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1. 下列各式一定是二次根式的是(
A.$ \sqrt[3]{2} $
B.$ \sqrt{a} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ \dfrac{1}{2} $
C
)A.$ \sqrt[3]{2} $
B.$ \sqrt{a} $
C.$ \sqrt{3} $
D.$ \dfrac{1}{2} $
答案
1.C
解析
【解析】
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负。
选项A：$\sqrt[3]{2}$的根指数是3，是三次根式，不是二次根式；
选项B：$\sqrt{a}$中，当$a＜0$时式子无意义，不一定是二次根式；
选项C：$\sqrt{3}$的根指数为2，被开方数$3＞0$，符合二次根式的定义，是二次根式；
选项D：$\dfrac{1}{2}$是分数，不是根式，更不是二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题主要考查二次根式的定义，需准确把握二次根式的两个关键要素：根指数为2、被开方数非负，通过逐一分析选项进行判断。
【难度系数】
0.9
根据二次根式的定义：形如$\sqrt{a}$（$a≥0$）的式子叫做二次根式，需满足根指数为2且被开方数非负。
选项A：$\sqrt[3]{2}$的根指数是3，是三次根式，不是二次根式；
选项B：$\sqrt{a}$中，当$a＜0$时式子无意义，不一定是二次根式；
选项C：$\sqrt{3}$的根指数为2，被开方数$3＞0$，符合二次根式的定义，是二次根式；
选项D：$\dfrac{1}{2}$是分数，不是根式，更不是二次根式。
综上，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的定义
【点评】
本题主要考查二次根式的定义，需准确把握二次根式的两个关键要素：根指数为2、被开方数非负，通过逐一分析选项进行判断。
【难度系数】
0.9
2. 若 $ \dfrac{1}{\sqrt{x - 3}} $ 有意义，则 $ x $ 的取值范围是(
A.$ x ＞ 3 $
B.$ x ≤ 3 $
C.$ x ≥ 3 $
D.$ x ≠ 3 $
A
)A.$ x ＞ 3 $
B.$ x ≤ 3 $
C.$ x ≥ 3 $
D.$ x ≠ 3 $
答案
2.A
解析
【解析】
要使$\dfrac{1}{\sqrt{x - 3}}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$x - 3 ≥ 0$；
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{x - 3} ≠ 0$，即$x - 3 ≠ 0$。
综合两个条件可得$x - 3 ＞ 0$，解得$x ＞ 3$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式与分式有意义的综合判定，需注意分母不能为0，因此被开方数需严格大于0，易因忽略分母不为0的条件而出错。
【难度系数】
0.8
要使$\dfrac{1}{\sqrt{x - 3}}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式的被开方数非负：$x - 3 ≥ 0$；
2. 分式的分母不为0：$\sqrt{x - 3} ≠ 0$，即$x - 3 ≠ 0$。
综合两个条件可得$x - 3 ＞ 0$，解得$x ＞ 3$，故选A。
【答案】
A
【知识点】
二次根式有意义的条件，分式有意义的条件
【点评】
本题考查二次根式与分式有意义的综合判定，需注意分母不能为0，因此被开方数需严格大于0，易因忽略分母不为0的条件而出错。
【难度系数】
0.8
3. 若 $ \sqrt{(3 - b)^2} = 3 - b $，则(
A.$ b ＞ 3 $
B.$ b ＜ 3 $
C.$ b ≥ 3 $
D.$ b ≤ 3 $
D
)A.$ b ＞ 3 $
B.$ b ＜ 3 $
C.$ b ≥ 3 $
D.$ b ≤ 3 $
答案
3.D
解析
【解析】
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(3 - b)^2}=|3 - b|$。
已知$\sqrt{(3 - b)^2}=3 - b$，即$|3 - b|=3 - b$。
根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它本身时，这个数是非负数，因此$3 - b≥0$，
