1$.
思路分析
思考1:$a^{2}-4a+4+\sqrt{b-2}=0$
思考2:$a-2=0$ $b-2=0$
解:2.
变式训练
5.解:$-1$.
解析
【解析】
例3解析：
1. 将原式移项整理为一边为0的形式：$a^2 - 4a + 4 + \sqrt{b - 2}=0$，即$(a-2)^2 + \sqrt{b-2}=0$。
2. 由于完全平方式和算术平方根均为非负数，根据多个非负表达式的和为0则每一个非负表达式均为0，可得方程：$a-2=0$，$b-2=0$。
3. 解得$a=2$，$b=2$，因此$\sqrt{ab}=\sqrt{2×2}=2$。
变式训练5解析：
1. 因为$\sqrt{a - b - 3}$与$|a + b + 1|$互为相反数，所以$\sqrt{a - b - 3} + |a + b + 1|=0$。
2. 算术平方根和绝对值均为非负数，根据非负性可得方程组：$\begin{cases}a - b - 3=0\\a + b + 1=0\end{cases}$。
3. 解方程组：两式相加得$2a - 2=0$，解得$a=1$；将$a=1$代入$a + b + 1=0$，得$b=-2$。
4. 因此$(a + b)^5=(1-2)^5=-1$。
【答案】
例3思路分析：思考1：$\boldsymbol{a^2 - 4a + 4 + \sqrt{b - 2}=0}$；思考2：$\boldsymbol{a-2=0}$，$\boldsymbol{b-2=0}$；$\sqrt{ab}$的值为$\boldsymbol{2}$；
变式训练5：$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
非负数的性质，完全平方公式，解二元一次方程组
【点评】
本题考查非负数性质的应用，通过将等式变形为非负表达式和为0的形式，利用“多个非负表达式和为0则每一项为0”的结论求解参数，需熟练识别常见非负表达式类型，掌握方程思想的运用。
【难度系数】
0.6
例3解析：
1. 将原式移项整理为一边为0的形式：$a^2 - 4a + 4 + \sqrt{b - 2}=0$，即$(a-2)^2 + \sqrt{b-2}=0$。
2. 由于完全平方式和算术平方根均为非负数，根据多个非负表达式的和为0则每一个非负表达式均为0，可得方程：$a-2=0$，$b-2=0$。
3. 解得$a=2$，$b=2$，因此$\sqrt{ab}=\sqrt{2×2}=2$。
变式训练5解析：
1. 因为$\sqrt{a - b - 3}$与$|a + b + 1|$互为相反数，所以$\sqrt{a - b - 3} + |a + b + 1|=0$。
2. 算术平方根和绝对值均为非负数，根据非负性可得方程组：$\begin{cases}a - b - 3=0\\a + b + 1=0\end{cases}$。
3. 解方程组：两式相加得$2a - 2=0$，解得$a=1$；将$a=1$代入$a + b + 1=0$，得$b=-2$。
4. 因此$(a + b)^5=(1-2)^5=-1$。
【答案】
例3思路分析：思考1：$\boldsymbol{a^2 - 4a + 4 + \sqrt{b - 2}=0}$；思考2：$\boldsymbol{a-2=0}$，$\boldsymbol{b-2=0}$；$\sqrt{ab}$的值为$\boldsymbol{2}$；
变式训练5：$\boldsymbol{-1}$
【知识点】
非负数的性质，完全平方公式，解二元一次方程组
【点评】
本题考查非负数性质的应用，通过将等式变形为非负表达式和为0的形式，利用“多个非负表达式和为0则每一项为0”的结论求解参数，需熟练识别常见非负表达式类型，掌握方程思想的运用。
【难度系数】
0.6