解不等式得$b≤3$，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质
【点评】
本题主要考查二次根式与绝对值的性质，需牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，以及绝对值等于本身的数为非负数这一关键知识点，属于基础题。
【难度系数】
0.8
根据二次根式的性质：$\sqrt{a^2}=|a|$，可得$\sqrt{(3 - b)^2}=|3 - b|$。
已知$\sqrt{(3 - b)^2}=3 - b$，即$|3 - b|=3 - b$。
根据绝对值的性质，当一个数的绝对值等于它本身时，这个数是非负数，因此$3 - b≥0$，
解不等式得$b≤3$，故答案选D。
【答案】
D
【知识点】
二次根式的性质、绝对值的性质
【点评】
本题主要考查二次根式与绝对值的性质，需牢记$\sqrt{a^2}=|a|$，以及绝对值等于本身的数为非负数这一关键知识点，属于基础题。
【难度系数】
0.8
4. 若 $ \sqrt{9 - n} $ 是整数，则满足条件的自然数 $ n $ 的个数为(
A.2
B.3
C.4
D.5
C
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
4.C
解析
【解析】
要使$\sqrt{9 - n}$是整数，且$n$为自然数，则$9 - n$需为非负的完全平方数。设$\sqrt{9 - n}=k$（$k$为非负整数），则$9 - n = k^2$，即$n = 9 - k^2$。
因为$n≥0$，所以$9 - k^2≥0$，即$k^2≤9$，则$k$可取0、1、2、3：
当$k=0$时，$n=9-0^2=9$；
当$k=1$时，$n=9-1^2=8$；
当$k=2$时，$n=9-2^2=5$；
当$k=3$时，$n=9-3^2=0$。
这四个$n$均为自然数，故满足条件的$n$的个数为4。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，完全平方数，自然数的概念
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件及完全平方数的应用，需结合自然数的取值范围确定所有可能的$n$，注意不要遗漏相关取值情况。
【难度系数】
0.6
要使$\sqrt{9 - n}$是整数，且$n$为自然数，则$9 - n$需为非负的完全平方数。设$\sqrt{9 - n}=k$（$k$为非负整数），则$9 - n = k^2$，即$n = 9 - k^2$。
因为$n≥0$，所以$9 - k^2≥0$，即$k^2≤9$，则$k$可取0、1、2、3：
当$k=0$时，$n=9-0^2=9$；
当$k=1$时，$n=9-1^2=8$；
当$k=2$时，$n=9-2^2=5$；
当$k=3$时，$n=9-3^2=0$。
这四个$n$均为自然数，故满足条件的$n$的个数为4。
【答案】
C
【知识点】
二次根式的性质，完全平方数，自然数的概念
【点评】
本题考查二次根式有意义的条件及完全平方数的应用，需结合自然数的取值范围确定所有可能的$n$，注意不要遗漏相关取值情况。
【难度系数】
0.6
5. 若实数 $ m $，$ n $ 满足等式 $ |m - 2| + \sqrt{n - 4} = 0 $，则 $ 2m + n $ 的值是
8
.答案
5.8
解析
【解析】
因为绝对值和算术平方根均为非负数，且$|m - 2| + \sqrt{n - 4} = 0$，所以：
$|m - 2| = 0$，解得$m = 2$；
$\sqrt{n - 4} = 0$，解得$n = 4$；
则$2m + n = 2×2 + 4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题考查非负数的性质，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解字母的值，再代入代数式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
因为绝对值和算术平方根均为非负数，且$|m - 2| + \sqrt{n - 4} = 0$，所以：
$|m - 2| = 0$，解得$m = 2$；
$\sqrt{n - 4} = 0$，解得$n = 4$；
则$2m + n = 2×2 + 4 = 8$。
【答案】
8
【知识点】
非负数的性质，代数式求值
【点评】
本题考查非负数的性质，利用“几个非负数的和为0，则每个非负数都为0”的性质求解字母的值，再代入代数式计算即可，属于基础题型。
【难度系数】
0.9
6. 计算：（1）$ (\sqrt{9})^2 $； （2）$ -(\sqrt{3})^2 $；
（3）$ -\sqrt{( -\dfrac{4}{5} )^2} $.
（3）$ -\sqrt{( -\dfrac{4}{5} )^2} $.
答案
6.解:(1)9. (2)$-3$. (3)$-\frac{4}{5}$.
解析
【解析】
（1）根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得$(\sqrt{9})^2=9$；
（2）先计算$(\sqrt{3})^2=3$，再添加负号，即$-(\sqrt{3})^2=-3$；
（3）先计算$(-\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$，再根据$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$，所以$-\sqrt{(-\frac{4}{5})^2}=-\frac{4}{5}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{9}$；（2）$\boldsymbol{-3}$；（3）$\boldsymbol{-\dfrac{4}{5}}$
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题主要考查二次根式性质的应用，解题时需注意符号运算，准确区分$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$的差异，熟练掌握二次根式基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
（1）根据二次根式的性质$(\sqrt{a})^2=a$（$a≥0$），可得$(\sqrt{9})^2=9$；
（2）先计算$(\sqrt{3})^2=3$，再添加负号，即$-(\sqrt{3})^2=-3$；
（3）先计算$(-\frac{4}{5})^2=\frac{16}{25}$，再根据$\sqrt{a^2}=|a|$，得$\sqrt{\frac{16}{25}}=\frac{4}{5}$，所以$-\sqrt{(-\frac{4}{5})^2}=-\frac{4}{5}$。
【答案】
（1）$\boldsymbol{9}$；（2）$\boldsymbol{-3}$；（3）$\boldsymbol{-\dfrac{4}{5}}$
【知识点】
二次根式的性质
【点评】
本题主要考查二次根式性质的应用，解题时需注意符号运算，准确区分$(\sqrt{a})^2$与$\sqrt{a^2}$的差异，熟练掌握二次根式基本性质是解题关键。
【难度系数】
0.8
7. 数轴上分别表示实数 $ a $，$ b $ 的点的位置如图所示，试化简：$ \sqrt{(2 - a)^2} + |1 + b| + |b - a| $.
答案
7.解:原式$=2a-2b-3$.
解析
【解析】
根据数轴可知：$2 ＜ a ＜ 3$，$-2 ＜ b ＜ -1$，由此判断各部分符号：
$2 - a ＜ 0$，$1 + b ＜ 0$，$b - a ＜ 0$。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$及绝对值的性质化简：
$\sqrt{(2 - a)^2}=|2 - a|=a - 2$，
$|1 + b|=-(1 + b)=-1 - b$，
$|b - a|=-(b - a)=a - b$，
将化简结果代入原式：
原式$=(a - 2)+(-1 - b)+(a - b)=a - 2 -1 -b + a - b=2a - 2b - 3$。
【答案】
$2a - 2b - 3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题考查了利用数轴判断数的范围，结合二次根式性质和绝对值性质进行化简，关键是准确判断各代数式的正负性。
【难度系数】
0.6
根据数轴可知：$2 ＜ a ＜ 3$，$-2 ＜ b ＜ -1$，由此判断各部分符号：
$2 - a ＜ 0$，$1 + b ＜ 0$，$b - a ＜ 0$。
根据二次根式性质$\sqrt{x^2}=|x|$及绝对值的性质化简：
$\sqrt{(2 - a)^2}=|2 - a|=a - 2$，
$|1 + b|=-(1 + b)=-1 - b$，
$|b - a|=-(b - a)=a - b$，
将化简结果代入原式：
原式$=(a - 2)+(-1 - b)+(a - b)=a - 2 -1 -b + a - b=2a - 2b - 3$。
【答案】
$2a - 2b - 3$
【知识点】
二次根式的性质，绝对值的化简，数轴的应用
【点评】
本题考查了利用数轴判断数的范围，结合二次根式性质和绝对值性质进行化简，关键是准确判断各代数式的正负性。
【难度系数】
0.6
